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4.「2025山东德州中考」综合与实践.
【活动背景】数学活动课上,老师提供了如下素材:某窗户生产厂家要用一根长为6 m的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架ABCD(如图),要求恰好用完整条铝合金型材(接缝及型材宽度忽略不计).
【活动任务】结合素材信息,运用所学数学知识,给出合理的窗户框架设计方案.
【方案一】甲学习小组从美观角度出发,计划把窗户框架ABCD的长与宽的比设计为接近黄金分割比的5:3.请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽AB.
【方案二】乙学习小组从实用角度出发,计划把窗户面积设计得尽可能大,从而使采光效果更好.请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积.
【活动背景】数学活动课上,老师提供了如下素材:某窗户生产厂家要用一根长为6 m的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架ABCD(如图),要求恰好用完整条铝合金型材(接缝及型材宽度忽略不计).
【活动任务】结合素材信息,运用所学数学知识,给出合理的窗户框架设计方案.
【方案一】甲学习小组从美观角度出发,计划把窗户框架ABCD的长与宽的比设计为接近黄金分割比的5:3.请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽AB.
【方案二】乙学习小组从实用角度出发,计划把窗户面积设计得尽可能大,从而使采光效果更好.请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积.
答案
4.解析
【方案一】设AB的长为x m,AD的长为y m,
由题意得 3x+2y=6.
∵ 长与宽的比为5:3,
∴ y:x=5:3,即$y=\frac{5}{3}x$.
将$y=\frac{5}{3}x$代入3x+2y=6,得$3x+2×\frac{5}{3}x=6$,解得$x=\frac{18}{19}$.
答:窗户框架的宽AB为$\frac{18}{19}$ m.
【方案二】设AD的长为a m,窗户的面积为S m²,则
AB的长为$\frac{6-2a}{3}$ m,
∴ $S=\frac{6-2a}{3}·a=-\frac{2}{3}a^2+2a=-\frac{2}{3}(a-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{2}$,
∵ $-\frac{2}{3}＜0$,
∴ 当$a=\frac{3}{2}$时,S有最大值,为$\frac{3}{2}$,
∴ 窗户的最大面积为$\frac{3}{2}$ m².
【方案一】设AB的长为x m,AD的长为y m,
由题意得 3x+2y=6.
∵ 长与宽的比为5:3,
∴ y:x=5:3,即$y=\frac{5}{3}x$.
将$y=\frac{5}{3}x$代入3x+2y=6,得$3x+2×\frac{5}{3}x=6$,解得$x=\frac{18}{19}$.
答:窗户框架的宽AB为$\frac{18}{19}$ m.
【方案二】设AD的长为a m,窗户的面积为S m²,则
AB的长为$\frac{6-2a}{3}$ m,
∴ $S=\frac{6-2a}{3}·a=-\frac{2}{3}a^2+2a=-\frac{2}{3}(a-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{2}$,
∵ $-\frac{2}{3}＜0$,
∴ 当$a=\frac{3}{2}$时,S有最大值,为$\frac{3}{2}$,
∴ 窗户的最大面积为$\frac{3}{2}$ m².
解析
【分析】
解决本题需分两个方案逐步推导：
1. 方案一：先明确“日”字形框架的周长构成：3段水平的宽AB加2段竖直的长AD总长度为6m，得到第一个等量关系；再结合长宽比为5:3的条件，得到长和宽的数量关系，联立两个关系即可求解AB的长度。
2. 方案二：要得到最大采光面积，需先设合适的自变量，将窗户面积表示为关于自变量的二次函数，再根据二次函数的开口方向和顶点坐标求最大值，注意自变量取值要符合实际意义。
【解析】
方案一
设AB的长为$x\ \mathrm{m}$，AD的长为$y\ \mathrm{m}$。
由铝合金型材总长为6m，可得：$3x + 2y = 6$。
已知长与宽的比为$5:3$，即$y:x=5:3$，整理得$y=\frac{5}{3}x$。
将$y=\frac{5}{3}x$代入$3x + 2y = 6$，得：
$3x + 2×\frac{5}{3}x = 6$
解得$x=\frac{18}{19}$。
方案二
设AD的长为$a\ \mathrm{m}$，窗户的面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
由周长关系可得AB的长为$\frac{6-2a}{3}\ \mathrm{m}$，因此面积表达式为：
$S = a·\frac{6-2a}{3} = -\frac{2}{3}a^2 + 2a$
将函数配方得：
$S = -\frac{2}{3}(a-\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2}$
由于$-\frac{2}{3}＜0$，二次函数开口向下，因此当$a=\frac{3}{2}$时，$S$取得最大值$\frac{3}{2}$。
【答案】
方案一：窗户框架的宽AB为$\frac{18}{19}\ \mathrm{m}$；
方案二：窗户的最大面积为$\frac{3}{2}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二元一次方程的应用；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合生活中的窗户设计场景，考查了方程与函数的实际应用，解题时需要先准确提取图形中的周长等量关系，再根据不同设计要求选择合适的数学模型求解，能有效考查将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
解决本题需分两个方案逐步推导：
1. 方案一：先明确“日”字形框架的周长构成：3段水平的宽AB加2段竖直的长AD总长度为6m，得到第一个等量关系；再结合长宽比为5:3的条件，得到长和宽的数量关系，联立两个关系即可求解AB的长度。
2. 方案二：要得到最大采光面积，需先设合适的自变量，将窗户面积表示为关于自变量的二次函数，再根据二次函数的开口方向和顶点坐标求最大值，注意自变量取值要符合实际意义。
【解析】
方案一
设AB的长为$x\ \mathrm{m}$，AD的长为$y\ \mathrm{m}$。
由铝合金型材总长为6m，可得：$3x + 2y = 6$。
已知长与宽的比为$5:3$，即$y:x=5:3$，整理得$y=\frac{5}{3}x$。
将$y=\frac{5}{3}x$代入$3x + 2y = 6$，得：
$3x + 2×\frac{5}{3}x = 6$
解得$x=\frac{18}{19}$。
方案二
设AD的长为$a\ \mathrm{m}$，窗户的面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
由周长关系可得AB的长为$\frac{6-2a}{3}\ \mathrm{m}$，因此面积表达式为：
$S = a·\frac{6-2a}{3} = -\frac{2}{3}a^2 + 2a$
将函数配方得：
$S = -\frac{2}{3}(a-\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2}$
由于$-\frac{2}{3}＜0$，二次函数开口向下，因此当$a=\frac{3}{2}$时，$S$取得最大值$\frac{3}{2}$。
【答案】
方案一：窗户框架的宽AB为$\frac{18}{19}\ \mathrm{m}$；
方案二：窗户的最大面积为$\frac{3}{2}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二元一次方程的应用；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合生活中的窗户设计场景，考查了方程与函数的实际应用，解题时需要先准确提取图形中的周长等量关系，再根据不同设计要求选择合适的数学模型求解，能有效考查将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
5.「2025江苏扬州中考」材料的疏水性.
扬州宝应是荷藕之乡.“微风忽起吹莲叶,青玉盘中泻水银.”莲叶上的水滴来回滚动,不易渗入莲叶内部,这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质.
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分,经过球心的纵截面如图1所示,接触角是过固、液、气三相接触点(点M或点N)所作的气-液界线的切线与固-液界线的夹角,图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角,并用三个大写字母表示接触角.(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
(2)材料的疏水性随着接触角的变大而
【实践探索】
实践中,可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC(BC⊥AC),求出∠BAC的度数,进而求出接触角∠CAD的度数(如图3).
(3)请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系(用等式表示),并说明理由.
【创新思考】
(4)材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外,还可以用什么量来描述?请你提出一个合理的设想,并说明疏水性随着此量的变化而如何变化.
扬州宝应是荷藕之乡.“微风忽起吹莲叶,青玉盘中泻水银.”莲叶上的水滴来回滚动,不易渗入莲叶内部,这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质.
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分,经过球心的纵截面如图1所示,接触角是过固、液、气三相接触点(点M或点N)所作的气-液界线的切线与固-液界线的夹角,图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角,并用三个大写字母表示接触角.(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
(2)材料的疏水性随着接触角的变大而
变强
(选填“变强”“不变”或“变弱”).【实践探索】
实践中,可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC(BC⊥AC),求出∠BAC的度数,进而求出接触角∠CAD的度数(如图3).
(3)请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系(用等式表示),并说明理由.
【创新思考】
(4)材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外,还可以用什么量来描述?请你提出一个合理的设想,并说明疏水性随着此量的变化而如何变化.
答案
5.解析
(1)如图,∠PMN即为接触角.
说明:①在圆弧上取一点C,设固、液、气三相接触点为M,N,连接MC,NC;
②分别作MC,NC的中垂线,两线交于点O,则点O为圆心;
③连接OM并延长,过点M作PM⊥OM,则PM为圆O的切线,故∠PMN即为所求.
(2)变强.
(3)∠CAD=2∠BAC.理由如下:
如图,连接OA,则OA=OB,
∴ ∠ABC=∠OAB,
由题意知AD为⊙O的切线,
∴ OA⊥AD,
∴ ∠OAB+∠BAD=90°,
∵ BC⊥AC,
∴ ∠ABC+∠BAC=90°,
∴ ∠BAD=∠BAC,
∴ ∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC.
(4)设经过球心的纵截面中的弧长为l,半径为r,弧所对的圆心角为n°,则$l=\frac{nπr}{180}$,
∴ $\frac{l}{r}=\frac{π}{180}n$,
∴ 可以根据$\frac{l}{r}$的大小进行判断,$\frac{l}{r}$越大,水滴越趋近于球形,疏水性越强.(答案不唯一,合理即可)
解析
【分析】
(1) 作接触角需先明确其定义：过固液气三相接触点作气-液界线（圆弧）的切线，切线与固-液界线（材料表面水平线）的夹角即为接触角。首先通过“作圆弧两条弦的垂直平分线，交点为圆心”确定圆弧的圆心，再根据“切线垂直于过切点的半径”过三相点作圆弧的切线，即可得到所求接触角。
(2) 疏水性是材料与水的排斥性质，接触角越大，说明水滴和材料的接触面积越小，排斥作用越强，据此即可判断疏水性的变化规律。
(3) 推导两角关系时，先利用切线性质得到切线与过切点半径的垂直关系，再结合等腰三角形等边对等角、直角三角形两锐角互余的性质，通过等角代换即可得到两角的数量关系。
(4) 疏水性与水滴的饱满程度相关，可选取能描述水滴接近球形程度的量，分析该量与疏水性的变化关系即可。
【解析】
(1) 作图步骤：①在圆弧上取一点C，设固、液、气三相接触点为M、N，连接MC、NC；②分别作MC、NC的垂直平分线，两线交于点O，即圆弧对应的圆心；③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆弧在M点的切线，∠PMN即为所求接触角。
(2) 接触角越大，水滴越趋近于球形，和材料的接触面积越小，材料与水的排斥性越强，因此疏水性随着接触角的变大而变强。
(3) $\boldsymbol{∠CAD=2∠BAC}$，理由如下：
如图，连接OA，
∵OA和OB都是圆的半径，
∴OA=OB，
∴∠ABC=∠OAB。
由题意知AD为⊙O的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴OA⊥AD，即∠OAD=90°，
∴∠OAB+∠BAD=90°。
∵BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∠ABC+∠BAC=90°。
结合∠ABC=∠OAB，可得∠BAD=∠BAC，因此∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC。
(4) 示例：可以用纵截面中水滴高度BC与底面圆半径AC的比值来描述，$\frac{BC}{AC}$越大，水滴越接近球形，疏水性越强。（答案合理即可）
【答案】
(1) 接触角为∠PMN，作图如下：
(2) 变强
(3) $\boxed{∠CAD=2∠BAC}$
(4) 示例：可用$\frac{BC}{AC}$描述，$\frac{BC}{AC}$越大，疏水性越强（合理即可）
【知识点】
尺规作图、切线的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题以生活中莲叶疏水的常见现象为背景，将数学知识与实际应用结合，既考查了尺规作图、圆的基本性质等基础知识点的掌握，也考查了知识迁移应用和创新思考的能力，引导学生学会用数学知识解释生活中的现象。
【难度系数】
0.7
(1) 作接触角需先明确其定义：过固液气三相接触点作气-液界线（圆弧）的切线，切线与固-液界线（材料表面水平线）的夹角即为接触角。首先通过“作圆弧两条弦的垂直平分线，交点为圆心”确定圆弧的圆心，再根据“切线垂直于过切点的半径”过三相点作圆弧的切线，即可得到所求接触角。
(2) 疏水性是材料与水的排斥性质，接触角越大，说明水滴和材料的接触面积越小，排斥作用越强，据此即可判断疏水性的变化规律。
(3) 推导两角关系时，先利用切线性质得到切线与过切点半径的垂直关系，再结合等腰三角形等边对等角、直角三角形两锐角互余的性质，通过等角代换即可得到两角的数量关系。
(4) 疏水性与水滴的饱满程度相关，可选取能描述水滴接近球形程度的量，分析该量与疏水性的变化关系即可。
【解析】
(1) 作图步骤：①在圆弧上取一点C，设固、液、气三相接触点为M、N，连接MC、NC；②分别作MC、NC的垂直平分线，两线交于点O，即圆弧对应的圆心；③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆弧在M点的切线，∠PMN即为所求接触角。
(2) 接触角越大，水滴越趋近于球形，和材料的接触面积越小，材料与水的排斥性越强，因此疏水性随着接触角的变大而变强。
(3) $\boldsymbol{∠CAD=2∠BAC}$，理由如下：
如图，连接OA，
∵OA和OB都是圆的半径，
∴OA=OB，
∴∠ABC=∠OAB。
由题意知AD为⊙O的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴OA⊥AD，即∠OAD=90°，
∴∠OAB+∠BAD=90°。
∵BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∠ABC+∠BAC=90°。
结合∠ABC=∠OAB，可得∠BAD=∠BAC，因此∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC。
(4) 示例：可以用纵截面中水滴高度BC与底面圆半径AC的比值来描述，$\frac{BC}{AC}$越大，水滴越接近球形，疏水性越强。（答案合理即可）
【答案】
(1) 接触角为∠PMN，作图如下：
(2) 变强
(3) $\boxed{∠CAD=2∠BAC}$
(4) 示例：可用$\frac{BC}{AC}$描述，$\frac{BC}{AC}$越大，疏水性越强（合理即可）
【知识点】
尺规作图、切线的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题以生活中莲叶疏水的常见现象为背景，将数学知识与实际应用结合，既考查了尺规作图、圆的基本性质等基础知识点的掌握，也考查了知识迁移应用和创新思考的能力，引导学生学会用数学知识解释生活中的现象。
【难度系数】
0.7
