1. 下图中全等的三角形是（）


A.图①和图②
B.图②和图③
C.图②和图④
D.图①和图③

1.D

【分析】
要判断哪组三角形全等，首先回忆全等三角形的SAS判定规则：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。本题中四个三角形都有30°的角，我们只需要分别找出每个三角形中30°角的两条邻边的长度，再对比哪两个三角形的这组边和角全部对应相等，就能得到全等的三角形。
【解析】
根据全等三角形的SAS判定定理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
我们逐一分析每个三角形中30°角的两条邻边长度：
图①：30°角的两条邻边长度分别为8cm、9cm；
图②：30°角的两条邻边长度分别为8cm、5cm；
图③：30°角的两条邻边长度分别为8cm、9cm；
图④：30°角的两条邻边长度分别为8cm、8cm。
对比可知，图①和图③的30°夹角，以及夹这个角的两条边都对应相等，满足SAS全等判定条件，因此图①和图③是全等三角形。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形SAS判定
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的应用，解题的关键是找准相等角对应的两条邻边，注意使用SAS判定时，相等的角必须是两组对应相等边的夹角，避免混淆边和角的对应关系。
【难度系数】
0.8

2.[2026·淮北期末]如图,AC和BD相交于点O,OA=OD,若用“SAS”证明$△ AOB ≌ △ DOC$,则还需添加（）

A.$AB=DC$
B.$OB=OC$
C.$∠ A=∠ D$
D.$∠ B=∠ C$

2.B

【分析】
解题时首先明确题目要求是用“SAS”证明三角形全等，先回忆SAS判定定理的内容：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。接下来梳理现有条件：已知OA=OD，再结合图形特征，AC和BD交于点O，可得对顶角∠AOB=∠DOC。此时已经有一组边相等、一组夹角相等，要满足SAS判定，还需要夹角的另一组对应边相等，也就是OB=OC，再逐一排查选项即可得到答案。
【解析】
要使用“SAS”证明△AOB≌△DOC，需满足两边及其夹角对应相等：
1. 整理现有条件：
① 题中已给出OA=OD；
② 因为AC与BD相交于点O，根据对顶角相等，可得∠AOB=∠DOC。
2. 结合SAS判定要求分析：已有边OA=OD，夹角∠AOB=∠DOC，还缺少该夹角的另一组对应边相等，即OB=OC。
3. 逐一分析选项：
A选项：添加AB=DC时，条件为OA=OD，∠AOB=∠DOC，AB=DC，属于SSA，无法判定三角形全等，不符合要求；
B选项：添加OB=OC时，OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，刚好满足“SAS”判定条件，符合要求；
C选项：添加∠A=∠D时，条件为∠A=∠D，OA=OD，∠AOB=∠DOC，属于“ASA”判定，不符合“SAS”的要求；
D选项：添加∠B=∠C时，条件为∠B=∠C，∠AOB=∠DOC，OA=OD，属于“AAS”判定，不符合“SAS”的要求。
综上，应选B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形SAS判定；对顶角的性质
【点评】
本题主要考查全等三角形“SAS”判定定理的应用，解题时要注意“SAS”中的角必须是两组对应边的夹角，同时要注意挖掘图形中隐含的对顶角相等的条件，避免混淆不同的全等判定定理。
【难度系数】
0.8

3.如图,已知$AB=DC$,则添加一个条件:，就能直接利用“SAS”判定$△ ABC≌△ DCB$.

3.$∠ABC=∠DCB$

【分析】
首先回忆全等三角形“SAS”判定定理的内容：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。先梳理题中已有的相等条件：已知$AB=DC$，同时$△ ABC$和$△ DCB$有公共边$BC=CB$，此时已经具备两组对应边相等，要满足SAS的判定要求，只需要添加这两组对应边的夹角相等即可，也就是$AB$与$BC$的夹角$∠ ABC$、$DC$与$CB$的夹角$∠ DCB$相等，就能符合判定条件。
【解析】
要利用“SAS”判定$△ ABC≌△ DCB$，先列出已有的相等条件：
1. 题目已知$AB=DC$；
2. $BC$是$△ ABC$和$△ DCB$的公共边，因此$BC=CB$。
“SAS”判定要求两组对应边的夹角相等，其中$AB$和$BC$的夹角是$∠ ABC$，$DC$和$CB$的夹角是$∠ DCB$，因此添加条件$∠ ABC=∠ DCB$时，正好满足两边及其夹角分别相等的要求，可直接用“SAS”判定两个三角形全等。
【答案】
$∠ ABC=∠ DCB$
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 公共边的性质
【点评】
本题考查全等三角形“SAS”判定的基础应用，解题的核心是明确“SAS”中的角必须是两组对应边的夹角，不要误选非夹角的角，避免出现不符合判定规则的错误。
【难度系数】
0.8

4.如图，AB//DE，AB＝DE，BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.

4.证明:$\because AB// DE,\therefore ∠ABC=∠DEF.$
$\because BE=CF,\therefore BE+CE=CF+CE$,即$BC=EF.$
在$△ ABC$ 和$△ DEF$ 中,$\because \begin{cases} AB=DE,\\ ∠ABC=∠DEF,\\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF.(SAS)$

【分析】
要证明△ABC≌△DEF，可结合已知条件匹配全等判定定理。已知一组对应边AB=DE，首先由AB//DE，根据平行线的同位角相等性质，可得∠ABC=∠DEF，即AB与BC的夹角、DE与EF的夹角相等；再由BE=CF，给等式两边同时加上公共线段EC，可推得BC=EF，此时满足“两边及其夹角分别相等”的SAS全等判定条件，即可证得结论。
【解析】
证明：
$\because AB// DE$，
$\therefore ∠ ABC=∠ DEF$。
$\because BE=CF$，
$\therefore BE+CE=CF+CE$，即$BC=EF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases} AB=DE,\\ ∠ ABC=∠ DEF,\\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$。
【答案】
$△ ABC≌△ DEF$，证明过程如上。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形SAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题型，解题关键是利用平行线性质得到对应角相等，通过线段和差关系推导得到对应边相等，熟练掌握全等判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.85

5.[2025·合肥瑶海区期末]如图，CA平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E.
(1)求证:△ABC≌△ADC；
(2)若∠EAC=45°，求∠BAE的度数.

5.(1)证明:$\because CA$ 平分$∠DCB,\therefore ∠ACB=∠ACD.$
在$△ ABC$ 和$△ ADC$ 中,$\because \begin{cases} CB=CD,\\ ∠ACB=∠ACD,\\ AC=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC.(SAS)$
(2)解:$\because ∠EAC=45^{\circ },$
$\therefore ∠DAC=180^{\circ }-∠EAC=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }.$
由(1)知$△ ABC≌△ ADC,\therefore ∠BAC=∠DAC=135^{\circ },$
$\therefore ∠BAE=∠BAC-∠EAC=135^{\circ }-45^{\circ }=90^{\circ }.$

【分析】
(1)要证明△ABC≌△ADC，先梳理已知条件：CA平分∠DCB，可得∠ACB=∠ACD，同时已知CB=CD，还有公共边AC=AC，刚好满足两边及其夹角相等的全等判定条件，用SAS即可证明全等。
(2)要求∠BAE的度数，首先∠EAC和∠DAC是邻补角，已知∠EAC=45°，可先求出∠DAC的度数；再利用(1)中全等三角形对应角相等的性质，得到∠BAC=∠DAC，最后用∠BAC减去∠EAC就能得到∠BAE的度数。
【解析】
(1)证明：$\because CA$ 平分$∠DCB,\therefore ∠ACB=∠ACD.$
在$△ ABC$ 和$△ ADC$ 中,$\because \begin{cases} CB=CD,\\ ∠ACB=∠ACD,\\ AC=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC.(SAS)$
(2)解:$\because ∠EAC=45^{\circ },$
$\therefore ∠DAC=180^{\circ }-∠EAC=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }.$
由(1)知$△ ABC≌△ ADC,\therefore ∠BAC=∠DAC=135^{\circ },$
$\therefore ∠BAE=∠BAC-∠EAC=135^{\circ }-45^{\circ }=90^{\circ }.$
【答案】
(1)△ABC≌△ADC得证；(2)$\boldsymbol{90°}$
【知识点】
SAS全等判定，角平分线定义，全等三角形性质
【点评】
本题属于基础几何题，综合考查了角平分线、全等三角形的判定与性质、角的和差计算，解题时先根据已知条件找准全等的判定条件，再利用全等的性质转化角的关系，结合角的运算即可求解。
【难度系数】
0.7

6. 新考向 传统文化 如图是青釉点彩瓷盘口壶及其示意图，为了测量其底部内径CD，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出A，B两点之间的距离，即可得到CD的长度，其依据的数学基本事实是

6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

【分析】
要确定测量的数学依据，首先分析图形中的全等关系：两根木条中点固定，可得到两组对应边相等；两根木条相交形成的对顶角相等，恰好满足“两边及其夹角分别相等”的全等判定条件，可证明两个三角形全等，再由全等三角形对应边相等就能推出AB和CD长度相等。
【解析】
设两根细木条的交点为O，由题意可知O是两根木条的中点，因此有$OA=OD$，$OB=OC$。
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}OA=OD \\∠ AOB=∠ DOC \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\OB=OC\end{cases}$
所以$△ AOB ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$，根据全等三角形对应边相等，可得$AB=CD$，因此该测量方法的依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
【答案】
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
【知识点】
SAS全等判定；对顶角性质；全等三角形性质
【点评】
本题结合考古测量的实际传统文化情境，考查了全等三角形判定定理的实际应用，能够引导学生感知数学知识在实际场景中的实用价值。
【难度系数】
0.8

7. 新考向 情境题 小明做了一个如图所示的风筝，其中$∠ EDH=∠ FDH$，$DE=DF=a$，$EH=b$，则四边形$DEHF$的周长是.(用含$a$，$b$的式子表示)

7.$2a+2b$

【分析】
要计算四边形DEHF的周长，需先求出四条边的长度和。已知$DE=DF=a$，$EH=b$，仅需推导$FH$的长度即可。观察图形和已知条件：$∠ EDH=∠ FDH$，$DE=DF$，且$DH$是$△ EDH$和$△ FDH$的公共边，符合SAS全等判定的条件，证明两个三角形全等即可得到$FH=EH=b$，进而可求出周长。
【解析】
在$△ EDH$和$△ FDH$中：
$\begin{cases}DE=DF(已知)\\∠ EDH=∠ FDH(已知)\\DH=DH(公共边)\end{cases}$
$\therefore△ EDH≌△ FDH(\mathrm{SAS})$
$\therefore FH=EH=b$（全等三角形的对应边相等）
则四边形$DEHF$的周长为：
$DE+DF+EH+FH=a+a+b+b=2a+2b$
【答案】
$2a+2b$
【知识点】
SAS证三角形全等；全等三角形的性质；周长计算
【点评】
本题结合生活中的风筝情境考查全等三角形的应用，解题核心是利用公共边和已知的等边、等角，通过SAS证明三角形全等，得到未知边的长度，再计算周长，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8