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1[2025江苏淮安调研]下列各图中，∠BAC为圆周角的是（
D
）答案
1.D
【解析】
A ∠BAC的边AC没有与圆相交,所以∠BAC不是圆周角,故此选项不符合题意
B ∠BAC的边AC,AB都没有与圆相交,所以∠BAC不是圆周角,故此选项不符合题意
C ∠BAC的顶点没在圆上,所以∠BAC不是圆周角,故此选项不符合题意
D ∠BAC符合圆周角定义,是圆周角,故此选项符合题意
故选D.
【解析】
A ∠BAC的边AC没有与圆相交,所以∠BAC不是圆周角,故此选项不符合题意
B ∠BAC的边AC,AB都没有与圆相交,所以∠BAC不是圆周角,故此选项不符合题意
C ∠BAC的顶点没在圆上,所以∠BAC不是圆周角,故此选项不符合题意
D ∠BAC符合圆周角定义,是圆周角,故此选项符合题意
故选D.
解析
【分析】
要判断∠BAC是否为圆周角，首先回忆圆周角的判定条件：圆周角需要同时满足两个要求，一是角的顶点在圆上，二是角的两条边都与圆相交（即两边除顶点外，各有另一个交点在圆上）。解题时用这两个条件逐一排查四个选项，全部满足的就是正确答案。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，逐一分析选项：
选项A：∠BAC的顶点A在圆上，但边AC仅顶点A与圆相交，无其他交点，不满足两边都与圆相交的条件，不是圆周角；
选项B：∠BAC的顶点A在圆上，但边AB、AC都仅顶点A与圆相交，无其他交点，不满足两边都与圆相交的条件，不是圆周角；
选项C：∠BAC的顶点A不在圆上，不满足顶点在圆上的条件，不是圆周角；
选项D：∠BAC的顶点A在圆上，边AB、AC分别与圆交于B、C两点，满足两边都与圆相交的条件，是圆周角。
【答案】
D
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，只要牢记圆周角的两个判定条件，逐一核对即可快速解题，需注意两个条件缺一不可。
【难度系数】
0.9
要判断∠BAC是否为圆周角，首先回忆圆周角的判定条件：圆周角需要同时满足两个要求，一是角的顶点在圆上，二是角的两条边都与圆相交（即两边除顶点外，各有另一个交点在圆上）。解题时用这两个条件逐一排查四个选项，全部满足的就是正确答案。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，逐一分析选项：
选项A：∠BAC的顶点A在圆上，但边AC仅顶点A与圆相交，无其他交点，不满足两边都与圆相交的条件，不是圆周角；
选项B：∠BAC的顶点A在圆上，但边AB、AC都仅顶点A与圆相交，无其他交点，不满足两边都与圆相交的条件，不是圆周角；
选项C：∠BAC的顶点A不在圆上，不满足顶点在圆上的条件，不是圆周角；
选项D：∠BAC的顶点A在圆上，边AB、AC分别与圆交于B、C两点，满足两边都与圆相交的条件，是圆周角。
【答案】
D
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，只要牢记圆周角的两个判定条件，逐一核对即可快速解题，需注意两个条件缺一不可。
【难度系数】
0.9
2[2025河北廊坊期中]如图，$∠ 1$~$∠ 5$这五个角中，$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角是（
A.$∠ 5$
B.$∠ 1$和$∠ 2$
C.$∠ 3$和$∠ 4$
D.$∠ 1$和$∠ 3$
C
）A.$∠ 5$
B.$∠ 1$和$∠ 2$
C.$∠ 3$和$∠ 4$
D.$∠ 1$和$∠ 3$
答案
2.C 【解析】∠1与∠2是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角,∠3与∠4是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角,∠5不是圆周角.故选C.
解析
【分析】
要解决这道题，我们分两步思考：第一步先明确圆周角的定义，先判断五个角中哪些是圆周角，排除不符合的选项；第二步再判断每个圆周角所对的弧，找到对应$\overset{\frown}{AD}$的圆周角即可。首先，圆周角需要满足两个条件：顶点在圆上，两边都和圆相交，据此可以先排除顶点在圆内的角。其次，判断圆周角所对的弧时，角的两边与圆的两个交点之间的弧就是该角所对的弧，逐一比对就能得到结果。
【解析】
首先根据圆周角的定义（顶点在圆上，且两边都与圆相交的角是圆周角）判断：∠5的顶点在圆内部，不是圆周角，因此排除A选项。
接下来判断剩余圆周角所对的弧：
1. ∠1的顶点为D，两边与圆的交点是C、B，所对的弧是$\overset{\frown}{BC}$；
2. ∠2的顶点为A，两边与圆的交点是C、B，所对的弧是$\overset{\frown}{BC}$；
3. ∠3的顶点为B，两边与圆的交点是A、D，所对的弧是$\overset{\frown}{AD}$；
4. ∠4的顶点为C，两边与圆的交点是A、D，所对的弧是$\overset{\frown}{AD}$。
因此$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角是∠3和∠4，故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角的定义；圆周角与弧的对应
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是牢记圆周角的定义，准确区分圆周角和非圆周角，再理清圆周角和所对弧的对应关系，避免混淆不同弧对应的圆周角即可得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们分两步思考：第一步先明确圆周角的定义，先判断五个角中哪些是圆周角，排除不符合的选项；第二步再判断每个圆周角所对的弧，找到对应$\overset{\frown}{AD}$的圆周角即可。首先，圆周角需要满足两个条件：顶点在圆上，两边都和圆相交，据此可以先排除顶点在圆内的角。其次，判断圆周角所对的弧时，角的两边与圆的两个交点之间的弧就是该角所对的弧，逐一比对就能得到结果。
【解析】
首先根据圆周角的定义（顶点在圆上，且两边都与圆相交的角是圆周角）判断：∠5的顶点在圆内部，不是圆周角，因此排除A选项。
接下来判断剩余圆周角所对的弧：
1. ∠1的顶点为D，两边与圆的交点是C、B，所对的弧是$\overset{\frown}{BC}$；
2. ∠2的顶点为A，两边与圆的交点是C、B，所对的弧是$\overset{\frown}{BC}$；
3. ∠3的顶点为B，两边与圆的交点是A、D，所对的弧是$\overset{\frown}{AD}$；
4. ∠4的顶点为C，两边与圆的交点是A、D，所对的弧是$\overset{\frown}{AD}$。
因此$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角是∠3和∠4，故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角的定义；圆周角与弧的对应
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是牢记圆周角的定义，准确区分圆周角和非圆周角，再理清圆周角和所对弧的对应关系，避免混淆不同弧对应的圆周角即可得分。
【难度系数】
0.8
3[2026北京海淀区期中]如图,E,F,G为圆上的三点,∠FEG=50°,P点可能是圆心的是(
C
)答案
3.C 【解析】若P点为圆心,则∠FPG=2∠FEG=100°.故选C.
解析
【分析】
要判断点P是否为圆心，可结合圆周角定理和圆心的特征分析：首先，∠FEG是弧FG所对的圆周角，若P是圆心，则∠FPG是弧FG所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可先算出圆心角的度数为2×50°=100°，排除角度不符合的选项；其次圆心一定在圆内部，据此再排除位置不符合的选项即可得到答案。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍。
已知∠FEG=50°，是弧FG所对的圆周角，若P为圆心，则∠FPG是弧FG所对的圆心角，因此∠FPG=2∠FEG=2×50°=100°。
同时圆心需位于圆的内部：
A选项∠FPG=102°，不符合度数要求，排除；
B选项∠FPG=95°，不符合度数要求，排除；
D选项P点在圆外，不可能是圆心，排除；
只有C选项∠FPG=100°且P在圆内，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 圆心的特征
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题，解题时需要同时兼顾圆心角的度数要求和圆心的位置特征，避免只看度数误选D选项，只要熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断点P是否为圆心，可结合圆周角定理和圆心的特征分析：首先，∠FEG是弧FG所对的圆周角，若P是圆心，则∠FPG是弧FG所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可先算出圆心角的度数为2×50°=100°，排除角度不符合的选项；其次圆心一定在圆内部，据此再排除位置不符合的选项即可得到答案。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍。
已知∠FEG=50°，是弧FG所对的圆周角，若P为圆心，则∠FPG是弧FG所对的圆心角，因此∠FPG=2∠FEG=2×50°=100°。
同时圆心需位于圆的内部：
A选项∠FPG=102°，不符合度数要求，排除；
B选项∠FPG=95°，不符合度数要求，排除；
D选项P点在圆外，不可能是圆心，排除；
只有C选项∠FPG=100°且P在圆内，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 圆心的特征
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题，解题时需要同时兼顾圆心角的度数要求和圆心的位置特征，避免只看度数误选D选项，只要熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4 如图,已知A,B,C三点都在$\odot O$上,$∠ B = \dfrac{1}{2}∠ A$,$∠ A = 45°$,若$△ ABC$的面积为2,则$\odot O$的半径为（
A.$4$
B.$2$
C.$\dfrac{1+\sqrt{33}}{4}$
D.$\dfrac{\sqrt{33}-1}{4}$
B
）A.$4$
B.$2$
C.$\dfrac{1+\sqrt{33}}{4}$
D.$\dfrac{\sqrt{33}-1}{4}$
答案
4.B 【解析】连接OA,OB,OC,如图.
∵ ∠CAB=45°, ∠ABC = $\frac{1}{2}$∠BAC,
∴ ∠BOC = 90°,∠ABC = 22.5°.
∵ OB = OC,
∴ ∠OCB= 45°.
∵ ∠AOC= 2∠ABC= 45°,
∴ ∠OCB=∠AOC,
∴ OA//BC,
∴ $S_{△OBC}=S_{△ABC}=2$,
∴ $\frac{1}{2}OB · OC=2$,
∴ OB=2(负值已舍去),故选B.
思路分析
连接OA,OB,OC.根据圆周角定理可得∠BOC = 90°,∠AOC = 45°,进而得出OA//BC,所以△ABC的面积和△OBC的面积相等,再根据三角形面积公式求出半径即可.
解析
【分析】
拿到这道题求圆的半径，我们可以从已知的圆周角入手，结合圆周角定理把圆周角转化为圆心角，再通过角的关系推导平行线，利用等积法关联已知的三角形面积，最终求出半径。思考步骤如下：首先，遇到圆上三点求半径的问题，优先考虑连接圆心与三个点，得到三条半径，构造和已知圆周角对应的圆心角；其次，根据给出的∠A和∠B的关系，计算两个圆心角的度数，推导特殊角或者平行关系；接着，若得到两条线平行，那么同底的两个三角形高相等，面积就相等，就能把已知的△ABC的面积转化为圆心处三角形的面积；最后，根据特殊三角形的面积公式列方程，即可求出半径。
【解析】
连接OA,OB,OC，如图。
∵ ∠CAB=45°，∠ABC = $\frac{1}{2}$∠BAC，
∴ ∠ABC = 22.5°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠BOC = 2∠CAB = 2×45°=90°，∠AOC= 2∠ABC=2×22.5°=45°。
∵ OB=OC，△OBC是等腰直角三角形，
∴ ∠OCB=45°，
∴ ∠OCB=∠AOC=45°，由内错角相等可得两直线平行，
∴ OA//BC，
∴ △ABC和△OBC同底（BC）等高（平行线OA和BC之间的距离相等），
∴ $S_{△OBC}=S_{△ABC}=2$。
设⊙O的半径为r，则OB=OC=r，
∴ $S_{△OBC}=\frac{1}{2}OB · OC=\frac{1}{2}r^2=2$，
解得r=2（半径为正数，舍去负解）。
【答案】B
【知识点】圆周角定理，平行线的判定，等积变换
【点评】本题是圆的性质的综合应用题目，解题的突破口是正确作出辅助线，通过圆周角定理得到角的等量关系，进而推出平行线实现面积的转化，是圆周角定理应用的典型题型，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
拿到这道题求圆的半径，我们可以从已知的圆周角入手，结合圆周角定理把圆周角转化为圆心角，再通过角的关系推导平行线，利用等积法关联已知的三角形面积，最终求出半径。思考步骤如下：首先，遇到圆上三点求半径的问题，优先考虑连接圆心与三个点，得到三条半径，构造和已知圆周角对应的圆心角；其次，根据给出的∠A和∠B的关系，计算两个圆心角的度数，推导特殊角或者平行关系；接着，若得到两条线平行，那么同底的两个三角形高相等，面积就相等，就能把已知的△ABC的面积转化为圆心处三角形的面积；最后，根据特殊三角形的面积公式列方程，即可求出半径。
【解析】
连接OA,OB,OC，如图
。∵ ∠CAB=45°，∠ABC = $\frac{1}{2}$∠BAC，
∴ ∠ABC = 22.5°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠BOC = 2∠CAB = 2×45°=90°，∠AOC= 2∠ABC=2×22.5°=45°。
∵ OB=OC，△OBC是等腰直角三角形，
∴ ∠OCB=45°，
∴ ∠OCB=∠AOC=45°，由内错角相等可得两直线平行，
∴ OA//BC，
∴ △ABC和△OBC同底（BC）等高（平行线OA和BC之间的距离相等），
∴ $S_{△OBC}=S_{△ABC}=2$。
设⊙O的半径为r，则OB=OC=r，
∴ $S_{△OBC}=\frac{1}{2}OB · OC=\frac{1}{2}r^2=2$，
解得r=2（半径为正数，舍去负解）。
【答案】B
【知识点】圆周角定理，平行线的判定，等积变换
【点评】本题是圆的性质的综合应用题目，解题的突破口是正确作出辅助线，通过圆周角定理得到角的等量关系，进而推出平行线实现面积的转化，是圆周角定理应用的典型题型，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
5[2026江苏连云港质检]如图,点A,B,C在$\odot O$上,D是$\overset{\frown}{AB}$的中点,若$∠ AOB=116°$,求$∠ BCD$的度数.
答案
5.【解】如图,连接OD.
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴ $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AD}$.
∵ ∠AOB=116°,
∴ ∠BOD = $\frac{1}{2}$∠AOB = 58°,
∴ ∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}×58°=29°$.
解析
【分析】
求解本题首先明确目标是求圆周角∠BCD的度数，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧对应的圆心角度数的一半，因此需要先找到∠BCD所对弧$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角。已知D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，说明$\overset{\frown}{BD}$与$\overset{\frown}{AD}$相等，对应的圆心角也相等，因此先连接OD，利用$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角∠AOB的度数求出∠BOD的度数，再代入圆周角定理即可算出∠BCD的大小。
【解析】
如图，连接OD。
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AD}$，即$\overset{\frown}{BD}$的度数是$\overset{\frown}{AB}$度数的一半。
∵ 同圆中圆心角的度数等于它所对弧的度数，∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角，∠AOB=116°，
∴ ∠BOD = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}×116°=58°$。
又
∵ ∠BCD是$\overset{\frown}{BD}$对应的圆周角，∠BOD是$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角，根据圆周角定理可得：
∴ ∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}×58°=29°$。
【答案】
如图,连接OD.
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴ $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AD}$.
∵ ∠AOB=116°,
∴ ∠BOD = $\frac{1}{2}$∠AOB = 58°,
∴ ∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}×58°=29°$.
【知识点】
弧中点的性质，圆周角定理
【点评】
本题属于圆角度计算的基础题型，重点考察圆周角定理和弧中点性质的应用，解题时通过构造辅助线将未知圆周角和已知圆心角建立关联即可求解，需注意区分圆周角和圆心角所对应的弧，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
求解本题首先明确目标是求圆周角∠BCD的度数，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧对应的圆心角度数的一半，因此需要先找到∠BCD所对弧$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角。已知D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，说明$\overset{\frown}{BD}$与$\overset{\frown}{AD}$相等，对应的圆心角也相等，因此先连接OD，利用$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角∠AOB的度数求出∠BOD的度数，再代入圆周角定理即可算出∠BCD的大小。
【解析】
如图，连接OD。
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AD}$，即$\overset{\frown}{BD}$的度数是$\overset{\frown}{AB}$度数的一半。
∵ 同圆中圆心角的度数等于它所对弧的度数，∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角，∠AOB=116°，
∴ ∠BOD = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}×116°=58°$。
又
∵ ∠BCD是$\overset{\frown}{BD}$对应的圆周角，∠BOD是$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角，根据圆周角定理可得：
∴ ∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}×58°=29°$。
【答案】
如图,连接OD.
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴ $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AD}$.
∵ ∠AOB=116°,
∴ ∠BOD = $\frac{1}{2}$∠AOB = 58°,
∴ ∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}×58°=29°$.
【知识点】
弧中点的性质，圆周角定理
【点评】
本题属于圆角度计算的基础题型，重点考察圆周角定理和弧中点性质的应用，解题时通过构造辅助线将未知圆周角和已知圆心角建立关联即可求解，需注意区分圆周角和圆心角所对应的弧，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
6 已知$\odot O$的两条弦$AB,CD$相交于点$M$,且$AB=CD$.
(1)如图(1),连接$AD$.求证:$AM=DM$.
(2)如图(2),若$AB ⊥ CD$,在$\overset{\frown}{BD}$上取一点$E$,使$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$,$AE$交$CD$于点$F$,连接$AD,DE$.判断$∠ E$与$∠ DFE$是否相等,并说明理由.
刷易错 小心有坑~
(1)如图(1),连接$AD$.求证:$AM=DM$.
(2)如图(2),若$AB ⊥ CD$,在$\overset{\frown}{BD}$上取一点$E$,使$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$,$AE$交$CD$于点$F$,连接$AD,DE$.判断$∠ E$与$∠ DFE$是否相等,并说明理由.
刷易错 小心有坑~
答案
6.(1)【证明】
∵ AB=CD,
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,即 $\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{BD}$,
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,
∴ ∠A = ∠D,
∴ AM = DM.
(2)【解】∠E与∠DFE相等.
理由如下:连接AC,如图.
∵ $\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$,
∴ ∠CAB = ∠EAB.
∵ AB ⊥ CD,AM=AM,
∴ △ACM ≅ △AFM (ASA),
∴ ∠ACF = ∠AFC.
∵ ∠ACF = ∠E,∠AFC = ∠DFE,
∴ ∠DFE = ∠E.
解析
【分析】
(1) 要证$AM=DM$，可通过证明$∠ MAD=∠ MDA$得到$△ AMD$为等腰三角形。已知$AB=CD$，根据同圆中等弦对等弧可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$可推出$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，再结合圆周角定理中等弧对等圆周角的性质，即可得到$∠ A=∠ D$，进而得证。
(2) 判断$∠ E$与$∠ DFE$是否相等，可通过角的等量代换推导：首先由$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$得对应圆周角$∠ CAB=∠ EAB$，结合$AB⊥ CD$的垂直条件可证$△ ACM≌△ AFM$，得到$∠ ACF=∠ AFC$；再根据同弧所对圆周角相等得$∠ ACF=∠ E$，结合对顶角相等$∠ AFC=∠ DFE$，即可推出两角相等。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB=CD$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，即 $\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{BD}$，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，得$∠ A = ∠ D$，
$\therefore AM = DM$。
(2) 解：$∠ E$与$∠ DFE$相等，理由如下：
连接$AC$，如图。
$\because \overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ CAB = ∠ EAB$（等弧所对的圆周角相等）。
$\because AB ⊥ CD$，
$\therefore ∠ AMC=∠ AMF=90°$，
在$△ ACM$和$△ AFM$中：
$\begin{cases}∠ CAB=∠ EAB \\AM=AM \\∠ AMC=∠ AMF\end{cases}$
$\therefore △ ACM ≌ △ AFM (\mathrm{ASA})$，
$\therefore ∠ ACF = ∠ AFC$。
$\because ∠ ACF$和$∠ E$都是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，
$\therefore ∠ ACF = ∠ E$，
又$\because ∠ AFC = ∠ DFE$（对顶角相等），
$\therefore ∠ DFE = ∠ E$。
【答案】
(1)【证明】
$\because AB=CD$,
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,即 $\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{BD}$,
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,
$\therefore ∠ A = ∠ D$,
$\therefore AM = DM$.
(2)【解】$∠ E$与$∠ DFE$相等.
理由如下:连接$AC$,如图.
$\because \overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$,
$\therefore ∠ CAB = ∠ EAB$.
$\because AB ⊥ CD$,$AM=AM$,
$\therefore △ ACM ≌ △ AFM (\mathrm{ASA})$,
$\therefore ∠ ACF = ∠ AFC$.
$\because ∠ ACF = ∠ E$,$∠ AFC = ∠ DFE$,
$\therefore ∠ DFE = ∠ E$.
【知识点】
弧弦的关系；圆周角定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质和三角形全等的相关知识，解题核心是熟练运用同圆中等弦对等弧、等弧对等圆周角的性质，通过构造辅助线证明全等完成角的等量代换，是圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$AM=DM$，可通过证明$∠ MAD=∠ MDA$得到$△ AMD$为等腰三角形。已知$AB=CD$，根据同圆中等弦对等弧可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$可推出$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，再结合圆周角定理中等弧对等圆周角的性质，即可得到$∠ A=∠ D$，进而得证。
(2) 判断$∠ E$与$∠ DFE$是否相等，可通过角的等量代换推导：首先由$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$得对应圆周角$∠ CAB=∠ EAB$，结合$AB⊥ CD$的垂直条件可证$△ ACM≌△ AFM$，得到$∠ ACF=∠ AFC$；再根据同弧所对圆周角相等得$∠ ACF=∠ E$，结合对顶角相等$∠ AFC=∠ DFE$，即可推出两角相等。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB=CD$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，即 $\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{BD}$，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，得$∠ A = ∠ D$，
$\therefore AM = DM$。
(2) 解：$∠ E$与$∠ DFE$相等，理由如下：
连接$AC$，如图。
$\because \overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ CAB = ∠ EAB$（等弧所对的圆周角相等）。
$\because AB ⊥ CD$，
$\therefore ∠ AMC=∠ AMF=90°$，
在$△ ACM$和$△ AFM$中：
$\begin{cases}∠ CAB=∠ EAB \\AM=AM \\∠ AMC=∠ AMF\end{cases}$
$\therefore △ ACM ≌ △ AFM (\mathrm{ASA})$，
$\therefore ∠ ACF = ∠ AFC$。
$\because ∠ ACF$和$∠ E$都是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，
$\therefore ∠ ACF = ∠ E$，
又$\because ∠ AFC = ∠ DFE$（对顶角相等），
$\therefore ∠ DFE = ∠ E$。
【答案】
(1)【证明】
$\because AB=CD$,
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,即 $\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{BD}$,
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,
$\therefore ∠ A = ∠ D$,
$\therefore AM = DM$.
(2)【解】$∠ E$与$∠ DFE$相等.
理由如下:连接$AC$,如图.
$\because \overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$,
$\therefore ∠ CAB = ∠ EAB$.
$\because AB ⊥ CD$,$AM=AM$,
$\therefore △ ACM ≌ △ AFM (\mathrm{ASA})$,
$\therefore ∠ ACF = ∠ AFC$.
$\because ∠ ACF = ∠ E$,$∠ AFC = ∠ DFE$,
$\therefore ∠ DFE = ∠ E$.
【知识点】
弧弦的关系；圆周角定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质和三角形全等的相关知识，解题核心是熟练运用同圆中等弦对等弧、等弧对等圆周角的性质，通过构造辅助线证明全等完成角的等量代换，是圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
7 如图，$\odot O$的半径为1，AB是$\odot O$的一条弦，且$AB=1$，则弦AB所对的圆周角的度数为
30°或150°
。答案
7.30°或150° 【解析】如图,连接OA,OB.
∵ $\odot O$的半径为1,且AB = 1,
∴ △AOB是等边三角形,
∴ ∠AOB = 60°,
∴ ∠C = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°, ∠α = 360° - ∠AOB=300°,
∴ ∠ADB = 150°,
∴ 弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°.
易错警示
一条弦所对的圆周角如果只求一个,就会漏解而导致错误.
解析
【分析】
解题时首先要明确：一条非直径的弦对应两条弧（劣弧和优弧），因此对应的圆周角有两种情况，避免漏解。第一步先连接圆心与弦的两个端点OA、OB，结合已知半径和弦长都为1，判断△AOB的形状，得到圆心角∠AOB的度数；第二步根据圆周角定理，求出劣弧AB所对的圆周角度数；第三步再求优弧AB所对的圆周角度数，两种情况都要考虑到。
【解析】
解：连接OA、OB
∵ $\odot O$的半径为1，
∴ $OA=OB=1$，
又
∵ $AB=1$，
∴ $OA=OB=AB$，即$△ AOB$是等边三角形，
∴ $∠ AOB=60°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
劣弧AB所对的圆周角$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
弦AB同时对应优弧AB，优弧AB的度数为$360°-60°=300°$，
因此优弧AB所对的圆周角$∠ ADB=\frac{1}{2}×300°=150°$（也可根据圆内接四边形对角互补，得$∠ ADB=180°-30°=150°$）。
综上，弦AB所对的圆周角的度数为$30°$或$150°$。
【答案】
$30°$或$150°$
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是易错题，考查圆周角相关性质的应用，解题的关键是牢记一条非直径的弦对应两类互补的圆周角，分别位于弦的两侧，避免仅计算劣弧对应的圆周角导致漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确：一条非直径的弦对应两条弧（劣弧和优弧），因此对应的圆周角有两种情况，避免漏解。第一步先连接圆心与弦的两个端点OA、OB，结合已知半径和弦长都为1，判断△AOB的形状，得到圆心角∠AOB的度数；第二步根据圆周角定理，求出劣弧AB所对的圆周角度数；第三步再求优弧AB所对的圆周角度数，两种情况都要考虑到。
【解析】
解：连接OA、OB
∵ $\odot O$的半径为1，
∴ $OA=OB=1$，
又
∵ $AB=1$，
∴ $OA=OB=AB$，即$△ AOB$是等边三角形，
∴ $∠ AOB=60°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
劣弧AB所对的圆周角$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
弦AB同时对应优弧AB，优弧AB的度数为$360°-60°=300°$，
因此优弧AB所对的圆周角$∠ ADB=\frac{1}{2}×300°=150°$（也可根据圆内接四边形对角互补，得$∠ ADB=180°-30°=150°$）。
综上，弦AB所对的圆周角的度数为$30°$或$150°$。
【答案】
$30°$或$150°$
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是易错题，考查圆周角相关性质的应用，解题的关键是牢记一条非直径的弦对应两类互补的圆周角，分别位于弦的两侧，避免仅计算劣弧对应的圆周角导致漏解。
【难度系数】
0.6
