1. [2025 广元] 为传承红色文化，广元人民在“九华岩战斗遗址”修建了纪念塔. 该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成(). 小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量(): 他站在与塔底同一水平面的点 E 处，测得五角星最高点 A 的仰角$∠ ACD=74°$, 最低点 B 的仰角$∠ BCD=73°$, 点 E 到塔底中心 O 的距离 OE 为 15 米. 求五角星高度 AB 大约是多少米(结果保留整数)? (参考数据:$\tan 74° \approx 3.49$,$\tan 73° \approx 3.27$)

1. 【解】如图，设射线 CD 与 OA 相交于点 F. 由题意可知，CD//OE,CD⊥CE,OE⊥CE,OE⊥OA,OE=15 米，
∴四边形 OECF 为矩形，故 CF=OE=15 米(水平距离).
在 Rt△ACF 中，∠ACF=∠ACD=74°,
∵$\tan∠ACF=\frac{AF}{CF}$,
∴$AF=CF·\tan 74°≈15×3.49=52.35$(米).
在 Rt△BCF 中，∠BCF=∠BCD=73°,
∵$\tan∠BCF=\frac{BF}{CF}$,
∴$BF=CF·\tan 73°≈15×3.27=49.05$(米).
∵点 A,B 在同一直线 OA 上，
∴AB=AF−BF≈52.35−49.05=3.3 米≈3 米.
答:五角星高度 AB 大约是 3 米.

2. 湘潭县石鼓油纸伞(如图①)因古老工艺和文化底蕴,已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片.某中学八年级数学兴趣小组参观后,进行了设计伞的实践活动.小文依据黄金分割的美学设计理念,设计了截面如图②所示的伞骨结构(其中$\frac{DH}{AH}\approx0.618$):伞柄$AH$始终平分$∠ BAC$,$AB=AC=20\ \mathrm{cm}$,当$∠ BAC=120°$时,伞完全打开,此时$∠ BDC=90°$.请问最少需要准备多长的伞柄?
(结果保留整数,参考数据:$\sqrt{3}\approx1.732$)

2. 【解】如图,过点 B 作 BE⊥AH 于点 E.
∵∠BAC=120°,AH 平分∠BAC,
∴∠BAE=60°.
∴$AE=AB·\cos 60°=20×\frac{1}{2}=10$(cm),
$BE=AB·\sin 60°=20×\frac{\sqrt{3}}{2}≈17.32$(cm).
易得$∠BDE=∠CDE=\frac{1}{2}∠BDC=45°$.
∴DE=BE≈17.32 cm,
∴AD = AE + DE ≈ 10 + 17. 32 = 27.32(cm).
∵$\frac{DH}{AH}≈0.618$,
∴$\frac{AH-AD}{AH}≈0.618$,
即$\frac{AH-27.32}{AH}≈0.618$,解得 AH≈72 cm.
答:最少需要准备 72 cm 长的伞柄.