5. 如图，在梯形ABCD中，AB＝DC＝12 cm，BC＝15 cm，∠B＝∠C，E为边AB上一点，且AE＝5 cm. 点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D运动. 设点P运动的时间为t s，请回答下面的问题：
（1）线段BP，CP的长可用含t的式子分别表示为BP＝，CP＝；
（2）若某一时刻△BPE与△CQP全等，求此时t的值和线段BP的长.

5. （1）$3t$ cm （15－$3t$）cm （2）由题意,得$BP=3t$ cm,$BE=AB-AE=12-5=7(\mathrm{cm}).$① 若$△ BPE≌△ CQP$,则$BE=CP=7$ cm,即 $15-3t=7$,解得 $t=\dfrac{8}{3}$,$\therefore BP=3t=8$ cm;② 若$△ BPE≌△ CPQ$,则$BP=CP$,即 $3t=15-3t$,解得 $t=\dfrac{5}{2}$,$\therefore BP=3t=\dfrac{15}{2}$ cm.综上所述,$t$ 的值为$\dfrac{8}{3}$或$\dfrac{5}{2}$,线段 $BP$ 的长为 $8$ cm或$\dfrac{15}{2}$ cm.

6. 如图，$DE ⊥ AB$ 于点 $E$，$DF ⊥ AC$ 于点 $F$，$BD=CD$，$BE=CF$.
（1）求证：$△ AED ≌ △ AFD$；
（2）已知 $AC=18$，$AB=12$，求 $BE$ 的长.

6. （1）$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,\therefore∠ E=∠ DFC=∠ DFA=90°.$ 在 $\mathrm{Rt}△ EBD$ 和 $\mathrm{Rt}△ FCD$ 中, $\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$$\therefore\mathrm{Rt}△ EBD≌\mathrm{Rt}△ FCD(\mathrm{HL}).\therefore DE=DF.$ 在 $\mathrm{Rt}△ AED$ 和 $\mathrm{Rt}△ AFD$ 中, $\begin{cases} AD=AD, \\ DE=DF, \end{cases}$$\therefore\mathrm{Rt}△ AED≌\mathrm{Rt}△ AFD(\mathrm{HL}).$ （2）$\because\mathrm{Rt}△ AED≌\mathrm{Rt}△ AFD,\therefore AE=AF.$ $\because AC=AF+FC$,$\therefore AC=AB+BE+FC$,$\therefore 18=12+BE+CF.$ $\because BE=CF.$ $\therefore 18=12+2BE$,$\therefore BE=3.$

7. 如图，已知$∠ 1=∠ 2$，$AB=AD+BC$，$E$是$CD$的中点.求证:$BE$是$∠ ABC$的平分线.

7. 如图, 在 $AB$ 上取一点 $F$, 使 $AD=AF$, 连接 $EF$,$\because∠ 1=∠ 2$,$AE=AE$,$AD=AF$,
$\therefore△ ADE≌△ AFE(\mathrm{SAS}).\therefore DE=EF.$ $\because E$ 是 $CD$ 的中点, $\therefore DE=CE.$
$\therefore CE=EF.$ 又 $\because AB=AD+BC$,$\therefore BC=BF.$ $\therefore△ BCE≌△ BFE(\mathrm{SSS}).$
$\therefore∠ 3=∠ 4$, 即 $BE$ 是 $∠ ABC$ 的平分线.