10[2025湖北武汉期末]如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折痕EF交AD于E，交BC于F），点C，D的对应点分别是$C_1$，$D_1$，$ED_1$交BC于G，再将四边形$C_1D_1GF$沿FG折叠，点$C_1$，$D_1$的对应点分别是$C_2$，$D_2$，$GD_2$交EF于H。给出下列结论：①$∠ EGD_2 = ∠ EFG$；②$2∠ EFC = ∠ EGC + 180°$；③若$∠ FEG = 26°$，则$∠ EFC_2 = 102°$；④$∠ FHD_2 = 3∠ EFB$。上述结论正确的是。（填序号）

嘎嘎重要鸭

10. ②③④ 【解析】由折叠性质得$∠ DEF = ∠ GEF$,$∠ D_2GF = ∠ D_1GF$. $\because AD// BC$,$\therefore ∠ DEF = ∠ EFG$,$\therefore ∠ DEF= ∠ GEF = ∠ EFG$,$\therefore ∠ D_1GF = 180° - ∠ EGF = ∠ GEF+ ∠ GFE = 2∠ GEF$. 设$∠ EGD_2 = α$,$∠ EFG = β$, 则$∠ GEF = β$,$∠ D_2GF = ∠ D_1GF = 2β$. $\because ∠ EGD_2 + ∠ D_2GF + ∠ D_1GF = 180°$,$\therefore α + 4β = 180°$. 当$∠ EGD_2 = ∠ EFG$时,$α = β = 36°$,但题中并未明确$∠ EGD_2$,$∠ EFG$的度数,故①错误. $\because ED_1// FC_1$,$\therefore ∠ EGC = ∠ GFC_1$. 由折叠性质可知$∠ EFC = ∠ EFC_1$,则 $2∠ EFC = ∠ BFC + ∠ GFC_1 = ∠ EGC + 180°$,故②正确. 由折叠性质得$∠ EFC_1 = ∠ EFC$,$∠ GFC_2 = ∠ GFC_1$. 由①的证明过程可知,$∠ GEF = ∠ EFG = 26°$. 设$∠ EFC_2 = \gamma$, 则$∠ GFC_2 = 26° + \gamma = ∠ GFC_1$,$\therefore ∠ EFC = ∠ EFC_1 = 26° + (26° + \gamma) = \gamma + 52°$. $\because ∠ EFG + ∠ EFC = 180°$,$\therefore 26° + \gamma + 52° = 180°$,解得 $\gamma = 102°$,即$∠ EFC_2 = 102°$,故③正确. 由①知$∠ FGH = ∠ D_1GF = ∠ GEF+ ∠ GFE = 2∠ EFB$,$\therefore ∠ FHD_2 = 180° - ∠ GHF = ∠ FGH + ∠ EFB = 3∠ EFB$,故④正确. 综上所述,结论正确的是②③④,故答案为②③④.

【分析】
这是一道长方形折叠的几何结论判断题，解题时首先抓住折叠的核心性质：折叠前后对应角相等，再结合长方形对边平行的性质，利用平行线的内错角、同旁内角关系，通过设未知角表示各相关角的度数，逐个验证4个结论是否成立即可。
【解析】
由折叠的性质可得：$∠DEF = ∠GEF$，$∠D_2GF = ∠D_1GF$。
∵长方形ABCD中$AD// BC$，
∴$∠DEF = ∠EFG$，
∴$∠DEF= ∠GEF = ∠EFG$，根据三角形外角性质可得$∠D_1GF = 180° - ∠EGF = ∠GEF+ ∠GFE = 2∠GEF$。
1. 验证结论①：设$∠EGD_2 = α$，$∠EFG = β$，则$∠GEF = β$，$∠D_2GF = ∠D_1GF = 2β$。
由平角定义得$∠EGD_2 + ∠D_2GF + ∠D_1GF = 180°$，即$α + 4β = 180°$，仅当$α=β=36°$时$∠EGD_2 = ∠EFG$成立，题目无对应角度限制，故①错误。
2. 验证结论②：由折叠得$ED_1// FC_1$，
∴$∠EGC = ∠GFC_1$。
又由折叠性质可知$∠EFC = ∠EFC_1$，
∴$2∠EFC = ∠EFC + ∠EFC_1 = 180° + ∠GFC_1 = ∠EGC + 180°$，故②正确。
3. 验证结论③：若$∠FEG = 26°$，则$∠EFG=∠FEG=26°$。
由折叠性质得$∠EFC_1 = ∠EFC$，$∠GFC_2 = ∠GFC_1$。
设$∠EFC_2 = \gamma$，则$∠GFC_2 = 26° + \gamma = ∠GFC_1$，
∴$∠EFC = ∠EFC_1 = 26° + (26°+\gamma) = \gamma + 52°$。
∵$∠EFG + ∠EFC = 180°$，
∴$26° + \gamma + 52° = 180°$，解得$\gamma=102°$，即$∠EFC_2=102°$，故③正确。
4. 验证结论④：由推导得$∠FGH = ∠D_2GF = 2∠EFB$，
$∠FHD_2$是$△ GFH$的外角，
∴$∠FHD_2 = ∠FGH + ∠EFB = 3∠EFB$，故④正确。
【答案】
②③④
【知识点】
折叠的性质，平行线的性质，角的和差计算
【点评】
本题结合折叠变换考查平面几何中角的数量关系推导，需要熟练掌握折叠前后对应角相等的特点，灵活运用平行线的性质和角的相关定义进行角的转化，能较好考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

三、解答题(共45分)
11 [2026浙江杭州期末]把下面的证明过程补充完整,并写出推理根据.
已知:如图,四边形ABCD,点E,F分别在边CD两方的延长线上,连接FA.若∠2+∠3=180°,∠B=∠1.求证:∠4=∠F.
证明:∵点E在CD的延长线上(已知),
∴∠2+∠1=180°(平角定义).
又∵∠2+∠3=180°(已知),
∴∠3=∠().
又∵∠B=∠1(已知),
∴∠B=∠(等量代换),
∴AB//FD(),
∴∠4=∠F().

11.【解】$\because$ 点 $E$ 在 $CD$ 的延长线上 (已知),$\therefore ∠ 2+ ∠ 1=180°$(平角定义). 又$\because ∠ 2+ ∠ 3 = 180°$(已知),$\therefore ∠ 3 = ∠ 1$(同角的补角相等). 又$\because ∠ B = ∠ 1$(已知),$\therefore ∠ B = ∠ 3$(等量代换),$\therefore AB// FD$(内错角相等,两直线平行),$\therefore ∠ 4 = ∠ F$(两直线平行,内错角相等). 故答案为 1;同角的补角相等;3;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等.

【分析】
这是一道几何证明补全过程的题目，解题时顺着给出的证明逻辑逐步推导即可：首先已知∠2和∠1组成平角和为180°，同时∠2和∠3的和也为180°，根据补角的性质可推出∠3与∠1相等；再结合已知∠B=∠1，通过等量代换得到∠B=∠3，这两个角是直线AB、FD被截形成的内错角，满足内错角相等即可判定两直线平行；最后根据平行线的性质，两直线平行时内错角相等，就能得到∠4=∠F，每一步的推理依据要对应所学的几何定理。
【解析】
证明：
∵点E在CD的延长线上(已知),
∴∠2+∠1=180°(平角定义).
又
∵∠2+∠3=180°(已知),
∴∠3=∠$\boldsymbol{1}$(同角的补角相等).
又
∵∠B=∠1(已知),
∴∠B=∠$\boldsymbol{3}$(等量代换),
∴$\boldsymbol{AB// FD}$(内错角相等,两直线平行),
∴∠4=∠F(两直线平行,内错角相等).
【答案】
依次填入：1；同角的补角相等；3；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【知识点】
补角的性质；平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何推理题，侧重考查几何证明的逻辑严谨性，需要学生熟练掌握补角性质、平行线的判定和性质，能准确匹配每一步推理对应的理论依据。
【难度系数】
0.8

12[2026广东广州期末]台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能集中光线，使得周围环境适合阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义。如图(1)是一个可折叠台灯，图(2)是台灯的示意图。底座MN位于水平位置，支架AB为固定支撑杆，支架BC可以绕点B旋转，从而调节灯光照射方向。已知灯体顶角$∠ DCE=76°$，$∠ DCE$的平分线CP始终与BC垂直。当支架BC旋转至水平位置时，CD恰好与AB平行，请你求出此时$∠ BAN$的度数。

12.【解】$\because CP$ 平分$∠ DCE$,$∠ DCE=76°$,$\therefore ∠ DCP=\frac{1}{2}∠ DCE = 38°$. $\because CP ⊥ BC$,$\therefore ∠ BCP= 90°$,$\therefore ∠ BCD = ∠ BCP+ ∠ DCP = 128°$. $\because CD// AB$,$\therefore ∠ B = 180°- ∠ BCD = 180°-128°=52°$(两直线平行,同旁内角互补). $\because BC// MN$,$\therefore ∠ BAN = ∠ B = 52°$(两直线平行,内错角相等).

【分析】
解题时可从已知条件出发逐步推导：首先利用角平分线的定义求出∠DCP的度数；再结合CP与BC垂直的条件，计算得出∠BCD的度数；接下来根据CD与AB平行的性质，通过同旁内角互补求出∠B的度数；最后结合BC、MN均为水平位置即BC//MN的隐含条件，利用平行线内错角相等的性质即可求出∠BAN的度数。
【解析】
解：$\because CP$ 平分$∠ DCE$,$∠ DCE=76°$,
$\therefore ∠ DCP=\frac{1}{2}∠ DCE = 38°$.
$\because CP ⊥ BC$,
$\therefore ∠ BCP= 90°$,
$\therefore ∠ BCD = ∠ BCP+ ∠ DCP = 90°+38°=128°$.
$\because CD// AB$,
$\therefore ∠ B + ∠ BCD = 180°$(两直线平行,同旁内角互补),
$\therefore ∠B= 180°- 128°=52°$.
$\because BC$为水平位置，$MN$为水平位置，即$BC// MN$,
$\therefore ∠ BAN = ∠ B = 52°$(两直线平行,内错角相等).
【答案】
$52°$
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质、垂直的定义
【点评】
本题结合生活中的台灯场景考查几何知识的应用，解题关键是梳理清楚各角之间的数量关系和位置关系，熟练运用相关性质逐步推导即可。
【难度系数】
0.7

13[2026山东淄博期中]已知直线$AB// CD$，点$E,G$为直线$AB$上不重合的两个点，$EF// GH$，分别交直线$CD$于点$F,H$，$EP$平分$∠ AEF$交$CD$于点$P$.
(1)如图(1)，证明：$∠ PHG=∠ FEG$.
(2)如图(1)，若$∠ EPF:∠ PHG = 1:3$，求$∠ EFD$的大小.
(3)如图(2)，点$M$为线段$GH$延长线上一点，连接$EM$，$FM$.若$∠ HFM = ∠ HMF$，试探索$∠ PEM$与$∠ EMF$之间的数量关系，并说明理由.

13. (1)【证明】$\because AB// CD$,$\therefore ∠ FEG = ∠ EFP$. $\because EF// GH$,$\therefore ∠ EFP = ∠ PHG$,$\therefore ∠ PHG = ∠ FEG$.
【解】(2)$\because AB// CD$,$\therefore ∠ EPF = ∠ PEA$. $\because EP$ 平分$∠ AEF$,$\therefore ∠ AEP = \frac{1}{2}∠ AEF$,$\therefore ∠ EPF = \frac{1}{2}∠ AEF$.
$\because ∠ AEF + ∠ FEG = 180°$,$\therefore ∠ EPF = \frac{1}{2}(180° - ∠ FEG)$. 由(1)知$∠ PHG = ∠ FEG$,$\therefore ∠ EPF = \frac{1}{2}(180° - ∠ PHG)$. $\because ∠ EPF: ∠ PHG = 1:3$,$\therefore$ 可设$∠ EPF = x$,$∠ PHG = 3x$,$\therefore x = \frac{1}{2}(180° - 3x)$,解得$x = 36°$,$\therefore ∠ PHG = 108°$. $\because EF// GH$,$\therefore ∠ EFD + ∠ PHG = 180°$,$\therefore ∠ EFD = 72°$.
(3) $∠ PEM + ∠ EMF = 90°$. 理由如下:设$∠ EMF = α$,$∠ EMG = β$, 则$∠ HFM = ∠ HMF = α+β$. $\because EF// GH$,$\therefore ∠ EFM+ ∠ HMF = 180°$,$∠ FEM = ∠ EMG = β$,$\therefore ∠ EFM = 180° - (α+β)$,$\therefore ∠ EFH = ∠ EFM - ∠ HFM = 180° - 2(α+β)$. $\because AB// CD$,$\therefore ∠ AEF = ∠ EFH = 180° - 2(α+β)$. $\because EP$ 平分$∠ AEF$,$\therefore ∠ PEF = \frac{1}{2}∠ AEF = 90° - α - β$,$\therefore ∠ PEM = ∠ PEF+ ∠ FEM = 90°-α-β+β=90°-α$. $\because ∠ EMF = α$,$\therefore ∠ PEM = 90° - ∠ EMF$,$\therefore ∠ PEM + ∠ EMF = 90°$.

【分析】
(1) 要证明∠PHG=∠FEG，可借助平行线性质找中间角传递相等关系：先由AB//CD得内错角∠FEG=∠EFP，再由EF//GH得同位角∠EFP=∠PHG，等量代换即可得证。
(2) 求∠EFD的大小，先结合平行线性质和角平分线定义推导∠EPF与∠AEF的关系：AB//CD得内错角∠EPF=∠PEA，EP平分∠AEF则∠PEA= $\frac{1}{2}$∠AEF，即∠EPF= $\frac{1}{2}$∠AEF；再结合平角定义∠AEF+∠FEG=180°，利用(1)的结论∠FEG=∠PHG，将∠EPF用∠PHG表示；最后结合角的比例关系设未知数列方程求解，再利用EF//GH的同旁内角互补即可算出∠EFD。
(3) 探索∠PEM与∠EMF的数量关系，可采用设参数的方法简化推导：设∠EMF=α，∠EMG=β，由∠HFM=∠HMF得∠HFM=α+β；再结合EF//GH的性质，得同旁内角∠EFM+∠HMF=180°、内错角∠FEM=∠EMG=β，进而算出∠EFH的大小；再由AB//CD得∠AEF=∠EFH，结合角平分线定义算出∠PEF，最后将∠PEM表示为∠PEF与∠FEM的和，整理即可得到两角的数量关系。
【解析】
(1) 证明：$\because AB// CD$，$\therefore ∠ FEG = ∠ EFP$（两直线平行，内错角相等）。
$\because EF// GH$，$\therefore ∠ EFP = ∠ PHG$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠ PHG = ∠ FEG$。
(2) 解：$\because AB// CD$，$\therefore ∠ EPF = ∠ PEA$（两直线平行，内错角相等）。
$\because EP$ 平分$∠ AEF$，$\therefore ∠ AEP = \frac{1}{2}∠ AEF$，
$\therefore ∠ EPF = \frac{1}{2}∠ AEF$。
$\because ∠ AEF + ∠ FEG = 180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ EPF = \frac{1}{2}(180° - ∠ FEG)$。
由(1)知$∠ PHG = ∠ FEG$，
$\therefore ∠ EPF = \frac{1}{2}(180° - ∠ PHG)$。
$\because ∠ EPF: ∠ PHG = 1:3$，
设$∠ EPF = x$，$∠ PHG = 3x$，
代入得 $x = \frac{1}{2}(180° - 3x)$，
解得$x = 36°$，$\therefore ∠ PHG = 3×36°=108°$。
$\because EF// GH$，$\therefore ∠ EFD + ∠ PHG = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠ EFD = 180° - 108° = 72°$。
(3) 解：$∠ PEM + ∠ EMF = 90°$，理由如下：
设$∠ EMF = α$，$∠ EMG = β$，
$\because ∠ HFM = ∠ HMF$，$\therefore ∠ HFM = α+β$。
$\because EF// GH$，
$\therefore ∠ EFM+ ∠ HMF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$∠ FEM = ∠ EMG = β$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ EFM = 180° - (α+β)$，
$\therefore ∠ EFH = ∠ EFM - ∠ HFM = 180° - (α+β) - (α+β) = 180° - 2(α+β)$。
$\because AB// CD$，$\therefore ∠ AEF = ∠ EFH = 180° - 2(α+β)$（两直线平行，内错角相等）。
$\because EP$ 平分$∠ AEF$，$\therefore ∠ PEF = \frac{1}{2}∠ AEF = \frac{1}{2}[180° - 2(α+β)] = 90° - α - β$，
$\therefore ∠ PEM = ∠ PEF+ ∠ FEM = 90°-α-β+β=90°-α$。
$\because ∠ EMF = α$，
$\therefore ∠ PEM = 90° - ∠ EMF$，即$∠ PEM + ∠ EMF = 90°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{∠EFD=72°}$；(3) $\boldsymbol{∠PEM + ∠EMF = 90°}$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质
【点评】
本题围绕平行线的性质展开，层层递进设置问题，既考察了基础的角度相等推导、角度计算，也结合方程思想、参数法考察了复杂角度关系的推导，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6