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1 下列推理正确的是 （
A.若 $ab＞0$，则 $a+b＞0$
B.若 $a+b＞0$，则 $ab≥0$
C.若 $ab=0$，则 $a-b=0$
D.若 $ab=0$，则 $a=0$ 或 $b=0$
D
）A.若 $ab＞0$，则 $a+b＞0$
B.若 $a+b＞0$，则 $ab≥0$
C.若 $ab=0$，则 $a-b=0$
D.若 $ab=0$，则 $a=0$ 或 $b=0$
答案
A选项,因为ab＞0,所以a,b同号,则a+b＞0或a+b＜0,故选项A错误;B选项,若a+b＞0,则ab≥0,不一定正确,如a=-1,b=2时,ab＜0,故选项B错误;因为ab=0,则a=0或b=0,故选项D正确,此时a-b=0不一定正确,故选项C错误.故选D.
2[2025浙江嘉兴质检]在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是180°”的是（
A.图(1)过点C作$EF// AB$
B.图(2)作$CD⊥ AB$于D
C.图(3)过AB上一点D作$DF// AC,DE// BC$
D.图(4)延长AC到点F，过点C作$CE// AB$
B
）A.图(1)过点C作$EF// AB$
B.图(2)作$CD⊥ AB$于D
C.图(3)过AB上一点D作$DF// AC,DE// BC$
D.图(4)延长AC到点F，过点C作$CE// AB$
答案
A选项,由$EF//AB$,得$∠ECA=∠A$,$∠FCB=∠B$.由$∠ECA+∠ACB+∠FCB=180°$,得$∠A+∠ACB+∠B=180°$,故A不符合题意.
B选项,由$CD ⊥ AB$于D,得$∠ADC = ∠CDB = 90°$,无法证得三角形内角和是180°,故B符合题意.
C选项,由$DE//BC$,得$∠C=∠AED,∠B=∠ADE$.由$DF//AC$,得$∠A=∠BDF,∠EDF=∠AED$,那么$∠C=∠EDF$.由$∠ADE+∠EDF+∠BDF=180°$,得$∠A+∠B+∠C=180°$,故C不符合题意.
D选项,由$CE//AB$,得$∠A=∠FCE$,$∠B=∠BCE$.由$∠FCE+∠ECB+∠ACB=180°$,得$∠A+∠B+∠ACB=180°$,故D不符合题意.故选B.
B选项,由$CD ⊥ AB$于D,得$∠ADC = ∠CDB = 90°$,无法证得三角形内角和是180°,故B符合题意.
C选项,由$DE//BC$,得$∠C=∠AED,∠B=∠ADE$.由$DF//AC$,得$∠A=∠BDF,∠EDF=∠AED$,那么$∠C=∠EDF$.由$∠ADE+∠EDF+∠BDF=180°$,得$∠A+∠B+∠C=180°$,故C不符合题意.
D选项,由$CE//AB$,得$∠A=∠FCE$,$∠B=∠BCE$.由$∠FCE+∠ECB+∠ACB=180°$,得$∠A+∠B+∠ACB=180°$,故D不符合题意.故选B.
3 已知$a,b,c$是不完全相等的任意实数，若$x=a-2b+c$，$y=a+b-2c$，$z=-2a+b+c$，则关于$x,y,z$的值，下列说法正确的是（
A.都大于0
B.至少有一个大于0
C.都小于0
D.至多有一个大于0
B
）A.都大于0
B.至少有一个大于0
C.都小于0
D.至多有一个大于0
答案
因为$x+y+z=(a-2b+c)+(a+b-2c)+(-2a+b+c)=0$,所以$x,y,z$不能都大于0,也不能都小于0,所以排除选项A和选项C.又因为$a,b,c$是不完全相等的任意实数,所以$x,y,z$不能同时为0,所以至少有一个是正数,也可以有两个是正数,所以排除选项D.故选B.
4 如图，∠CAB + ∠ABC = 90°, AD 平分 ∠CAB, 交 BC 边于点 D, BE 平分 ∠ABC, 交 AC 边于点 E.
(1)依题意补全图形.
(2)①∠DAB + ∠EBA =
②补全以下过程.
理由:因为 AD 平分∠CAB, BE 平分∠ABC,
所以∠DAB = $\frac{1}{2}$∠CAB,
∠EBA =
因为∠CAB + ∠ABC = 90°, 所以∠DAB + ∠EBA = $\frac{1}{2}$(∠CAB + ∠ABC) =
(1)依题意补全图形.
(2)①∠DAB + ∠EBA =
45
°.②补全以下过程.
理由:因为 AD 平分∠CAB, BE 平分∠ABC,
所以∠DAB = $\frac{1}{2}$∠CAB,
∠EBA =
$\frac{1}{2}∠ABC$
. (理由: 角平分线的定义
)因为∠CAB + ∠ABC = 90°, 所以∠DAB + ∠EBA = $\frac{1}{2}$(∠CAB + ∠ABC) =
45
°.答案
(1)补全后的图形如
所示.(2)①∠DAB+∠EBA=45°
②理由:因为 AD 平分∠CAB,BE 平分∠ABC,
所以$∠DAB = \frac{1}{2}∠CAB, ∠EBA = \frac{1}{2}∠ABC$. (理由:角平分线的定义)
因为$∠CAB+∠ABC=90°$,
所以$∠DAB+∠EBA=\frac{1}{2}(∠CAB+∠ABC)=45°$.
5[2025浙江杭州期末](1)当$n=1,2,3$时，分别求出代数式$n^2 -12n +35$与$n^2 -12n +37$的值；
(2)判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例.
命题1:对任何正整数$n$，$n^2 -12n +35$的值都是自然数；
命题2:对任何正整数$n$，$n^2 -12n +37$的值都是自然数.
(2)判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例.
命题1:对任何正整数$n$，$n^2 -12n +35$的值都是自然数；
命题2:对任何正整数$n$，$n^2 -12n +37$的值都是自然数.
答案
(1)当$n=1$时,$n^2-12n+35=1^2-12×1+35=24$,$n^2-12n+37=1^2-12×1+37=26$;当$n=2$时,$n^2-12n+35=2^2-12×2+35=15$,$n^2-12n+37=2^2-12×2+37=17$;当$n=3$时,$n^2-12n+35=3^2-12×3+35=8$,$n^2-12n+37=3^2-12×3+37=10$.
(2)命题1是假命题.反例如下:
因为$n^2-12n+35=n^2-12n+36-1=(n-6)^2-1$,所以当$n=6$时,$n^2-12n+35=-1$,此时$n^2-12n+35$的值不是自然数,故命题1是假命题.
命题2是真命题.证明如下:
因为$n^2-12n+37=n^2-12n+36+1=(n-6)^2+1$,所以当$n$为正整数时,$n^2-12n+37$的值为大于等于1的整数,即此时$n^2-12n+37$的值都是自然数,故命题2是真命题.
(2)命题1是假命题.反例如下:
因为$n^2-12n+35=n^2-12n+36-1=(n-6)^2-1$,所以当$n=6$时,$n^2-12n+35=-1$,此时$n^2-12n+35$的值不是自然数,故命题1是假命题.
命题2是真命题.证明如下:
因为$n^2-12n+37=n^2-12n+36+1=(n-6)^2+1$,所以当$n$为正整数时,$n^2-12n+37$的值为大于等于1的整数,即此时$n^2-12n+37$的值都是自然数,故命题2是真命题.
6[2026江苏无锡期末]如图，∠ADE+∠BCF=180°(点E,D,C,F在同一条直线上),BE平分∠ABC,∠ABC=2∠E.
(1)求证:AD//BC;
(2)求证:AB//EF;
(3)若AF平分∠BAD,求证:∠E+∠F=90°.
(1)求证:AD//BC;
(2)求证:AB//EF;
(3)若AF平分∠BAD,求证:∠E+∠F=90°.
答案
(1)证明:因为$∠ADE+∠BCF=180°$,$∠ADE+∠ADF = 180°$, 所以 $∠ADF = ∠BCF$, 所以$AD//BC$.
(2)证明:因为BE平分$∠ABC$,所以$∠ABC=2∠ABE$.因为$∠ABC=2∠E$,所以$∠ABE = ∠E$, 所以$AB//EF$.
(3)证明:因为$AD//BC$,所以$∠DAB+∠ABC=180°$.
因为BE平分$∠ABC$,AF平分$∠BAD$,
所以$∠ABE=\frac{1}{2}∠ABC,∠BAF=\frac{1}{2}∠BAD$,
所以$∠ABE+∠BAF=\frac{1}{2}(∠ABC+∠BAD)=90°$.
因为$AB//EF$,所以$∠ABE=∠E,∠BAF=∠F$,所以$∠E+∠F=90°$.
(2)证明:因为BE平分$∠ABC$,所以$∠ABC=2∠ABE$.因为$∠ABC=2∠E$,所以$∠ABE = ∠E$, 所以$AB//EF$.
(3)证明:因为$AD//BC$,所以$∠DAB+∠ABC=180°$.
因为BE平分$∠ABC$,AF平分$∠BAD$,
所以$∠ABE=\frac{1}{2}∠ABC,∠BAF=\frac{1}{2}∠BAD$,
所以$∠ABE+∠BAF=\frac{1}{2}(∠ABC+∠BAD)=90°$.
因为$AB//EF$,所以$∠ABE=∠E,∠BAF=∠F$,所以$∠E+∠F=90°$.
