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1.「2026安徽阜阳太和月考」用加减消元法解方程组
$\begin{cases}5x -2y=3①, \\x +2y=-19②,\end{cases}$
下列步骤正确的是（）
A.①+②
B.①-②
C.①+②×5
D.①×5-②
$\begin{cases}5x -2y=3①, \\x +2y=-19②,\end{cases}$
下列步骤正确的是（）
A.①+②
B.①-②
C.①+②×5
D.①×5-②
答案
A 由①+②可消去y,故选项A符合题意.
解析
【分析】
本题考查加减消元法解二元一次方程组的应用，解题思路如下：首先回忆加减消元法的核心原则：要消去某一个未知数，需让这个未知数在两个方程中的系数相等或互为相反数，系数相等就用两个方程相减消元，系数互为相反数就用两个方程相加消元。接下来观察给定方程组中两个方程的y的系数：方程①中y的系数是-2，方程②中y的系数是2，二者互为相反数，所以直接将两个方程相加即可消去y，对应选项判断即可。
【解析】
观察方程组中y的系数：方程①中y的系数为-2，方程②中y的系数为2，二者互为相反数。
根据加减消元法的规则，当同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加可消去该未知数：
将①+②，可得：$(5x-2y)+(x+2y)=3+(-19)$，合并后得$6x=-16$，成功消去y，符合消元要求。
逐一验证其余选项：
B选项①-②：无法消去y，不符合要求；
C选项①+②×5：y的系数为$-2+10=8$，无法消去y，不符合要求；
D选项①×5-②：y的系数为$-10-2=-12$，无法消去y，不符合要求。
因此只有A选项步骤正确。
【答案】
A
【知识点】
加减消元法解二元一次方程组
【点评】
本题考查加减消元法的基础应用，解题的关键是观察待消元未知数的系数特征，根据系数关系选择对应的加减操作即可快速解题，是对消元法基本原理的直接考查。
【难度系数】
0.9
本题考查加减消元法解二元一次方程组的应用，解题思路如下：首先回忆加减消元法的核心原则：要消去某一个未知数，需让这个未知数在两个方程中的系数相等或互为相反数，系数相等就用两个方程相减消元，系数互为相反数就用两个方程相加消元。接下来观察给定方程组中两个方程的y的系数：方程①中y的系数是-2，方程②中y的系数是2，二者互为相反数，所以直接将两个方程相加即可消去y，对应选项判断即可。
【解析】
观察方程组中y的系数：方程①中y的系数为-2，方程②中y的系数为2，二者互为相反数。
根据加减消元法的规则，当同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加可消去该未知数：
将①+②，可得：$(5x-2y)+(x+2y)=3+(-19)$，合并后得$6x=-16$，成功消去y，符合消元要求。
逐一验证其余选项：
B选项①-②：无法消去y，不符合要求；
C选项①+②×5：y的系数为$-2+10=8$，无法消去y，不符合要求；
D选项①×5-②：y的系数为$-10-2=-12$，无法消去y，不符合要求。
因此只有A选项步骤正确。
【答案】
A
【知识点】
加减消元法解二元一次方程组
【点评】
本题考查加减消元法的基础应用，解题的关键是观察待消元未知数的系数特征，根据系数关系选择对应的加减操作即可快速解题，是对消元法基本原理的直接考查。
【难度系数】
0.9
2.「2025江苏徐州中考」若二元一次方程组$\begin{cases}3x+y=3, \\2x-y=2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=a, \\y=b,\end{cases}$则$a+b$的值为 ______ .
答案
答案 1
解析 把$\begin{cases}x=a, \\y=b\end{cases}$代入方程组,得$\begin{cases}3a+b=3①, \\2a-b=2②,\end{cases}$①+②,得5a=5,解得a=1,把a=1代入①,得3+b=3,解得b=0,所以a+b=1+0=1.
解析 把$\begin{cases}x=a, \\y=b\end{cases}$代入方程组,得$\begin{cases}3a+b=3①, \\2a-b=2②,\end{cases}$①+②,得5a=5,解得a=1,把a=1代入①,得3+b=3,解得b=0,所以a+b=1+0=1.
解析
【分析】
解题思路如下：首先，根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足方程组中的每一个方程，因此可以将$\begin{cases}x=a \\ y=b\end{cases}$代入原方程组，得到关于a、b的二元一次方程组；其次，观察得到的新方程组中b的系数互为相反数，适合用加减消元法消去b，先求出a的值；再将a的值代入任意一个方程求出b的值；最后计算a+b的结果即可。
【解析】
把$\begin{cases}x=a, \\ y=b\end{cases}$代入原方程组，可得：
$\begin{cases}3a+b=3 ① \\ 2a-b=2 ②\end{cases}$
由①+②消去b，得：$5a=5$，解得$a=1$
将$a=1$代入①式，得：$3×1 + b=3$，解得$b=0$
因此$a+b=1+0=1$
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组的解；加减消元法；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，重点考查二元一次方程组解的概念和加减消元法的应用，计算量小，熟练掌握消元方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先，根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足方程组中的每一个方程，因此可以将$\begin{cases}x=a \\ y=b\end{cases}$代入原方程组，得到关于a、b的二元一次方程组；其次，观察得到的新方程组中b的系数互为相反数，适合用加减消元法消去b，先求出a的值；再将a的值代入任意一个方程求出b的值；最后计算a+b的结果即可。
【解析】
把$\begin{cases}x=a, \\ y=b\end{cases}$代入原方程组，可得：
$\begin{cases}3a+b=3 ① \\ 2a-b=2 ②\end{cases}$
由①+②消去b，得：$5a=5$，解得$a=1$
将$a=1$代入①式，得：$3×1 + b=3$，解得$b=0$
因此$a+b=1+0=1$
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组的解；加减消元法；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，重点考查二元一次方程组解的概念和加减消元法的应用，计算量小，熟练掌握消元方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.「2026安徽阜阳太和月考」对有理数$x,y$定义一种新运算“$*$”：$x*y=ax+by$，其中$a,b$为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.若$3*5=15$，$5*3=25$，则$a-b=$
5
.答案
答案 5
解析 由题意得$\begin{cases}3a+5b=15①, \\5a+3b=25②,\end{cases}$②-①,得2a-2b=10,所以a-b=5.
解析 由题意得$\begin{cases}3a+5b=15①, \\5a+3b=25②,\end{cases}$②-①,得2a-2b=10,所以a-b=5.
解析
【分析】
遇到新定义运算类题目，首先要准确理解运算规则，本题中$x*y$的运算结果等于$a$乘$x$加$b$乘$y$。第一步我们把已知的$3*5=15$和$5*3=25$按照新运算规则代入转化，就能得到关于$a$、$b$的二元一次方程组。接下来观察所求的是$a-b$，不需要单独算出$a$和$b$的具体值，直接将两个方程相减，整理后就能快速得到$a-b$的结果，计算更简便。
【解析】
根据新运算的定义，可列方程组：
$\begin{cases}3a+5b=15&① \\5a+3b=25&②\end{cases}$
用②式减去①式，得：
$(5a+3b)-(3a+5b)=25-15$
去括号合并同类项得：$2a-2b=10$
等式两边同时除以2，得：$a-b=5$
【答案】
$5$
【知识点】
新定义运算，加减消元法，代数式求值
【点评】
本题结合新定义运算考查二元一次方程组的应用，解题时既可以先分别求解$a$、$b$的值再计算$a-b$，也可以通过观察方程组的系数特点，采用整体运算的方法直接得到结果，能很好地考查学生的运算能力和整体思维。
【难度系数】
0.7
遇到新定义运算类题目，首先要准确理解运算规则，本题中$x*y$的运算结果等于$a$乘$x$加$b$乘$y$。第一步我们把已知的$3*5=15$和$5*3=25$按照新运算规则代入转化，就能得到关于$a$、$b$的二元一次方程组。接下来观察所求的是$a-b$，不需要单独算出$a$和$b$的具体值，直接将两个方程相减，整理后就能快速得到$a-b$的结果，计算更简便。
【解析】
根据新运算的定义，可列方程组：
$\begin{cases}3a+5b=15&① \\5a+3b=25&②\end{cases}$
用②式减去①式，得：
$(5a+3b)-(3a+5b)=25-15$
去括号合并同类项得：$2a-2b=10$
等式两边同时除以2，得：$a-b=5$
【答案】
$5$
【知识点】
新定义运算，加减消元法，代数式求值
【点评】
本题结合新定义运算考查二元一次方程组的应用，解题时既可以先分别求解$a$、$b$的值再计算$a-b$，也可以通过观察方程组的系数特点，采用整体运算的方法直接得到结果，能很好地考查学生的运算能力和整体思维。
【难度系数】
0.7
4.用加减法解下列方程组：
(1) $\begin{cases} x+y=7 \ \textcircled{1}, \\ x-y=-1 \ \textcircled{2}. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x+y=7 \ \textcircled{1}, \\ 2x-3y=3 \ \textcircled{2}. \end{cases}$
(3) $\begin{cases} 3x-2y=8 \ \textcircled{1}, \\ 4x+y=7 \ \textcircled{2}. \end{cases}$
(4) $\begin{cases} 6s+5t=27 \ \textcircled{1}, \\ 3s+4t=18 \ \textcircled{2}. \end{cases}$
(5) $\begin{cases} \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3}=3, \\ x-3y-9=\dfrac{y+5}{3}. \end{cases}$
(6) $\begin{cases} 3y-2x=1, \\ \dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y+1}{4}. \end{cases}$
(1) $\begin{cases} x+y=7 \ \textcircled{1}, \\ x-y=-1 \ \textcircled{2}. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x+y=7 \ \textcircled{1}, \\ 2x-3y=3 \ \textcircled{2}. \end{cases}$
(3) $\begin{cases} 3x-2y=8 \ \textcircled{1}, \\ 4x+y=7 \ \textcircled{2}. \end{cases}$
(4) $\begin{cases} 6s+5t=27 \ \textcircled{1}, \\ 3s+4t=18 \ \textcircled{2}. \end{cases}$
(5) $\begin{cases} \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3}=3, \\ x-3y-9=\dfrac{y+5}{3}. \end{cases}$
(6) $\begin{cases} 3y-2x=1, \\ \dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y+1}{4}. \end{cases}$
答案
(1) ①+②,得2x=6,解得x=3,将x=3代入①,得3+y=7,解得y=4,所以原方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=4. \end{cases}$
(2) ①-②,得4y=4,解得y=1,
将y=1代入①,得2x+1=7,解得x=3,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=1. \end{cases}$
(3) ①+②×2,得11x=22,解得x=2,
将x=2代入①,得3×2-2y=8,解得y=-1,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=-1. \end{cases}$
(4) ②×2-①,得3t=9,解得t=3,
将t=3代入①,得6s+5×3=27,解得s=2,
所以原方程组的解为$\begin{cases} s=2, \\ t=3. \end{cases}$
(5) 整理方程组,得$\begin{cases} 3x-2y=18①, \\ 3x-10y=32②, \end{cases}$
①-②,得8y=-14,解得$y=-\dfrac{7}{4}$,
将$y=-\dfrac{7}{4}$代入①,得$3x-2×(-\dfrac{7}{4})=18$,解得$x=\dfrac{29}{6}$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=\dfrac{29}{6}, \\ y=-\dfrac{7}{4}. \end{cases}$
(6) 整理方程组,得$\begin{cases} 2x-3y=-1①, \\ 4x-3y=-5②, \end{cases}$
②-①,得2x=-4,解得x=-2,
将x=-2代入①,得2×(-2)-3y=-1,解得y=-1,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=-2, \\ y=-1. \end{cases}$
(2) ①-②,得4y=4,解得y=1,
将y=1代入①,得2x+1=7,解得x=3,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=1. \end{cases}$
(3) ①+②×2,得11x=22,解得x=2,
将x=2代入①,得3×2-2y=8,解得y=-1,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=-1. \end{cases}$
(4) ②×2-①,得3t=9,解得t=3,
将t=3代入①,得6s+5×3=27,解得s=2,
所以原方程组的解为$\begin{cases} s=2, \\ t=3. \end{cases}$
(5) 整理方程组,得$\begin{cases} 3x-2y=18①, \\ 3x-10y=32②, \end{cases}$
①-②,得8y=-14,解得$y=-\dfrac{7}{4}$,
将$y=-\dfrac{7}{4}$代入①,得$3x-2×(-\dfrac{7}{4})=18$,解得$x=\dfrac{29}{6}$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=\dfrac{29}{6}, \\ y=-\dfrac{7}{4}. \end{cases}$
(6) 整理方程组,得$\begin{cases} 2x-3y=-1①, \\ 4x-3y=-5②, \end{cases}$
②-①,得2x=-4,解得x=-2,
将x=-2代入①,得2×(-2)-3y=-1,解得y=-1,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=-2, \\ y=-1. \end{cases}$
解析
【分析】
用加减法解二元一次方程组的核心是消元，将二元方程转化为一元方程求解，思考步骤如下：①先看方程组是否为$ax+by=c$的标准形式，若有分母、括号等，先利用等式的性质去分母、去括号、移项整理为标准形式；②观察两个方程中同一个未知数的系数：若系数互为相反数，将两式相加消去该未知数；若系数相等，将两式相减消去该未知数；若系数既不相等也不互为相反数，给两式分别乘合适的数，让该未知数的系数变为相等或互为相反数，再加减消元；③解消元后得到的一元一次方程，求出一个未知数的值，再代入任意一个原方程求出另一个未知数的值，最后写出方程组的解即可。
【解析】
(1) ①+②,得$2x=6$,解得$x=3$,将$x=3$代入①,得$3+y=7$,解得$y=4$,所以原方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=4. \end{cases}$
(2) ①-②,得$4y=4$,解得$y=1$,
将$y=1$代入①,得$2x+1=7$,解得$x=3$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=1. \end{cases}$
(3) ①+②×2,得$11x=22$,解得$x=2$,
将$x=2$代入①,得$3×2-2y=8$,解得$y=-1$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=-1. \end{cases}$
(4) ②×2-①,得$3t=9$,解得$t=3$,
将$t=3$代入①,得$6s+5×3=27$,解得$s=2$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} s=2, \\ t=3. \end{cases}$
(5) 整理方程组,得$\begin{cases} 3x-2y=18①, \\ 3x-10y=32②, \end{cases}$
①-②,得$8y=-14$,解得$y=-\dfrac{7}{4}$,
将$y=-\dfrac{7}{4}$代入①,得$3x-2×(-\dfrac{7}{4})=18$,解得$x=\dfrac{29}{6}$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=\dfrac{29}{6}, \\ y=-\dfrac{7}{4}. \end{cases}$
(6) 整理方程组,得$\begin{cases} 2x-3y=-1①, \\ 4x-3y=-5②, \end{cases}$
②-①,得$2x=-4$,解得$x=-2$,
将$x=-2$代入①,得$2×(-2)-3y=-1$,解得$y=-1$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=-2, \\ y=-1. \end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases} x=3, \\ y=4. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=3, \\ y=1. \end{cases}$
(3) $\begin{cases} x=2, \\ y=-1. \end{cases}$
(4) $\begin{cases} s=2, \\ t=3. \end{cases}$
(5) $\begin{cases} x=\dfrac{29}{6}, \\ y=-\dfrac{7}{4}. \end{cases}$
(6) $\begin{cases} x=-2, \\ y=-1. \end{cases}$
【知识点】
加减消元法，二元一次方程组求解，等式的基本性质
【点评】
本题梯度设置合理，从基础的系数直接可消元的题型，到需要变形系数、先整理非标准形式的题型，全面考查加减消元法的应用。解题时要注意消元时的符号运算，去分母时不要漏乘常数项，求出解后可代入原方程组检验是否正确，减少失误。
【难度系数】
0.7
用加减法解二元一次方程组的核心是消元，将二元方程转化为一元方程求解，思考步骤如下：①先看方程组是否为$ax+by=c$的标准形式，若有分母、括号等，先利用等式的性质去分母、去括号、移项整理为标准形式；②观察两个方程中同一个未知数的系数：若系数互为相反数，将两式相加消去该未知数；若系数相等，将两式相减消去该未知数；若系数既不相等也不互为相反数，给两式分别乘合适的数，让该未知数的系数变为相等或互为相反数，再加减消元；③解消元后得到的一元一次方程，求出一个未知数的值，再代入任意一个原方程求出另一个未知数的值，最后写出方程组的解即可。
【解析】
(1) ①+②,得$2x=6$,解得$x=3$,将$x=3$代入①,得$3+y=7$,解得$y=4$,所以原方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=4. \end{cases}$
(2) ①-②,得$4y=4$,解得$y=1$,
将$y=1$代入①,得$2x+1=7$,解得$x=3$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=1. \end{cases}$
(3) ①+②×2,得$11x=22$,解得$x=2$,
将$x=2$代入①,得$3×2-2y=8$,解得$y=-1$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=-1. \end{cases}$
(4) ②×2-①,得$3t=9$,解得$t=3$,
将$t=3$代入①,得$6s+5×3=27$,解得$s=2$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} s=2, \\ t=3. \end{cases}$
(5) 整理方程组,得$\begin{cases} 3x-2y=18①, \\ 3x-10y=32②, \end{cases}$
①-②,得$8y=-14$,解得$y=-\dfrac{7}{4}$,
将$y=-\dfrac{7}{4}$代入①,得$3x-2×(-\dfrac{7}{4})=18$,解得$x=\dfrac{29}{6}$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=\dfrac{29}{6}, \\ y=-\dfrac{7}{4}. \end{cases}$
(6) 整理方程组,得$\begin{cases} 2x-3y=-1①, \\ 4x-3y=-5②, \end{cases}$
②-①,得$2x=-4$,解得$x=-2$,
将$x=-2$代入①,得$2×(-2)-3y=-1$,解得$y=-1$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=-2, \\ y=-1. \end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases} x=3, \\ y=4. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=3, \\ y=1. \end{cases}$
(3) $\begin{cases} x=2, \\ y=-1. \end{cases}$
(4) $\begin{cases} s=2, \\ t=3. \end{cases}$
(5) $\begin{cases} x=\dfrac{29}{6}, \\ y=-\dfrac{7}{4}. \end{cases}$
(6) $\begin{cases} x=-2, \\ y=-1. \end{cases}$
【知识点】
加减消元法，二元一次方程组求解，等式的基本性质
【点评】
本题梯度设置合理，从基础的系数直接可消元的题型，到需要变形系数、先整理非标准形式的题型，全面考查加减消元法的应用。解题时要注意消元时的符号运算，去分母时不要漏乘常数项，求出解后可代入原方程组检验是否正确，减少失误。
【难度系数】
0.7
5.「2025安徽芜湖二十九中期末」甲、乙两人在解关于x，y的方程组$\begin{cases}ax +5y=15, \\4x=by -2\end{cases}$时，甲看错了a，解得$\begin{cases}x=2, \\y=1,\end{cases}$乙看错了b，解得$\begin{cases}x=5, \\y=4,\end{cases}$求原方程组的正确解。
答案
根据题意,得$\begin{cases}8=b-2, \\5a+20=15,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1, \\b=10,\end{cases}$所以原方程组为$\begin{cases}-x+5y=15, \\4x=10y-2,\end{cases}$
整理,得$\begin{cases}x-5y=-15①, \\2x-5y=-1②,\end{cases}$②-①,得x=14,
将x=14代入①,得14-5y=-15,解得y=5.8,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=14, \\y=5.8.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1, \\b=10,\end{cases}$所以原方程组为$\begin{cases}-x+5y=15, \\4x=10y-2,\end{cases}$
整理,得$\begin{cases}x-5y=-15①, \\2x-5y=-1②,\end{cases}$②-①,得x=14,
将x=14代入①,得14-5y=-15,解得y=5.8,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=14, \\y=5.8.\end{cases}$
解析
【分析】
解题首先要明确错解的特点：甲只看错了系数a，说明他求出的x、y满足不含a的第二个方程，代入该方程即可求出正确的b值；乙只看错了系数b，说明他求出的x、y满足不含b的第一个方程，代入该方程即可求出正确的a值。得到a、b的正确值后，代入原方程组得到标准二元一次方程组，再用加减消元法求解即可得到原方程组的正确解。
【解析】
解：
∵甲看错了a，
∴$\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$满足方程$4x=by-2$，代入得：
$4×2 = b×1 -2$，解得$b=10$。
∵乙看错了b，
∴$\begin{cases}x=5, \\y=4\end{cases}$满足方程$ax+5y=15$，代入得：
$5a +5×4 =15$，解得$a=-1$。
将$a=-1$、$b=10$代入原方程组，得：
$\begin{cases}-x +5y =15 \\4x =10y -2 \end{cases}$
整理方程组得：
$\begin{cases}x -5y = -15 \quad ① \\2x -5y = -1 \quad ② \end{cases}$
用②-①消去y，得：$x=14$。
把$x=14$代入①，得$14 -5y = -15$，解得$y=5.8$。
【答案】
$\begin{cases}x=14 \\y=5.8\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解；加减消元法；错解问题处理
【点评】
本题解题核心是抓住“看错某一个系数时，解满足其余系数未看错的方程”这一要点，先求出未知系数的正确值再解方程组，既考察对二元一次方程组解的概念的理解，也考察消元法的运算能力。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确错解的特点：甲只看错了系数a，说明他求出的x、y满足不含a的第二个方程，代入该方程即可求出正确的b值；乙只看错了系数b，说明他求出的x、y满足不含b的第一个方程，代入该方程即可求出正确的a值。得到a、b的正确值后，代入原方程组得到标准二元一次方程组，再用加减消元法求解即可得到原方程组的正确解。
【解析】
解：
∵甲看错了a，
∴$\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$满足方程$4x=by-2$，代入得：
$4×2 = b×1 -2$，解得$b=10$。
∵乙看错了b，
∴$\begin{cases}x=5, \\y=4\end{cases}$满足方程$ax+5y=15$，代入得：
$5a +5×4 =15$，解得$a=-1$。
将$a=-1$、$b=10$代入原方程组，得：
$\begin{cases}-x +5y =15 \\4x =10y -2 \end{cases}$
整理方程组得：
$\begin{cases}x -5y = -15 \quad ① \\2x -5y = -1 \quad ② \end{cases}$
用②-①消去y，得：$x=14$。
把$x=14$代入①，得$14 -5y = -15$，解得$y=5.8$。
【答案】
$\begin{cases}x=14 \\y=5.8\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解；加减消元法；错解问题处理
【点评】
本题解题核心是抓住“看错某一个系数时，解满足其余系数未看错的方程”这一要点，先求出未知系数的正确值再解方程组，既考察对二元一次方程组解的概念的理解，也考察消元法的运算能力。
【难度系数】
0.7
6.「2025安徽合肥瑶海期末，★☆」已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}kx+y=7,\\3x-y=0\end{cases}$有正整数解，其中$k$为整数，则$k^2 -1$的值为（ ）
A.$-2$
B.$3$
C.$-2$或$4$
D.$3$或$15$
A.$-2$
B.$3$
C.$-2$或$4$
D.$3$或$15$
答案
$\begin{cases}kx+y=7①, \\3x-y=0②,\end{cases}$①+②,得$x=\dfrac{7}{k+3}$,
把$x=\dfrac{7}{k+3}$代入②,得$y=\dfrac{21}{k+3}$,
因为关于x,y的二元一次方程组$\begin{cases}kx+y=7, \\3x-y=0\end{cases}$有正整数解,其中k为整数,所以k+3=1或7,解得k=-2或4,
当k=-2时,$k^2-1=(-2)^2-1=3$;当k=4时,$k^2-1=4^2-1=15$.故$k^2-1$的值为3或15.故选D.
把$x=\dfrac{7}{k+3}$代入②,得$y=\dfrac{21}{k+3}$,
因为关于x,y的二元一次方程组$\begin{cases}kx+y=7, \\3x-y=0\end{cases}$有正整数解,其中k为整数,所以k+3=1或7,解得k=-2或4,
当k=-2时,$k^2-1=(-2)^2-1=3$;当k=4时,$k^2-1=4^2-1=15$.故$k^2-1$的值为3或15.故选D.
解析
【分析】
本题是含参数的二元一次方程组正整数解问题，解题思路如下：首先观察方程组的系数特点，两个方程中y的系数互为相反数，因此优先选择加减消元法消去y，用含参数k的式子表示出x，再代入方程求出y的表达式；接下来根据方程组的解是正整数、k为整数的条件，可知x的分母k+3必须是7的正因数，由此确定k的可能取值；最后将k的取值代入代数式$k^2-1$计算即可得到结果。
【解析】
记方程组为$\begin{cases}kx+y=7①, \\3x-y=0②,\end{cases}$
将①+②，可得$(k+3)x=7$，解得$x=\dfrac{7}{k+3}$，
把$x=\dfrac{7}{k+3}$代入②，可得$y=3x=\dfrac{21}{k+3}$，
因为方程组有正整数解，且k为整数，所以$k+3$是7的正因数，
7的正因数为1、7，因此$k+3=1$或$k+3=7$，
解得$k=-2$或$k=4$，
当$k=-2$时，$k^2-1=(-2)^2-1=3$；
当$k=4$时，$k^2-1=4^2-1=15$，
因此$k^2-1$的值为3或15。
【答案】
D
【知识点】
加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的整数解，代数式求值
【点评】
本题侧重考察二元一次方程组的解法与整数解条件的结合应用，解题关键是先消元得到含参数的未知数表达式，再根据正整数解的限制确定参数的取值，求解时需注意正整数解要求分母为分子的正因数，避免误取负因数得到不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
本题是含参数的二元一次方程组正整数解问题，解题思路如下：首先观察方程组的系数特点，两个方程中y的系数互为相反数，因此优先选择加减消元法消去y，用含参数k的式子表示出x，再代入方程求出y的表达式；接下来根据方程组的解是正整数、k为整数的条件，可知x的分母k+3必须是7的正因数，由此确定k的可能取值；最后将k的取值代入代数式$k^2-1$计算即可得到结果。
【解析】
记方程组为$\begin{cases}kx+y=7①, \\3x-y=0②,\end{cases}$
将①+②，可得$(k+3)x=7$，解得$x=\dfrac{7}{k+3}$，
把$x=\dfrac{7}{k+3}$代入②，可得$y=3x=\dfrac{21}{k+3}$，
因为方程组有正整数解，且k为整数，所以$k+3$是7的正因数，
7的正因数为1、7，因此$k+3=1$或$k+3=7$，
解得$k=-2$或$k=4$，
当$k=-2$时，$k^2-1=(-2)^2-1=3$；
当$k=4$时，$k^2-1=4^2-1=15$，
因此$k^2-1$的值为3或15。
【答案】
D
【知识点】
加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的整数解，代数式求值
【点评】
本题侧重考察二元一次方程组的解法与整数解条件的结合应用，解题关键是先消元得到含参数的未知数表达式，再根据正整数解的限制确定参数的取值，求解时需注意正整数解要求分母为分子的正因数，避免误取负因数得到不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
7.「2026安徽铜陵枞阳期末，★☆」若单项式$-2a^{m+2n}b$与单项式$3a^5b^{n-m}$的和仍是单项式，则$mn=$
2
。答案
答案 2
解析 由题意得,$-2a^{m+2n}b$与$3a^5b^{n-m}$是同类项,所以$\begin{cases}m+2n=5①, \\n-m=1②,\end{cases}$①+②,得3n=6,解得n=2,将n=2代入②,得m=1,所以mn=2.
解析 由题意得,$-2a^{m+2n}b$与$3a^5b^{n-m}$是同类项,所以$\begin{cases}m+2n=5①, \\n-m=1②,\end{cases}$①+②,得3n=6,解得n=2,将n=2代入②,得m=1,所以mn=2.
解析
【分析】
首先明确两个单项式的和仍是单项式，说明这两个单项式是同类项。根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，可得到关于m、n的两个等量关系，列出二元一次方程组。再用加减消元法解方程组求出m和n的值，最后代入计算mn的乘积即可。
【解析】
由题意得，$-2a^{m+2n}b$与$3a^5b^{n-m}$是同类项，因此相同字母的指数对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}m+2n=5&①\\n-m=1&②\end{cases}$
①+②消去m，得$3n=6$，解得$n=2$。
将$n=2$代入②，得$2-m=1$，解得$m=1$。
所以$mn=1×2=2$。
【答案】
2
【知识点】
同类项的概念；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是理解“两个单项式的和仍是单项式”等价于两个单项式为同类项，据此列出方程组求解即可，核心考查同类项定义的应用和二元一次方程组的基础解法。
【难度系数】
0.8
首先明确两个单项式的和仍是单项式，说明这两个单项式是同类项。根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，可得到关于m、n的两个等量关系，列出二元一次方程组。再用加减消元法解方程组求出m和n的值，最后代入计算mn的乘积即可。
【解析】
由题意得，$-2a^{m+2n}b$与$3a^5b^{n-m}$是同类项，因此相同字母的指数对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}m+2n=5&①\\n-m=1&②\end{cases}$
①+②消去m，得$3n=6$，解得$n=2$。
将$n=2$代入②，得$2-m=1$，解得$m=1$。
所以$mn=1×2=2$。
【答案】
2
【知识点】
同类项的概念；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是理解“两个单项式的和仍是单项式”等价于两个单项式为同类项，据此列出方程组求解即可，核心考查同类项定义的应用和二元一次方程组的基础解法。
【难度系数】
0.8
8.「2026 安徽六安九月考，★☆」二元一次方程组
$\begin{cases}2x+3y=2k+3, \\3x+2y=k-2\end{cases}$的解满足$x+y=2$.
(1)求$k$的值.
(2)求原方程组的解.
$\begin{cases}2x+3y=2k+3, \\3x+2y=k-2\end{cases}$的解满足$x+y=2$.
(1)求$k$的值.
(2)求原方程组的解.
答案
$\begin{cases}2x+3y=2k+3①, \\3x+2y=k-2②,\end{cases}$
①+②,得$5(x+y)=3k+1$,即$x+y=\dfrac{3k+1}{5}$,
因为x+y=2,所以$\dfrac{3k+1}{5}=2$,
解得k=3.
(2)把k=3代入原方程组,得$\begin{cases}2x+3y=9③, \\3x+2y=1④,\end{cases}$
③×2-④×3,得-5x=15,解得x=-3,
把x=-3代入③,得2×(-3)+3y=9,解得y=5,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-3, \\y=5.\end{cases}$
①+②,得$5(x+y)=3k+1$,即$x+y=\dfrac{3k+1}{5}$,
因为x+y=2,所以$\dfrac{3k+1}{5}=2$,
解得k=3.
(2)把k=3代入原方程组,得$\begin{cases}2x+3y=9③, \\3x+2y=1④,\end{cases}$
③×2-④×3,得-5x=15,解得x=-3,
把x=-3代入③,得2×(-3)+3y=9,解得y=5,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-3, \\y=5.\end{cases}$
解析
【分析】
（1）求k的值时，观察方程组中两个方程的系数特点：x的系数分别为2、3，y的系数分别为3、2，将两个方程左右两边相加后，x和y的系数均为5，可整理得到x+y关于k的表达式，再结合已知x+y=2，即可列出关于k的一元一次方程，求解可得k的值；（2）将求出的k代入原方程组，得到仅含x、y的二元一次方程组，用加减消元法消去一个未知数，求出其中一个未知数的值后，回代即可求出另一个未知数的值，得到方程组的解。
【解析】
（1）已知方程组$\begin{cases}2x+3y=2k+3①, \\3x+2y=k-2②,\end{cases}$
将①+②，得$5x+5y=3k+1$，整理得$5(x+y)=3k+1$，即$x+y=\dfrac{3k+1}{5}$。
∵方程组的解满足$x+y=2$，
∴$\dfrac{3k+1}{5}=2$，
解得$k=3$。
（2）把$k=3$代入原方程组，得$\begin{cases}2x+3y=9③, \\3x+2y=1④,\end{cases}$
用③×2，得$4x+6y=18$⑤，
用④×3，得$9x+6y=3$⑥，
用⑤-⑥，得$-5x=15$，解得$x=-3$。
把$x=-3$代入③，得$2×(-3)+3y=9$，解得$y=5$。
【答案】
（1）$k=3$；
（2）原方程组的解为$\begin{cases}x=-3 \\y=5\end{cases}$
【知识点】
1. 加减消元法解二元一次方程组
2. 整体代入求值
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用题型，第一问使用整体思想可大幅简化计算，避免先求解方程组的繁琐，是这类题的常用解题技巧；第二问考查常规的加减消元法运算，熟练掌握消元步骤即可准确作答。
【难度系数】
0.8
（1）求k的值时，观察方程组中两个方程的系数特点：x的系数分别为2、3，y的系数分别为3、2，将两个方程左右两边相加后，x和y的系数均为5，可整理得到x+y关于k的表达式，再结合已知x+y=2，即可列出关于k的一元一次方程，求解可得k的值；（2）将求出的k代入原方程组，得到仅含x、y的二元一次方程组，用加减消元法消去一个未知数，求出其中一个未知数的值后，回代即可求出另一个未知数的值，得到方程组的解。
【解析】
（1）已知方程组$\begin{cases}2x+3y=2k+3①, \\3x+2y=k-2②,\end{cases}$
将①+②，得$5x+5y=3k+1$，整理得$5(x+y)=3k+1$，即$x+y=\dfrac{3k+1}{5}$。
∵方程组的解满足$x+y=2$，
∴$\dfrac{3k+1}{5}=2$，
解得$k=3$。
（2）把$k=3$代入原方程组，得$\begin{cases}2x+3y=9③, \\3x+2y=1④,\end{cases}$
用③×2，得$4x+6y=18$⑤，
用④×3，得$9x+6y=3$⑥，
用⑤-⑥，得$-5x=15$，解得$x=-3$。
把$x=-3$代入③，得$2×(-3)+3y=9$，解得$y=5$。
【答案】
（1）$k=3$；
（2）原方程组的解为$\begin{cases}x=-3 \\y=5\end{cases}$
【知识点】
1. 加减消元法解二元一次方程组
2. 整体代入求值
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用题型，第一问使用整体思想可大幅简化计算，避免先求解方程组的繁琐，是这类题的常用解题技巧；第二问考查常规的加减消元法运算，熟练掌握消元步骤即可准确作答。
【难度系数】
0.8
