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9. 小明在利用公式法解方程$x^2 -5x=1$时出现了错误，他的解答过程如下：
∵$a=1,b=-5,c=1$,(第一步)
∴$\Delta =b^2 -4ac=(-5)^2 -4×1×1=21＞0$.(第二步)
∴方程有两个不相等的实数根.
∴$x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}$.(第三步)
∴$x_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$.(第四步)
(1)小明的解答过程是从第
出错的；
(2)写出此题正确的解答过程.
∵$a=1,b=-5,c=1$,(第一步)
∴$\Delta =b^2 -4ac=(-5)^2 -4×1×1=21＞0$.(第二步)
∴方程有两个不相等的实数根.
∴$x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}$.(第三步)
∴$x_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$.(第四步)
(1)小明的解答过程是从第
一
步开始出错的；出错的；
(2)写出此题正确的解答过程.
答案
9.解:(1)一
(2)方程化为一般形式,得$x^2-5x-1=0. \because a=1,b=-5,c=-1,\therefore \Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-1)=29＞0. \therefore$方程有两个不相等的实数根.$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}.$
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}.$
(2)方程化为一般形式,得$x^2-5x-1=0. \because a=1,b=-5,c=-1,\therefore \Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-1)=29＞0. \therefore$方程有两个不相等的实数根.$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}.$
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}.$
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的前提是先将方程化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，才能准确确定系数$a、b、c$的值。(1)观察小明的解答，原方程为$x^2-5x=1$，他未将方程化为一般形式就错误取$c=1$，因此从第一步就开始出错。(2)正确解题思路为：先移项将方程整理为一般形式，再正确确定$a、b、c$的值，接着计算判别式$\Delta$判断根的情况，最后代入求根公式计算方程的根即可。
【解析】
(1) 原方程需先化为一般形式才能确定常数项$c$，小明未移项就直接取$c=1$，因此从第一步开始出错。
(2) 正确解答过程：
先将方程化为一般形式：移项得$x^2 -5x -1=0$，由此得$a=1$，$b=-5$，$c=-1$；
再计算判别式：$\Delta =b^2 -4ac=(-5)^2 -4×1×(-1)=25+4=29＞0$，可知方程有两个不相等的实数根；
最后代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，得$x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}$，即可得到两个实数根。
【答案】
(1) 一
(2) 方程化为一般形式，得$x^2-5x-1=0$。$\because a=1,b=-5,c=-1$，$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-1)=29＞0$。$\therefore$方程有两个不相等的实数根。$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}$，$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题重点考查公式法解一元二次方程的规范步骤，易错点是忽略先将方程化为一般形式，或确定常数项时出现符号错误。解题时要严格遵循步骤，先整理方程为一般形式，再准确确定各项系数后代入计算。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程的前提是先将方程化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，才能准确确定系数$a、b、c$的值。(1)观察小明的解答，原方程为$x^2-5x=1$，他未将方程化为一般形式就错误取$c=1$，因此从第一步就开始出错。(2)正确解题思路为：先移项将方程整理为一般形式，再正确确定$a、b、c$的值，接着计算判别式$\Delta$判断根的情况，最后代入求根公式计算方程的根即可。
【解析】
(1) 原方程需先化为一般形式才能确定常数项$c$，小明未移项就直接取$c=1$，因此从第一步开始出错。
(2) 正确解答过程：
先将方程化为一般形式：移项得$x^2 -5x -1=0$，由此得$a=1$，$b=-5$，$c=-1$；
再计算判别式：$\Delta =b^2 -4ac=(-5)^2 -4×1×(-1)=25+4=29＞0$，可知方程有两个不相等的实数根；
最后代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，得$x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}$，即可得到两个实数根。
【答案】
(1) 一
(2) 方程化为一般形式，得$x^2-5x-1=0$。$\because a=1,b=-5,c=-1$，$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-1)=29＞0$。$\therefore$方程有两个不相等的实数根。$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}$，$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题重点考查公式法解一元二次方程的规范步骤，易错点是忽略先将方程化为一般形式，或确定常数项时出现符号错误。解题时要严格遵循步骤，先整理方程为一般形式，再准确确定各项系数后代入计算。
【难度系数】
0.8
10.(广州中考)关于$x$的方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$根的情况为（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根
C
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根
答案
10.C
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号判断，解题思路如下：第一步先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值；第二步代入判别式公式计算$\Delta$的表达式；第三步结合平方的非负性判断$\Delta$的正负性；第四步根据$\Delta$的符号对应得出根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$：
1. 确定各项系数：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=k^2+2$；
2. 计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(k^2+2)$
$= 1 - 4k^2 - 8$
$= -4k^2 -7$
3. 判断判别式符号：根据平方的非负性可知$k^2≥0$，因此$-4k^2≤0$，可得$-4k^2 -7 ≤ -7 ＜ 0$，即$\Delta ＜ 0$；
4. 对应根的情况：当$\Delta ＜ 0$时，方程无实数根。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；非负数的性质
【点评】
本题考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题关键是准确计算判别式，结合平方的非负性判断判别式的符号，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号判断，解题思路如下：第一步先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值；第二步代入判别式公式计算$\Delta$的表达式；第三步结合平方的非负性判断$\Delta$的正负性；第四步根据$\Delta$的符号对应得出根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$：
1. 确定各项系数：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=k^2+2$；
2. 计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(k^2+2)$
$= 1 - 4k^2 - 8$
$= -4k^2 -7$
3. 判断判别式符号：根据平方的非负性可知$k^2≥0$，因此$-4k^2≤0$，可得$-4k^2 -7 ≤ -7 ＜ 0$，即$\Delta ＜ 0$；
4. 对应根的情况：当$\Delta ＜ 0$时，方程无实数根。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；非负数的性质
【点评】
本题考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题关键是准确计算判别式，结合平方的非负性判断判别式的符号，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
11.【易错题】(内江中考)若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2+2x+1=0$有实数根，则实数$a$的取值范围是（
A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
C
）A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
答案
11.C
解析
【分析】
要确定参数a的取值范围，需结合一元二次方程的定义和根的判别式两个条件分析：首先，一元二次方程的二次项系数不能为0，由此得到第一个关于a的限制条件；其次，方程有实数根说明根的判别式Δ≥0，代入系数计算可得到第二个关于a的不等式，联立两个条件的结果即可得到最终取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(a-1)x^2+2x+1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
又
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为$2$，常数项为$1$
代入得：$\Delta = 2^2 - 4×(a-1)×1 ≥ 0$
计算得：$4 - 4(a-1) ≥ 0$
展开化简：$8 -4a ≥ 0$，解得$a ≤ 2$
联立两个条件，得$a$的取值范围是$a≤2$且$a≠1$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式应用
【点评】
本题为易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式得到$a≤2$误选A，求解此类参数范围问题时，要先明确方程类型的限制条件，再结合根的情况列式计算。
【难度系数】
0.6
要确定参数a的取值范围，需结合一元二次方程的定义和根的判别式两个条件分析：首先，一元二次方程的二次项系数不能为0，由此得到第一个关于a的限制条件；其次，方程有实数根说明根的判别式Δ≥0，代入系数计算可得到第二个关于a的不等式，联立两个条件的结果即可得到最终取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(a-1)x^2+2x+1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
又
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为$2$，常数项为$1$
代入得：$\Delta = 2^2 - 4×(a-1)×1 ≥ 0$
计算得：$4 - 4(a-1) ≥ 0$
展开化简：$8 -4a ≥ 0$，解得$a ≤ 2$
联立两个条件，得$a$的取值范围是$a≤2$且$a≠1$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式应用
【点评】
本题为易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式得到$a≤2$误选A，求解此类参数范围问题时，要先明确方程类型的限制条件，再结合根的情况列式计算。
【难度系数】
0.6
12. 已知a,b,c是$△ ABC$的三边长，关于x的一元二次方程$\frac{1}{2}(a - c)x^2 + \sqrt{2}(a - b)x - b + a = 0$有两个相等的实数根，则$△ ABC$的形状为
等腰三角形
。答案
12.等腰三角形
解析
【分析】
本题已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，解题时首先要联想到一元二次方程根的判别式Δ=0，同时注意一元二次方程的隐含条件：二次项系数不为0。先确定方程对应的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式化简，再结合三角形边长的性质推导三边的数量关系，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$\frac{1}{2}(a - c)x^2 + \sqrt{2}(a - b)x - b + a = 0$有两个相等的实数根，
∴ 二次项系数不为0，即$\frac{1}{2}(a - c) ≠ 0$，得$a ≠ c$；
同时判别式$\Delta = 0$，其中二次项系数$A=\frac{1}{2}(a - c)$，一次项系数$B=\sqrt{2}(a - b)$，常数项$C = a - b$，
代入判别式公式$\Delta = B^2 - 4AC$得：
$[\sqrt{2}(a - b)]^2 - 4 × \frac{1}{2}(a - c) × (a - b) = 0$
化简得：$2(a - b)^2 - 2(a - c)(a - b) = 0$
两边同时除以2得：$(a - b)^2 - (a - c)(a - b) = 0$
提取公因式$(a - b)$得：$(a - b)[(a - b) - (a - c)] = 0$
整理得：$(a - b)(c - b) = 0$
∴ $a - b = 0$或$c - b = 0$，即$a = b$或$b = c$，
结合$a ≠ c$，可知△ABC有两条边长相等，为等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解，等腰三角形的判定
【点评】
本题是一元二次方程性质和三角形判定的综合题，解题时要注意不要遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，通过判别式建立边长的等量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
本题已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，解题时首先要联想到一元二次方程根的判别式Δ=0，同时注意一元二次方程的隐含条件：二次项系数不为0。先确定方程对应的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式化简，再结合三角形边长的性质推导三边的数量关系，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$\frac{1}{2}(a - c)x^2 + \sqrt{2}(a - b)x - b + a = 0$有两个相等的实数根，
∴ 二次项系数不为0，即$\frac{1}{2}(a - c) ≠ 0$，得$a ≠ c$；
同时判别式$\Delta = 0$，其中二次项系数$A=\frac{1}{2}(a - c)$，一次项系数$B=\sqrt{2}(a - b)$，常数项$C = a - b$，
代入判别式公式$\Delta = B^2 - 4AC$得：
$[\sqrt{2}(a - b)]^2 - 4 × \frac{1}{2}(a - c) × (a - b) = 0$
化简得：$2(a - b)^2 - 2(a - c)(a - b) = 0$
两边同时除以2得：$(a - b)^2 - (a - c)(a - b) = 0$
提取公因式$(a - b)$得：$(a - b)[(a - b) - (a - c)] = 0$
整理得：$(a - b)(c - b) = 0$
∴ $a - b = 0$或$c - b = 0$，即$a = b$或$b = c$，
结合$a ≠ c$，可知△ABC有两条边长相等，为等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解，等腰三角形的判定
【点评】
本题是一元二次方程性质和三角形判定的综合题，解题时要注意不要遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，通过判别式建立边长的等量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
13. 已知关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$.
(1)当$b=a+2$时,利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况;
(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的$a,b$的值,并求此时方程的根.
(1)当$b=a+2$时,利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况;
(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的$a,b$的值,并求此时方程的根.
答案
13.解:(1)由题意,得$a≠0,b=a+2,c=1,\therefore \Delta=b^2-4ac=(a+2)^2-4a=a^2+4＞0. \therefore$原方程有两个不相等的实数根.
(2)$\because$方程有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=b^2-4ac=b^2-4a=0.$ 若$b=2,a=1$,则方程变形为$x^2+2x+1=0$,解得$x_1=x_2=-1$($a,b$的取值不唯一).
(2)$\because$方程有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=b^2-4ac=b^2-4a=0.$ 若$b=2,a=1$,则方程变形为$x^2+2x+1=0$,解得$x_1=x_2=-1$($a,b$的取值不唯一).
解析
【分析】
(1) 判断一元二次方程根的情况需结合根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根。首先明确一元二次方程要求二次项系数$a≠0$，再将$b=a+2$、$c=1$代入判别式化简，根据化简结果的符号即可判断根的情况。
(2) 方程有两个相等的实数根说明$\Delta=0$，代入$c=1$可得$b^2=4a$，结合$a≠0$的条件任取一组满足等式的$a$、$b$的值，再代入原方程求解即可。
【解析】
(1) 已知方程是一元二次方程，因此$a≠0$，由题意得$b=a+2$，$c=1$，
则根的判别式$\Delta=b^2-4ac=(a+2)^2-4a×1=a^2+4a+4-4a=a^2+4$，
$\because a≠0$，$\therefore a^2＞0$，$\therefore a^2+4＞0$，即$\Delta＞0$，
$\therefore$原方程有两个不相等的实数根。
(2) $\because$方程有两个相等的实数根，$\therefore \Delta=b^2-4ac=b^2-4a=0$，即$b^2=4a$（$a≠0$），
取$a=1$，$b=2$（取值不唯一），此时原方程变形为$x^2+2x+1=0$，
整理得$(x+1)^2=0$，解得$x_1=x_2=-1$。
【答案】
(1) 原方程有两个不相等的实数根；
(2) 示例：$a=1$，$b=2$，此时方程的根为$x_1=x_2=-1$（$a,b$取值不唯一）
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元二次方程
【点评】
本题基础考查根的判别式的应用，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，第二问为开放性问题，只要满足$b^2=4a$且$a≠0$即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
(1) 判断一元二次方程根的情况需结合根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根。首先明确一元二次方程要求二次项系数$a≠0$，再将$b=a+2$、$c=1$代入判别式化简，根据化简结果的符号即可判断根的情况。
(2) 方程有两个相等的实数根说明$\Delta=0$，代入$c=1$可得$b^2=4a$，结合$a≠0$的条件任取一组满足等式的$a$、$b$的值，再代入原方程求解即可。
【解析】
(1) 已知方程是一元二次方程，因此$a≠0$，由题意得$b=a+2$，$c=1$，
则根的判别式$\Delta=b^2-4ac=(a+2)^2-4a×1=a^2+4a+4-4a=a^2+4$，
$\because a≠0$，$\therefore a^2＞0$，$\therefore a^2+4＞0$，即$\Delta＞0$，
$\therefore$原方程有两个不相等的实数根。
(2) $\because$方程有两个相等的实数根，$\therefore \Delta=b^2-4ac=b^2-4a=0$，即$b^2=4a$（$a≠0$），
取$a=1$，$b=2$（取值不唯一），此时原方程变形为$x^2+2x+1=0$，
整理得$(x+1)^2=0$，解得$x_1=x_2=-1$。
【答案】
(1) 原方程有两个不相等的实数根；
(2) 示例：$a=1$，$b=2$，此时方程的根为$x_1=x_2=-1$（$a,b$取值不唯一）
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元二次方程
【点评】
本题基础考查根的判别式的应用，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，第二问为开放性问题，只要满足$b^2=4a$且$a≠0$即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
14. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (m - 2)x + 2m - 8 = 0$.
(1)求证:不论$m$取何实数,此方程总有两个实数根.
(2)若平行四边形$ABCD$的两边$AB$,$AD$的长是关于该方程的两个实数根.
①当$m$为何值时,四边形$ABCD$是菱形?求出这时菱形的边长;
②若$AB$的长为3,则平行四边形$ABCD$的周长是多少?
(1)求证:不论$m$取何实数,此方程总有两个实数根.
(2)若平行四边形$ABCD$的两边$AB$,$AD$的长是关于该方程的两个实数根.
①当$m$为何值时,四边形$ABCD$是菱形?求出这时菱形的边长;
②若$AB$的长为3,则平行四边形$ABCD$的周长是多少?
答案
14.解:(1)证明:$\because \Delta=(m-2)^2-4(2m-8)=m^2-12m+36=(m-6)^2\ge0,\therefore$无论$m$取何值,方程总有两个实数根.
(2)①$\because$平行四边形$ABCD$是菱形,$\therefore AB=AD. \therefore \Delta=0$,即$(m-6)^2=0$,解得$m=6$. 方程化为$x^2-4x+4=0$,解得$x_1=x_2=2. \therefore$菱形的边长为2.
②根据题意,将$x=3$代入方程$x^2-(m-2)x+2m-8=0$,解得$m=7$. 将$m=7$代入方程$x^2-(m-2)x+2m-8=0$,解得$x_1=3,x_2=2. \therefore AD=2. \therefore$平行四边形$ABCD$的周长为$2(AB+AD)=2×(2+3)=10$.
(2)①$\because$平行四边形$ABCD$是菱形,$\therefore AB=AD. \therefore \Delta=0$,即$(m-6)^2=0$,解得$m=6$. 方程化为$x^2-4x+4=0$,解得$x_1=x_2=2. \therefore$菱形的边长为2.
②根据题意,将$x=3$代入方程$x^2-(m-2)x+2m-8=0$,解得$m=7$. 将$m=7$代入方程$x^2-(m-2)x+2m-8=0$,解得$x_1=3,x_2=2. \therefore AD=2. \therefore$平行四边形$ABCD$的周长为$2(AB+AD)=2×(2+3)=10$.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，只需根据根的判别式的性质，证明判别式$\Delta≥0$即可，先展开计算$\Delta$，再通过配方判断其取值范围。
（2）①菱形的邻边相等，说明该方程的两个实数根相等，即$\Delta=0$，由此可求出$m$的值，再代入方程求解即可得到菱形的边长；②已知$AB=3$，即$x=3$是方程的一个根，将其代入方程先求出$m$的值，再解出方程的另一个根得到$AD$的长，最后根据平行四边形对边相等的性质计算周长。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 - (m - 2)x + 2m - 8 = 0$，
判别式$\Delta = [-(m-2)]^2 - 4×1×(2m-8)$
$= m^2 -4m +4 -8m +32$
$= m^2 -12m +36$
$=(m-6)^2$
∵ 任何实数的平方都是非负数，即$(m-6)^2\ge0$，
∴ 不论$m$取何实数，此方程总有两个实数根。
(2) ①
∵ 平行四边形$ABCD$是菱形，
∴ 邻边相等，即$AB=AD$，说明方程有两个相等的实数根，
∴ $\Delta=0$，即$(m-6)^2=0$，解得$m=6$，
将$m=6$代入原方程，得$x^2 -4x +4=0$，
解得$x_1=x_2=2$，即菱形的边长为2。
② 把$x=3$代入原方程，得$3^2 - (m-2)×3 + 2m -8 =0$，
计算得$9 -3m +6 +2m -8=0$，
整理得$-m +7=0$，解得$m=7$，
将$m=7$代入原方程，得$x^2 -5x +6=0$，
因式分解得$(x-3)(x-2)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=2$，
∴ $AD=2$，
平行四边形$ABCD$的周长为$2×(AB + AD)=2×(3+2)=10$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) ①当$m=6$时，四边形$ABCD$是菱形，菱形的边长为2；②平行四边形$ABCD$的周长为10。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；菱形的性质；平行四边形的性质
【点评】
本题将一元二次方程的相关知识与平行四边形、菱形的性质相结合，考查了知识的综合运用能力，解题关键是准确理解方程根的意义和特殊四边形的边长关系，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，只需根据根的判别式的性质，证明判别式$\Delta≥0$即可，先展开计算$\Delta$，再通过配方判断其取值范围。
（2）①菱形的邻边相等，说明该方程的两个实数根相等，即$\Delta=0$，由此可求出$m$的值，再代入方程求解即可得到菱形的边长；②已知$AB=3$，即$x=3$是方程的一个根，将其代入方程先求出$m$的值，再解出方程的另一个根得到$AD$的长，最后根据平行四边形对边相等的性质计算周长。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 - (m - 2)x + 2m - 8 = 0$，
判别式$\Delta = [-(m-2)]^2 - 4×1×(2m-8)$
$= m^2 -4m +4 -8m +32$
$= m^2 -12m +36$
$=(m-6)^2$
∵ 任何实数的平方都是非负数，即$(m-6)^2\ge0$，
∴ 不论$m$取何实数，此方程总有两个实数根。
(2) ①
∵ 平行四边形$ABCD$是菱形，
∴ 邻边相等，即$AB=AD$，说明方程有两个相等的实数根，
∴ $\Delta=0$，即$(m-6)^2=0$，解得$m=6$，
将$m=6$代入原方程，得$x^2 -4x +4=0$，
解得$x_1=x_2=2$，即菱形的边长为2。
② 把$x=3$代入原方程，得$3^2 - (m-2)×3 + 2m -8 =0$，
计算得$9 -3m +6 +2m -8=0$，
整理得$-m +7=0$，解得$m=7$，
将$m=7$代入原方程，得$x^2 -5x +6=0$，
因式分解得$(x-3)(x-2)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=2$，
∴ $AD=2$，
平行四边形$ABCD$的周长为$2×(AB + AD)=2×(3+2)=10$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) ①当$m=6$时，四边形$ABCD$是菱形，菱形的边长为2；②平行四边形$ABCD$的周长为10。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；菱形的性质；平行四边形的性质
【点评】
本题将一元二次方程的相关知识与平行四边形、菱形的性质相结合，考查了知识的综合运用能力，解题关键是准确理解方程根的意义和特殊四边形的边长关系，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
