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10.已知有两个全等三角形，若一个三角形三边的长分别为3,5,7，另一个三角形三边的长分别为3,3a−2b,a+2b，则a+b的值是
5或4
。答案
10.5或4
解析
【分析】
首先根据全等三角形对应边相等的性质，已知两个三角形有一条对应边均为3，因此剩下的两组边存在两种对应情况：①边长5对应3a−2b，边长7对应a+2b；②边长7对应3a−2b，边长5对应a+2b。分别对两种情况列二元一次方程组求解，得到a、b的值后验证边长为正，最后计算a+b即可。
【解析】
∵两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，且两个三角形已有长度为3的对应边，
∴分两种情况讨论：
情况一：$\begin{cases}3a - 2b = 5 \\ a + 2b = 7\end{cases}$
将两个方程左右两边相加，得$4a=12$，解得$a=3$，
把$a=3$代入$a + 2b = 7$，得$3+2b=7$，解得$b=2$，
此时$a+b=3+2=5$，验证边长：$3a-2b=5$，$a+2b=7$，均为正数，符合边长要求；
情况二：$\begin{cases}3a - 2b = 7 \\ a + 2b = 5\end{cases}$
将两个方程左右两边相加，得$4a=12$，解得$a=3$，
把$a=3$代入$a + 2b = 5$，得$3+2b=5$，解得$b=1$，
此时$a+b=3+1=4$，验证边长：$3a-2b=7$，$a+2b=5$，均为正数，符合边长要求。
综上，a+b的值为5或4。
【答案】
5或4
【知识点】
全等三角形的性质；解二元一次方程组；分类讨论
【点评】
本题考查全等三角形性质的应用，解题时需要注意对应边的不确定性，要分情况讨论避免漏解，求出参数后要验证边长是否符合实际意义，排除不符合要求的结果。
【难度系数】
0.6
首先根据全等三角形对应边相等的性质，已知两个三角形有一条对应边均为3，因此剩下的两组边存在两种对应情况：①边长5对应3a−2b，边长7对应a+2b；②边长7对应3a−2b，边长5对应a+2b。分别对两种情况列二元一次方程组求解，得到a、b的值后验证边长为正，最后计算a+b即可。
【解析】
∵两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，且两个三角形已有长度为3的对应边，
∴分两种情况讨论：
情况一：$\begin{cases}3a - 2b = 5 \\ a + 2b = 7\end{cases}$
将两个方程左右两边相加，得$4a=12$，解得$a=3$，
把$a=3$代入$a + 2b = 7$，得$3+2b=7$，解得$b=2$，
此时$a+b=3+2=5$，验证边长：$3a-2b=5$，$a+2b=7$，均为正数，符合边长要求；
情况二：$\begin{cases}3a - 2b = 7 \\ a + 2b = 5\end{cases}$
将两个方程左右两边相加，得$4a=12$，解得$a=3$，
把$a=3$代入$a + 2b = 5$，得$3+2b=5$，解得$b=1$，
此时$a+b=3+1=4$，验证边长：$3a-2b=7$，$a+2b=5$，均为正数，符合边长要求。
综上，a+b的值为5或4。
【答案】
5或4
【知识点】
全等三角形的性质；解二元一次方程组；分类讨论
【点评】
本题考查全等三角形性质的应用，解题时需要注意对应边的不确定性，要分情况讨论避免漏解，求出参数后要验证边长是否符合实际意义，排除不符合要求的结果。
【难度系数】
0.6
11.[2026·合肥庐江县期末]已知图中的两个三角形全等，其中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（
A.$54°$或$58°$
B.$58°$
C.$54°$
D.$68°$
C
）A.$54°$或$58°$
B.$58°$
C.$54°$
D.$68°$
答案
11.C
解析
【分析】
解题需用到全等三角形的性质和三角形内角和定理。首先观察两个三角形的边长，可知边长为c的边是两个三角形的对应边，根据全等三角形的性质，对应边所对的角是对应角，可先求出第二个三角形顶角的度数，再结合三角形内角和为180°，减去已知的68°角和顶角度数，就能求出∠1的度数。
【解析】
∵ 两个三角形全等，根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
观察图形可得，边长为c的边是两个三角形的对应边，因此边c所对的角为对应角。
第一个三角形中边c所对的角是58°，因此第二个三角形中边c所对的顶角为58°。
根据三角形内角和为180°，则：
∠1=180°-68°-58°=54°
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题核心是准确判断对应边和对应角的对应关系，结合三角形内角和定理即可完成计算，注意不要混淆角的对应关系即可。
【难度系数】
0.7
解题需用到全等三角形的性质和三角形内角和定理。首先观察两个三角形的边长，可知边长为c的边是两个三角形的对应边，根据全等三角形的性质，对应边所对的角是对应角，可先求出第二个三角形顶角的度数，再结合三角形内角和为180°，减去已知的68°角和顶角度数，就能求出∠1的度数。
【解析】
∵ 两个三角形全等，根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
观察图形可得，边长为c的边是两个三角形的对应边，因此边c所对的角为对应角。
第一个三角形中边c所对的角是58°，因此第二个三角形中边c所对的顶角为58°。
根据三角形内角和为180°，则：
∠1=180°-68°-58°=54°
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题核心是准确判断对应边和对应角的对应关系，结合三角形内角和定理即可完成计算，注意不要混淆角的对应关系即可。
【难度系数】
0.7
12. 如图，$△ ABC ≌ △ ADE$，$∠ CAE = 90°$，$AB = 2$，则图中阴影部分的面积为（
A.2
B.3
C.4
D.无法确定
A
）A.2
B.3
C.4
D.无法确定
答案
12.A
解析
【分析】
解题时先回忆全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应面积相等、对应角相等。第一步根据全等关系得到AB=AD，S△ABC=S△ADE，∠BAC=∠DAE；第二步推导∠BAD的度数，由∠BAC=∠DAE，两边同时加∠CAD可得∠BAD=∠CAE=90°，即△ABD是等腰直角三角形；第三步进行阴影面积的转化：因为两个全等三角形面积相等，重叠部分是公共区域，因此阴影部分的总面积可转化为等腰直角△ABD的面积，最后代入边长计算即可。
【解析】
解：
∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD=2，$S_{△ ABC}=S_{△ ADE}$，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
又
∵∠CAE=90°，
∴∠BAD=90°，即△ABD为等腰直角三角形，
结合全等三角形面积相等的性质，将阴影面积等效转化为△ABD的面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× AD=\frac{1}{2}×2×2=2$。
【答案】A
【知识点】
全等三角形的性质、三角形面积计算
【点评】
本题的核心是利用全等三角形的性质实现面积转化，把不规则的阴影面积转化为规则的直角三角形面积求解，考查学生的图形观察能力和转化思想的运用，是全等三角形章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应面积相等、对应角相等。第一步根据全等关系得到AB=AD，S△ABC=S△ADE，∠BAC=∠DAE；第二步推导∠BAD的度数，由∠BAC=∠DAE，两边同时加∠CAD可得∠BAD=∠CAE=90°，即△ABD是等腰直角三角形；第三步进行阴影面积的转化：因为两个全等三角形面积相等，重叠部分是公共区域，因此阴影部分的总面积可转化为等腰直角△ABD的面积，最后代入边长计算即可。
【解析】
解：
∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD=2，$S_{△ ABC}=S_{△ ADE}$，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
又
∵∠CAE=90°，
∴∠BAD=90°，即△ABD为等腰直角三角形，
结合全等三角形面积相等的性质，将阴影面积等效转化为△ABD的面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× AD=\frac{1}{2}×2×2=2$。
【答案】A
【知识点】
全等三角形的性质、三角形面积计算
【点评】
本题的核心是利用全等三角形的性质实现面积转化，把不规则的阴影面积转化为规则的直角三角形面积求解，考查学生的图形观察能力和转化思想的运用，是全等三角形章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
13. 如图，$△ ABC ≌ △ DEF$，$CD$ 平分 $∠ ACB$，$DF$ 交 $BC$ 于点 $G$。若 $∠ A = 26°$，$∠ CGF = 83°$，则 $∠ E$ 的度数是 ______。
答案
13.$40°$
解析
【分析】
解题时先利用全等三角形的对应角相等，得到∠D与∠A相等、∠E与∠B相等；再结合三角形外角的性质，用∠CGF减去∠D求出∠DCG的度数；接着根据角平分线的定义求出∠ACB的度数；最后利用三角形内角和定理算出∠B的度数，即可得到∠E的度数。
【解析】
解：
∵△ABC ≌ △DEF，
∴∠D = ∠A = 26°，∠E = ∠B（全等三角形的对应角相等）。
∵∠CGF是△DCG的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠CGF = ∠D + ∠DCG，
∴∠DCG = ∠CGF - ∠D = 83° - 26° = 57°。
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB = 2∠DCG = 2×57° = 114°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∴∠B = 180° - ∠A - ∠ACB = 180° - 26° - 114° = 40°，
∴∠E = ∠B = 40°。
【答案】
40°
【知识点】
全等三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形性质与三角形角度计算的综合题，解题核心是利用全等三角形的对应角相等实现角度的转化，再结合角平分线、外角性质、内角和定理逐步推导所求角度，是几何基础计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先利用全等三角形的对应角相等，得到∠D与∠A相等、∠E与∠B相等；再结合三角形外角的性质，用∠CGF减去∠D求出∠DCG的度数；接着根据角平分线的定义求出∠ACB的度数；最后利用三角形内角和定理算出∠B的度数，即可得到∠E的度数。
【解析】
解：
∵△ABC ≌ △DEF，
∴∠D = ∠A = 26°，∠E = ∠B（全等三角形的对应角相等）。
∵∠CGF是△DCG的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠CGF = ∠D + ∠DCG，
∴∠DCG = ∠CGF - ∠D = 83° - 26° = 57°。
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB = 2∠DCG = 2×57° = 114°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∴∠B = 180° - ∠A - ∠ACB = 180° - 26° - 114° = 40°，
∴∠E = ∠B = 40°。
【答案】
40°
【知识点】
全等三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形性质与三角形角度计算的综合题，解题核心是利用全等三角形的对应角相等实现角度的转化，再结合角平分线、外角性质、内角和定理逐步推导所求角度，是几何基础计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
14. 如图，$△ ADC ≌ △ AFB$，$∠ DAB = 20°$，$DA // BF$。
(1)求$∠ FAC$的度数；
(2)AF 与 DC 平行吗？请说明理由。
(1)求$∠ FAC$的度数；
(2)AF 与 DC 平行吗？请说明理由。
答案
14.解:(1)$\because △ADC≌△AFB,\therefore ∠DAC=∠FAB.$
$\therefore ∠FAB-∠BAC=∠DAC-∠BAC,$
即$∠FAC=∠DAB=20^{\circ }.$
(2)$AF// DC$.理由如下：
$\because DA// BF,\therefore ∠DAF+∠F=180^{\circ }.$
$\because △ADC≌△AFB,\therefore ∠D=∠F.$
$\therefore ∠DAF+∠D=180^{\circ }.∴AF// DC.$
$\therefore ∠FAB-∠BAC=∠DAC-∠BAC,$
即$∠FAC=∠DAB=20^{\circ }.$
(2)$AF// DC$.理由如下：
$\because DA// BF,\therefore ∠DAF+∠F=180^{\circ }.$
$\because △ADC≌△AFB,\therefore ∠D=∠F.$
$\therefore ∠DAF+∠D=180^{\circ }.∴AF// DC.$
解析
【分析】
(1) 求∠FAC的度数时，首先结合已知的全等三角形条件，利用全等三角形对应角相等得到∠DAC=∠FAB，观察这两个角的组成可知二者均包含公共角∠BAC，将两个角同时减去公共角∠BAC，即可推出∠FAC和已知度数的∠DAB相等，代入数值即可求解。
(2) 判断AF与DC是否平行，可通过平行线的判定定理推导：先由DA//BF的条件得到同旁内角互补的关系，再结合全等三角形对应角相等的性质进行等量代换，得到AF和DC被AD所截形成的同旁内角互补，即可判定两直线平行。
【解析】
(1) $\because △ADC≌△AFB$，根据全等三角形对应角相等，$\therefore ∠DAC=∠FAB$。
等式两边同时减去公共角$∠BAC$，可得：
$∠FAB-∠BAC=∠DAC-∠BAC$
即$∠FAC=∠DAB$，已知$∠DAB=20^{\circ }$，$\therefore ∠FAC=20^{\circ }$。
(2) $AF// DC$，理由如下：
$\because DA// BF$，根据两直线平行，同旁内角互补，$\therefore ∠DAF+∠F=180^{\circ }$。
$\because △ADC≌△AFB$，根据全等三角形对应角相等，$\therefore ∠D=∠F$。
等量代换得$∠DAF+∠D=180^{\circ }$，根据同旁内角互补，两直线平行，可得$AF// DC$。
【答案】
(1) $∠FAC=20^{\circ }$；
(2) $AF// DC$，理由如上。
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 平行线的判定
3. 平行线的性质
【点评】
本题属于全等三角形与平行线的综合基础题，核心是掌握全等三角形的对应角相等的性质，以及平行线的判定和性质，解题时要学会利用角的和差关系、等量代换完成角度的转换即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠FAC的度数时，首先结合已知的全等三角形条件，利用全等三角形对应角相等得到∠DAC=∠FAB，观察这两个角的组成可知二者均包含公共角∠BAC，将两个角同时减去公共角∠BAC，即可推出∠FAC和已知度数的∠DAB相等，代入数值即可求解。
(2) 判断AF与DC是否平行，可通过平行线的判定定理推导：先由DA//BF的条件得到同旁内角互补的关系，再结合全等三角形对应角相等的性质进行等量代换，得到AF和DC被AD所截形成的同旁内角互补，即可判定两直线平行。
【解析】
(1) $\because △ADC≌△AFB$，根据全等三角形对应角相等，$\therefore ∠DAC=∠FAB$。
等式两边同时减去公共角$∠BAC$，可得：
$∠FAB-∠BAC=∠DAC-∠BAC$
即$∠FAC=∠DAB$，已知$∠DAB=20^{\circ }$，$\therefore ∠FAC=20^{\circ }$。
(2) $AF// DC$，理由如下：
$\because DA// BF$，根据两直线平行，同旁内角互补，$\therefore ∠DAF+∠F=180^{\circ }$。
$\because △ADC≌△AFB$，根据全等三角形对应角相等，$\therefore ∠D=∠F$。
等量代换得$∠DAF+∠D=180^{\circ }$，根据同旁内角互补，两直线平行，可得$AF// DC$。
【答案】
(1) $∠FAC=20^{\circ }$；
(2) $AF// DC$，理由如上。
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 平行线的判定
3. 平行线的性质
【点评】
本题属于全等三角形与平行线的综合基础题，核心是掌握全等三角形的对应角相等的性质，以及平行线的判定和性质，解题时要学会利用角的和差关系、等量代换完成角度的转换即可快速求解。
【难度系数】
0.7
15.如图,已知点 B 在 AC 上,点 D 在 BE 上,△ABD≌△EBC.
(1)判断 AD 与 CE 的位置关系,并说明理由;
(2)连接 CD,若 AB=12,BC=5,求△EDC 的面积.
(1)判断 AD 与 CE 的位置关系,并说明理由;
(2)连接 CD,若 AB=12,BC=5,求△EDC 的面积.
答案
15.解:(1)$AD⊥CE$.理由如下：
如图,延长 AD 交 CE 于点 N.
$\because △ABD≌△EBC,$
$\therefore ∠ABD=∠EBC,∠DAB=∠CEB.$
$\because ∠ABD+∠EBC=180^{\circ },$
$\therefore ∠ABD=∠EBC=90^{\circ }.$
$\therefore ∠CEB+∠ECB=90^{\circ }.∴∠DAB+∠ECB=90^{\circ }.$
$\therefore ∠ANC=90^{\circ }.∴AD⊥CE.$
(2)$\because △ABD≌△EBC,\therefore AB=EB=12,BD=BC=5.$
$\therefore ED=EB-BD=12-5=7.$
由(1)知$∠EBC=90^{\circ }$,即$CB⊥EB,$
$\therefore S_{△EDC}=\frac {1}{2}ED· BC=\frac {1}{2}×7×5=\frac {35}{2}.$
解析
【分析】
(1) 判断AD与CE的位置关系时，优先考虑垂直或平行两类常见关系，结合已知的全等三角形条件，可通过延长AD交CE于交点，利用全等三角形对应角相等的性质，先推导得出∠EBC为直角，再通过角的等量代换证明交点处的夹角为90°，即可得到垂直的结论。
(2) 求△EDC的面积时，需要先确定三角形的底和对应高，根据全等三角形对应边相等的性质先求出ED的长度，结合(1)中得到的BC⊥BE的结论，可知BC就是ED边上的高，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1) $AD⊥CE$，理由如下：
如图，延长AD交CE于点N。
$\because △ABD≌△EBC,$
$\therefore ∠ABD=∠EBC,∠DAB=∠CEB.$
$\because ∠ABD+∠EBC=180^{\circ },$
$\therefore ∠ABD=∠EBC=90^{\circ }.$
$\therefore ∠CEB+∠ECB=90^{\circ }$，结合$∠ DAB=∠ CEB$等量代换得$∠ DAB+∠ECB=90^{\circ }.$
$\therefore ∠ANC=90^{\circ }$，即$AD⊥CE.$
(2) $\because △ABD≌△EBC,\therefore AB=EB=12,BD=BC=5.$
$\therefore ED=EB-BD=12-5=7.$
由(1)知$∠EBC=90^{\circ }$，即$CB⊥EB$，BC为$△ EDC$中ED边上的高，
$\therefore S_{△EDC}=\frac {1}{2}ED· BC=\frac {1}{2}×7×5=\frac {35}{2}.$
【答案】
(1) $AD⊥CE$，理由见解析；
(2) $△ EDC$的面积为$\frac{35}{2}$。
【知识点】
全等三角形的性质，垂直的判定，三角形面积计算
【点评】
本题是全等三角形性质应用的典型习题，第一问通过作辅助线转化角的关系证明垂直，是几何中证明垂直的常用技巧；第二问结合直角条件找准三角形的底和高即可快速计算面积，能有效锻炼逻辑推理能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 判断AD与CE的位置关系时，优先考虑垂直或平行两类常见关系，结合已知的全等三角形条件，可通过延长AD交CE于交点，利用全等三角形对应角相等的性质，先推导得出∠EBC为直角，再通过角的等量代换证明交点处的夹角为90°，即可得到垂直的结论。
(2) 求△EDC的面积时，需要先确定三角形的底和对应高，根据全等三角形对应边相等的性质先求出ED的长度，结合(1)中得到的BC⊥BE的结论，可知BC就是ED边上的高，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1) $AD⊥CE$，理由如下：
如图，延长AD交CE于点N。
$\because △ABD≌△EBC,$
$\therefore ∠ABD=∠EBC,∠DAB=∠CEB.$
$\because ∠ABD+∠EBC=180^{\circ },$
$\therefore ∠ABD=∠EBC=90^{\circ }.$
$\therefore ∠CEB+∠ECB=90^{\circ }$，结合$∠ DAB=∠ CEB$等量代换得$∠ DAB+∠ECB=90^{\circ }.$
$\therefore ∠ANC=90^{\circ }$，即$AD⊥CE.$
(2) $\because △ABD≌△EBC,\therefore AB=EB=12,BD=BC=5.$
$\therefore ED=EB-BD=12-5=7.$
由(1)知$∠EBC=90^{\circ }$，即$CB⊥EB$，BC为$△ EDC$中ED边上的高，
$\therefore S_{△EDC}=\frac {1}{2}ED· BC=\frac {1}{2}×7×5=\frac {35}{2}.$
【答案】
(1) $AD⊥CE$，理由见解析；
(2) $△ EDC$的面积为$\frac{35}{2}$。
【知识点】
全等三角形的性质，垂直的判定，三角形面积计算
【点评】
本题是全等三角形性质应用的典型习题，第一问通过作辅助线转化角的关系证明垂直，是几何中证明垂直的常用技巧；第二问结合直角条件找准三角形的底和高即可快速计算面积，能有效锻炼逻辑推理能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
