7. 如图，小明在距离地面 30 m 的 P 处测得 A 处的俯角为 $15°$，B 处的俯角为 $60°$。若斜坡 AB 的坡度为 $1:\sqrt{3}$，则斜坡 AB 的长是（）

A.$(10\sqrt{3}+20)\mathrm{m}$
B.$(10\sqrt{3}+10)\mathrm{m}$
C.$20\sqrt{3}\mathrm{ m}$
D.$40 \mathrm{ m}$

7.C 【点拨】如图,过点 P 作 $PH⊥ BC$,交 CB 的延长线于点 H,过点 A 作 $AF⊥ BC$ 于点 F. $\because$ 斜坡 AB 的坡度为 $1:\sqrt{3}$, $\therefore\tan∠ ABF=\frac{AF}{BF}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3},\therefore∠ ABF=30°.\because$ 在 P 处进行观测,测得 A 处的俯角为 $15°$,B 处的俯角为 $60°,\therefore∠ HBP=60°,∠ APB=60°-15°=45°.\therefore∠ PBA=180°-∠ HBP-∠ ABF=90°.\therefore△ ABP$ 是等腰直角三角形. $\therefore AB=PB.$
$\because PH=30\ \mathrm{m},\sin∠ HBP=\frac{PH}{PB}=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2},\therefore\frac{30}{PB}=\frac{\sqrt{3}}{2},$
解得 $PB=20\sqrt{3}\ \mathrm{m}.\therefore AB=PB=20\sqrt{3}\ \mathrm{m}.$ 故选 C.

8. 5G时代,万物互联.互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合,助力数字经济发展,共建智慧生活.如图,网络公司在改造时,把某一5G信号发射塔MN建在了山坡BC的平台CD上,已知山坡BC的坡度为1:2.4.身高1.6 m的小明站在A处测得塔顶M的仰角是37°,向前步行6 m到达B处,再沿斜坡BC步行6.5 m至平台点C处,测得塔顶M的仰角是50°,若A,B,C,D,M,N在同一平面内,且A,B和C,D,N分别在同一水平线上,则发射塔MN的高度约为(结果精确到0.1 m,参考数据:$\sin 37° \approx 0.6$,$\cos 37° \approx 0.8$,$\tan 37° \approx 0.75$,$\sin 50° \approx 0.77$,$\cos 50° \approx 0.64$,$\tan 50° \approx 1.20$)
()

A.17.9 m
B.18.9 m
C.65.5 m
D.66.5 m

8.B 【点拨】如图,延长 MN 交 AB 的延长线于 H,过点 F 作 $FL⊥ MN$ 于 L,过点 E 作 $EI⊥ MN$ 于 I,过点 C 作 $CG⊥ AB$ 于点 G. 由题意得 $AE=CF=1.6\ \mathrm{m}$,设 $MN=x\ \mathrm{m},CN=y\ \mathrm{m}.$ 易得 $∠ BGC=90°.$
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ CBG$ 中,$\frac{CG}{BG}=\frac{1}{2.4}=\frac{5}{12},BC^2=CG^2+BG^2,$
$\therefore BC=\frac{13}{12}BG.\because BC=6.5\ \mathrm{m},\therefore BG=6\ \mathrm{m}.\therefore CG=\frac{5}{12}BG=2.5\ \mathrm{m}.\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ MFL$ 中,$\tan50°=\frac{ML}{FL},ML=MN-LN=MN-FC=(x-1.6)\mathrm{m},FL=CN=y\ \mathrm{m},\therefore\frac{x-1.6}{y}\approx1.2,$ 则 $y\approx\frac{5}{6}x-\frac{4}{3}.\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ EIM$ 中,$\tan37°=\frac{MI}{EI},EI=AH=AB+BG+GH=(12+y)\mathrm{m},MI=MN+NI=MN+NH-IH=x+2.5-1.6=(x+0.9)\mathrm{m},\therefore\frac{x+0.9}{12+y}\approx0.75,$ 则 $y\approx\frac{4}{3}x-\frac{54}{5},\therefore\frac{5}{6}x-\frac{4}{3}\approx\frac{4}{3}x-\frac{54}{5},$ 解得 $x\approx\frac{284}{15}\approx18.9.$ 故选 B.

9. ★★ 新考法 分类讨论法 若过$A(m^2+2, m^2-3)$，$B(3-m-m^2, 2m)$两点的直线$l$的向上方向与$x$轴正方向所夹的角为$45°$，则$m=$。

9.$-2$ 【点拨】设直线 $l$ 的表达式为 $y=kx+b.$ $\because$ 直线 $l$ 的向上方向与 $x$ 轴正方向所夹的角为 $45°,\therefore k=\tan45°=1,\therefore k=\frac{|(m^2-3)-2m|}{|(m^2+2)-(3-m-m^2)|}=1,$ 解得 $m=-1$ 或 $m=-2.$ 当 $m=-1$ 时,$(m^2+2)-(3-m-m^2)=0,$ 不符合,当 $m=-2$ 时,$(m^2+2)-(3-m-m^2)=5\ne0,\therefore m=-2.$

10. 风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保.如图①所示，是一种风力发电装置，如图②为其简化图，塔座OD建在山坡DF上(坡比$i=3:4$，DE垂直于水平地面EF，O,D,E三点共线)，坡面DF长为10 m，三个相同长度的风轮叶片OA,OB,OC可绕点O转动，每两个叶片之间的夹角为$120°$.当叶片静止，OA与OD重合时，从坡底F处向前走25 m至点M处，测得点O处的仰角为$53°$，又向前走23.5 m至点N处，测得点A处的仰角为$30°$(点E,F,M,N在同一水平线上).
(1)求叶片OA的长；
(2)在图②的状态下，当叶片绕点O顺时针转动$90°$时(如图③)，求叶片OC的顶端C离水平地面EF的距离.
(参考数据:$\sin53°\approx\frac{4}{5}$，$\cos53°\approx\frac{3}{5}$，$\tan53°\approx\frac{4}{3}$，$\sqrt{3}\approx1.7$，结果保留整数)

10.【解】(1)$\because DE$ 垂直于水平地面 $EF,\therefore∠ E=90°.$
$\because$ 山坡 DF 的坡比 $i=3:4,\therefore\frac{DE}{EF}=\frac{3}{4},$
$\therefore$ 设 $DE=3x\ \mathrm{m}$,则 $EF=4x\ \mathrm{m}.$
$\because$ 坡面 DF 长为 10 m,
$\therefore(3x)^2+(4x)^2=10^2$,解得 $x=2$(负值已舍去).
$\therefore DE=6\ \mathrm{m},EF=8\ \mathrm{m}.$
$\because MF=25\ \mathrm{m},\therefore ME=MF+EF=33\ \mathrm{m}.$
由题意得 $∠ OME=53°,$
$\therefore OE=ME·\tan53°\approx33×\frac{4}{3}=44(\mathrm{m}).$
$\because MN=23.5\ \mathrm{m},\therefore NE=ME+MN=56.5\ \mathrm{m}.$
由题意得 $∠ N=30°,$
$\therefore AE=NE·\tan30°=56.5×\frac{\sqrt{3}}{3}\approx32(\mathrm{m}).$
$\therefore OA=OE-AE\approx44-32=12(\mathrm{m}).$
(2)过点 C 作 $CH⊥ OE$ 于点 H,$CG⊥ NE$ 交 NE 的延长线于 G,
$\therefore∠ CHO=∠ CHE=∠ CGE=90°.$
$\because DE⊥ EF,\therefore∠ DEG=90°.$
$\therefore$ 四边形 HEGC 是矩形,$\therefore EH=CG.$
$\because$ 叶片绕点 O 顺时针转动 $90°,\therefore∠ AOE=90°.$
又 $\because∠ AOC=120°,\therefore∠ COH=30°.$
由题意得 $OC=OA\approx12\ \mathrm{m},$
$\therefore OH=OC·\cos∠ COH\approx12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}(\mathrm{m}).$
$\therefore CG=HE=OE-OH\approx44-6\sqrt{3}\approx34(\mathrm{m}).$
$\therefore$ 叶片 OC 的顶端 C 离水平地面 EF 的距离约为 34 m.