1[中]如图，$∠ AOB = α$，$OA_1$，$OB_1$分别是$∠ AOM$和$∠ MOB$的平分线，$OA_2$，$OB_2$分别是$∠ A_1OM$和$∠ MOB_1$的平分线，$OA_3$，$OB_3$分别是$∠ A_2OM$和$∠ MOB_2$的平分线，…，$OA_n$，$OB_n$分别是$∠ A_{n-1}OM$和$∠ MOB_{n-1}$的平分线，则$∠ A_nOB_n$的度数是（）


A.$\frac{α}{n}$
B.$\frac{α}{2^{n-1}}$
C.$\frac{α}{2^n}$
D.$\frac{α}{n^2}$

1. C 【解析】因为$∠AOB = α$，$OA_1,OB_1$分别是$∠AOM$和$∠MOB$的平分线，所以$∠A_1OM =\frac{1}{2}∠AOM$，$∠B_1OM = \frac{1}{2}∠BOM$，所以$∠A_1OB_1 =\frac{1}{2}(∠AOM + ∠BOM) = \frac{1}{2}∠AOB = \frac{1}{2}α$。因为$OA_2,OB_2$分别是$∠A_1OM$和$∠MOB_1$的平分线，所以$∠A_2OM=\frac{1}{2}∠A_1OM$，$∠B_2OM=\frac{1}{2}∠B_1OM$，所以$∠A_2OB_2 = \frac{1}{2}(∠A_1OM + ∠B_1OM) = \frac{1}{2}∠A_1OB_1 =\frac{1}{2}×\frac{1}{2}∠AOB = \frac{1}{4}α=\frac{α}{2^2}$。因为$OA_3,OB_3$分别是$∠A_2OM$和$∠MOB_2$的平分线，所以$∠A_3OM =\frac{1}{2}∠A_2OM$，$∠B_3OM = \frac{1}{2}∠B_2OM$，所以$∠A_3OB_3 =\frac{1}{2}(∠A_2OM + ∠B_2OM) = \frac{1}{2}∠A_2OB_2 = \frac{1}{2}×\frac{1}{2}∠A_1OB_1=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{8}α=\frac{α}{2^3}$，…，由此规律得$∠A_nOB_n=\frac{α}{2^n}$。故选C。
思路分析：由角平分线定义推$∠A_1OB_1=\frac{1}{2}α$，$∠A_2OB_2=\frac{α}{2^2}$，$∠A_3OB_3=\frac{α}{2^3}$，据此规律可得$∠A_nOB_n=\frac{α}{2^n}$。

2[中](1)如图,若$∠ AOB = 120°$,$∠ AOC = 40°$,OD,OE分别平分$∠ AOB$,$∠ AOC$,求$∠ DOE$的度数；
(2)若$∠ AOB$,$∠ AOC$是平面内两个角,$∠ AOB = m°$,$∠ AOC = n°(0 ＜ n ＜ m ＜ 180)$,$OD$,$OE$分别平分$∠ AOB$,$∠ AOC$,求$∠ DOE$的度数.(用含$m$,$n$的代数式表示)

2.【解】(1)因为$∠AOB=120°$，$OD$平分$∠AOB$，所以$∠AOD=∠BOD=\frac{1}{2}∠AOB=60°$。因为$OE$平分$∠AOC$，$∠AOC=40°$，所以$∠AOE=\frac{1}{2}∠AOC=20°$，所以$∠DOE = ∠AOD - ∠AOE = 60°-20°=40°$。
(2)若射线$OC$在$∠AOB$的内部，。因为$∠AOB=m°$，$∠AOC=n°$，$OD,OE$分别平分$∠AOB,∠AOC$，所以$∠DOE=∠AOD - ∠AOE=\frac{1}{2}∠AOB-\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(m-n)°$，所以当射线$OC$在$∠AOB$的内部时，$∠DOE=\frac{1}{2}(m-n)°$。
若射线$OC$在$∠AOB$外部时，。因为$∠AOB=m°$，$∠AOC=n°$，$OD,OE$分别平分$∠AOB,∠AOC$，所以$∠DOE=∠AOD+∠AOE=\frac{1}{2}∠AOB+\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(m+n)°$，所以当射线$OC$在$∠AOB$的外部时，$∠DOE=\frac{1}{2}(m+n)°$。
综上所述，$∠DOE$的度数为$\frac{1}{2}(m-n)°$或$\frac{1}{2}(m+n)°$。
大招解读：两个角有公共部分，条件：如图，已知OD,OE分别平分$∠AOB,∠BOC$，，结论：$∠DOE=\frac{1}{2}∠AOC$。
关键点：(2)分两种情况：①射线OC在$∠AOB$内部；②射线OC在$∠AOB$的外部。

3[中]如图,已知在同一平面内,∠AOB=90°,∠AOC=60°.
(1)填空:∠BOC=;
(2)如果OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,求∠DOE的度数;
(3)如果在(2)的条件下将∠AOC=60°改为∠AOC=2α(α＜45°),其他条件不变,求∠DOE的度数.

3.【解】(1)因为$∠AOB=90°$，$∠AOC=60°$，所以$∠BOC=∠AOB+∠AOC=150°$，故答案为$150°$。
(2)由(1)知$∠BOC=150°$。因为$OD$平分$∠BOC$，所以$∠DOC=\frac{1}{2}∠BOC=75°$。因为$OE$平分$∠AOC$，$∠AOC=60°$，所以$∠COE=\frac{1}{2}∠AOC=30°$，所以$∠DOE=∠DOC-∠COE=45°$。
(3)因为$∠AOB=90°$，$∠AOC=2α$，所以$∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+2α$。因为$OD$平分$∠BOC$，所以$∠DOC=\frac{1}{2}∠BOC=45°+α$。因为$OE$平分$∠AOC$，$∠AOC=2α$，所以$∠COE=\frac{1}{2}∠AOC=α$，所以$∠DOE=∠DOC-∠COE=45°$。

4[中]已知$∠ AOB = 80°$，$∠ COD = 50°$，$OE$平分$∠ AOC$，$OF$平分$∠ BOD$.
(1)如图(1)，当$OB$，$OC$重合时，求$∠ EOF$的度数.
(2)当$∠ COD$从(1)中的位置绕点$O$顺时针旋转$n°(0＜n＜50)$时(如图(2))，$∠ EOF$的度数是否为定值？若是定值，求出$∠ EOF$的度数；若不是，请说明理由.
(3)在(2)的条件下，若满足$∠ AOD - ∠ EOF = \frac{3}{2}(∠ BOE + ∠ COF)$，求$n$的值.

4.【解】(1)因为$OB$与$OC$重合，$OE$平分$∠AOC$，$OF$平分$∠BOD$，所以$∠EOB=\frac{1}{2}∠AOB$，$∠BOF=\frac{1}{2}∠COD$，所以$∠EOF=∠EOB+∠BOF=\frac{1}{2}∠AOB+\frac{1}{2}∠COD=\frac{1}{2}×80°+\frac{1}{2}×50°=65°$。
(2)$∠EOF$的度数是定值。
当$0＜n＜50$时，根据题图(2)，得$∠BOC=n°$，$∠AOC=80°+n°$，$∠BOD=50°+n°$。因为$OE$平分$∠AOC$，所以$∠COE=\frac{1}{2}∠AOC$。因为$OF$平分$∠BOD$，所以$∠BOF=\frac{1}{2}∠BOD$，所以$∠EOF=∠COE+∠COF=∠COE+∠BOF-∠BOC=\frac{1}{2}∠AOC+\frac{1}{2}∠BOD-∠BOC=\frac{1}{2}×(80°+n°)+\frac{1}{2}×(50°+n°)-n°=65°$，所以$∠EOF$的度数是定值，$∠EOF=65°$。
(3)当$0＜n＜50$时，根据题图(2)，得$∠AOB=80°$，$∠COD=50°$，$∠BOC=n°$，所以$∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=80°+n°+50°=(130+n)°$。
因为$∠AOD-∠EOF=\frac{3}{2}(∠BOE+∠COF)$，所以$∠AOD-∠EOF=\frac{3}{2}(∠EOF-∠BOC)$。
由(2)可知$∠EOF=65°$，
所以$130+n-65=\frac{3}{2}(65-n)$，解得$n=13$，
所以$n$的值为13。
关键点拨：掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键。

5[中]如图，$∠ AOB=126°$,射线OC在$∠ AOB$外，且$∠ BOC=2∠ AOC$,若OM平分$∠ BOC$,ON平分$∠ AOC$,则$∠ MON=$.

5. $117°$ 【解析】因为$∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°$，所以$∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB$。因为$OM$平分$∠BOC$，$ON$平分$∠AOC$，所以$∠MOC=\frac{1}{2}∠BOC$，$∠CON=\frac{1}{2}∠AOC$，所以$∠MON=∠MOC+∠CON=\frac{1}{2}∠BOC + \frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(∠BOC+∠AOC)=\frac{1}{2}(360°-∠AOB)=180°-\frac{1}{2}∠AOB=180°-\frac{1}{2}×126°=117°$，故答案为$117°$。
大招解读：三个角围成周角，条件：如图，已知$∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°$，$OP_1$平分$∠AOC$，$OP_2$平分$∠BOC$，，结论：$∠P_1OP_2=180°-\frac{1}{2}∠AOB$。