10[2025江苏泰州期中]如图,长方形ABCD的长为a,宽为b.若$S_1=S_2=\frac{1}{2}(S_3+S_4)$,则$S_4$等于.(用含a,b的代数式表示)

10.$\frac{3}{8}ab$ 【解析】因为$S_1=S_2=\frac{1}{2}(S_3+S_4)$,所以$2S_1=2S_2=S_3+S_4$.由题意知,$S_1+S_2+S_3+S_4=ab$,所以$S_1=S_2=\frac{1}{4}ab$,$S_3+S_4=\frac{1}{2}ab$.连结DB,,则$S_{三角形DCB}=S_{三角形DAB}=\frac{1}{2}ab$,所以$\frac{S_2}{S_{三角形DCB}}=\frac{\frac{1}{2}CF·DC}{\frac{1}{2}BC·CD}=\frac{\frac{1}{4}ab}{\frac{1}{2}ab}$,所以$CF=\frac{1}{2}BC$.同理可得,$AE=\frac{1}{2}AB$,所以$BF=\frac{1}{2}b$,$BE=\frac{1}{2}a$,所以$S_3=\frac{\frac{1}{2}a·\frac{1}{2}b}{2}=\frac{1}{8}ab$,所以$S_4=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{8}ab=\frac{3}{8}ab$.故答案为$\frac{3}{8}ab$.

三、解答题(共50分)
11 [2026 江苏常州调研]先化简,再求值:
$\frac{1}{4}(4x^2 + 2x -8) -3(\frac{1}{2}x +1)$,其中 $x=-\frac{1}{2}$.

11.【解】$\frac{1}{4}(4x^2+2x-8)-3(\frac{1}{2}x+1)=x^2+\frac{1}{2}x-2-\frac{3}{2}x-3=x^2-x-5$.当$x=-\frac{1}{2}$时,原式$=(-\frac{1}{2})^2-(-\frac{1}{2})-5=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-5=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}-\frac{20}{4}=-\frac{17}{4}$.

12[2026浙江杭州期中]已知多项式$-2x^2y^{m+1}+xy^2-3x^3-6$是六次四项式，单项式$-x^{2n}y^{5-m}$与该多项式的次数相同，求$m,n$的值.

12.【解】因为多项式$-2x^2y^{m+1}+xy^2-3x^3-6$是六次四项式,所以$2+m+1=6$,所以m=3.因为单项式$-x^{2n}y^{5-m}$与该多项式的次数相同,所以$2n+5-m=6$,即$2n+5-3=6$,所以n=2.

13 已知多项式$A=3x^2 - x + 1$，$B=kx^2 - (2x^2 + x - 2)$。
(1)当$x=-1$时，求$A$的值；
(2)小华认为无论$k$取何值，$A-B$的值都无法确定。小明认为$k$可以找到适当的数，使$A-B$的值是常数。你认为谁的说法正确？请说明理由。

13.【解】(1)因为$A=3x^2-x+1$,所以当x=-1时,$A=3×(-1)^2-(-1)+1=3×1+1+1=5$.
(2)小明的说法正确.理由如下:
因为$A-B=3x^2-x+1-kx^2+(2x^2+x-2)=3x^2-x+1-kx^2+2x^2+x-2=(5-k)x^2-1$,所以当5-k=0,即k=5时,$A-B=-1$.即k可以找到适当的数,使A-B的值是常数.

14 学校准备订购一批篮球和跳绳,经过市场调查后发现篮球每个定价120元,跳绳每条定价20元.某体育用品商店提供A、B两种优惠方案:A方案,买一个篮球送一条跳绳;B方案,篮球和跳绳都按定价的90%付款.已知该学校要购买篮球50个,跳绳x条(x＞50).
(1)若按A方案购买,一共需付款元(用含x的代数式表示);若按B方案购买,一共需付款元(用含x的代数式表示).
(2)当x=150时,请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算.
(3)当x=150时,你能给出一种更为省钱的购买方案吗?请写出你的购买方案,并计算需付款多少元.

14.(1)按A方案购买,一共需付款$50×120+(x-50)×20=(5000+20x)$元;按B方案购买,一共需付款$(50×120+20x)×0.9=(5400+18x)$元.故答案为$(5000+20x)$,$(5400+18x)$.
(2)由(1)可知,当x=150时,用A方案购买一共需付款$5000+20×150=8000$(元),用B方案购买一共需付款$5400+18×150=8100$(元).因为8000＜8100,所以当x=150时,用A方案购买较为合算.
(3)能.按A方案购买50个篮球送50条跳绳,按B方案购买100条跳绳需付款:$50×120+20×100×90\%=6000+1800=7800$(元).
因为7800＜8000＜8100,所以当x=150时,更为省钱的购买方案是按A方案购买50个篮球,送50条跳绳,按B方案购买100条跳绳,需付款7800元.
▶关键点拨
本题考查了新定义及整式的加减运算,熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键.
▶思路分析
(2)将x=150分别代入A方案和B方案的代数式,求出各自的付款金额,然后比较大小即可.

15[2025福建泉州期末]定义:已知$M,N$都是关于$x$的多项式,若$M-N=k(k＞0$,且$k$不含字母),则称$M$是$N$的“平移式”,$k$叫作$M$关于$N$的“平移值”.例如,$M=2x^2+x+3,N=2x^2+x-1,M-N=(2x^2+x+3)-(2x^2+x-1)=4＞0$,则称$M$是$N$的“平移式”,$M$关于$N$的“平移值”为4.
(1)若$M=-\dfrac{1}{2}x^2+5x-3,N=-\dfrac{1}{2}x^2+5x-1$,则$M$是$N$的“平移式”吗?为什么?
(2)对于常数$m,n$,有$M=4x^2+mx+m^2,N=4x^2-6x+n$,若$M$是$N$的“平移式”,且“平移值”为3,求$m,n$的值.

15.【解】(1)M不是N的“平移式”.理由如下:
因为$M=-\frac{1}{2}x^2+5x-3$,$N=-\frac{1}{2}x^2+5x-1$,
所以$M-N=(-\frac{1}{2}x^2+5x-3)-(-\frac{1}{2}x^2+5x-1)=-\frac{1}{2}x^2+5x-3+\frac{1}{2}x^2-5x+1=-2$.
因为-2＜0,所以M不是N的“平移式”.
(2)因为M是N的“平移式”,且“平移值”为3,所以$M-N=3$.因为$M=4x^2+mx+m^2$,$N=4x^2-6x+n$,所以$(4x^2+mx+m^2)-(4x^2-6x+n)=3$,所以$4x^2+mx+m^2-4x^2+6x-n=3$,所以$(m+6)x+(m^2-n)=3$,所以$m+6=0$,$m^2-n=3$,所以m=-6,n=33.