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1. (2026·江苏连云港期末)【课堂回顾】
(1) 如图①,已知$AB// CD$,点E在AB,CD之间,写出$∠ AEC$,$∠ A$,$∠ C$之间的数量关系,并说明理由;
【迁移思考】
(2) 小明在完成(1)后,又作了如下探究与变式思考.
① 如图②,在长方体盒子底部有一面平面镜,点A处有一个光源,光线的反射角等于入射角,法线OE与平面镜$l$垂直,即$OE⊥ BC$,垂足为O,入射光线经过镜面反射后,恰好经过点D.小明认为,图②中$∠ AOB=∠ COD$,请帮小明说明理由;
② 如图③,在长方体盒子里放置4块平面镜AB,BC,CD,DA,其中$AD// CB$.若光线从AD上的点E处射出,在平面镜AB上经点F反射后,到达BC上的点G,…,其传播路径为$E→F→G→H→E→F…$,请判断$∠ EFG$与$∠ GHE$之间的数量关系,并说明理由.
(1) 如图①,已知$AB// CD$,点E在AB,CD之间,写出$∠ AEC$,$∠ A$,$∠ C$之间的数量关系,并说明理由;
【迁移思考】
(2) 小明在完成(1)后,又作了如下探究与变式思考.
① 如图②,在长方体盒子底部有一面平面镜,点A处有一个光源,光线的反射角等于入射角,法线OE与平面镜$l$垂直,即$OE⊥ BC$,垂足为O,入射光线经过镜面反射后,恰好经过点D.小明认为,图②中$∠ AOB=∠ COD$,请帮小明说明理由;
② 如图③,在长方体盒子里放置4块平面镜AB,BC,CD,DA,其中$AD// CB$.若光线从AD上的点E处射出,在平面镜AB上经点F反射后,到达BC上的点G,…,其传播路径为$E→F→G→H→E→F…$,请判断$∠ EFG$与$∠ GHE$之间的数量关系,并说明理由.
答案
1. (1) $∠ AEC=∠ A+∠ C$.理由如下:过点E向左侧作$EF// AB$,则$∠ AEF=∠ A$.因为$AB// CD$,所以$EF// CD$,所以$∠ CEF=∠ C$,所以$∠ AEC=∠ AEF+∠ CEF=∠ A+∠ C$.
(2) ① 因为$OE⊥ BC$,所以$∠ BOE=∠ COE=90°$.因为$∠ AOE=∠ DOE$,所以$∠ BOE-∠ AOE=∠ COE-∠ DOE$,所以$∠ AOB=∠ COD$.
② $∠ EFG=∠ GHE$.理由如下:同(2)①,得$∠ AEF=∠ DEH$,$∠ BGF=∠ CGH$,所以$∠ AEF+∠ BGF=∠ DEH+∠ CGH$.同(1),得$∠ EFG=∠ AEF+∠ BGF$,$∠ GHE=∠ DEH+∠ CGH$,所以$∠ EFG=∠ GHE$.
(2) ① 因为$OE⊥ BC$,所以$∠ BOE=∠ COE=90°$.因为$∠ AOE=∠ DOE$,所以$∠ BOE-∠ AOE=∠ COE-∠ DOE$,所以$∠ AOB=∠ COD$.
② $∠ EFG=∠ GHE$.理由如下:同(2)①,得$∠ AEF=∠ DEH$,$∠ BGF=∠ CGH$,所以$∠ AEF+∠ BGF=∠ DEH+∠ CGH$.同(1),得$∠ EFG=∠ AEF+∠ BGF$,$∠ GHE=∠ DEH+∠ CGH$,所以$∠ EFG=∠ GHE$.
2. 已知$AB// CD$，$P$是直线$AB$，$CD$间的一点，$PF⊥ CD$于点$F$，$PE$交$AB$于点$E$，$∠ FPE=120°$。
（1）如图①，$∠ AEP$的度数为
（2）如图②，射线$PN$从$PF$出发，以每秒$40°$的速度绕点$P$按逆时针方向旋转，当$PN⊥ AB$时，立刻按原速返回到$PF$后停止运动；射线$EM$从$EA$出发，以每秒$15°$的速度绕点$E$按逆时针方向旋转至$EB$后停止运动。已知射线$PN$，$EM$同时开始运动，设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$。
①当$∠ MEP=20°$时，求$∠ EPN$的度数；
②当$EM// PN$时，求$t$的值。
（1）如图①，$∠ AEP$的度数为
$30°$
；（2）如图②，射线$PN$从$PF$出发，以每秒$40°$的速度绕点$P$按逆时针方向旋转，当$PN⊥ AB$时，立刻按原速返回到$PF$后停止运动；射线$EM$从$EA$出发，以每秒$15°$的速度绕点$E$按逆时针方向旋转至$EB$后停止运动。已知射线$PN$，$EM$同时开始运动，设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$。
①当$∠ MEP=20°$时，求$∠ EPN$的度数；
②当$EM// PN$时，求$t$的值。
答案
2. (1) $30°$
(2) ① 因为$∠ AEP=30°$,$∠ MEP=20°$,所以$∠ AEM=∠ AEP-∠ MEP=10°$或$∠ AEM=∠ AEP+∠ MEP=50°$,所以$t=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$或$t=\frac{50}{15}=\frac{10}{3}$.当$t=\frac{2}{3}$时,$∠ FPN=(40×\frac{2}{3})°=(\frac{80}{3})°$.因为$∠ FPE=120°$,所以$∠ EPN=∠ FPE-∠ FPN=(\frac{280}{3})°$;当$t=\frac{10}{3}$时,$∠ FPN=(40×\frac{10}{3})°=(\frac{400}{3})°$,所以$∠ EPN=∠ FPN-∠ FPE=(\frac{40}{3})°$.综上所述,$∠ EPN$的度数为$(\frac{280}{3})°$或$(\frac{40}{3})°$.
② 延长$FP$交$AB$于点$G$.易知当$EM// PN$时,$EM$在$EP$右侧.因为$180÷40=4.5(\mathrm{s})$,$4.5×2=9(\mathrm{s})$,$180÷15=12(\mathrm{s})$,所以$PN$运动$4.5\ \mathrm{s}$后到达$PG$的位置,运动$9\ \mathrm{s}$后回到$PF$的位置停止运动,$EM$运动$12\ \mathrm{s}$后到达$EB$的位置停止运动.分类讨论如下:
① 如图①,当$0＜ t≤ 4.5$时,由题意,得$∠ AEM=(15t)°$,$∠ FPN=(40t)°$,所以$∠ GPN=180°-∠ FPN=(180-40t)°$.因为$∠ AEP=30°$,所以$∠ PEM=∠ AEM-∠ AEP=(15t-30)°$.易知$∠ PGE=90°$,所以$∠ EPG=180°-∠ AEP-∠ PGE=60°$,所以$∠ EPN=∠ EPG-∠ GPN=(40t-120)°$.因为$EM// PN$,所以$∠ EPN=∠ PEM$,所以$40t-120=15t-30$,解得$t=\frac{18}{5}$;② 当$4.5＜ t＜9$时,如图②,由题意,得$∠ PEM=(15t-30)°$,$∠ GPN=(40t-180)°$,所以$∠ EPN=∠ EPG-∠ GPN=(240-40t)°$.因为$EM// PN$,所以$∠ EPN=∠ PEM$,所以$240-40t=15t-30$,解得$t=\frac{54}{11}$;如图③,由题意,得$∠ PEM=(15t-30)°$,$∠ GPN=(40t-180)°$,所以$∠ EPN=∠ GPN-∠ EPG=(40t-240)°$.因为$EM// PN$,所以$∠ EPN+∠ PEM=180°$,所以$40t-240+(15t-30)=180$,解得$t=\frac{90}{11}$;③ 当$9≤ t≤12$时,不存在符合题意的$t$的值.综上所述,当$EM// PN$时,$t$的值为$\frac{18}{5}$或$\frac{54}{11}$或$\frac{90}{11}$.
