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6.(山西中考节选)问题情境:青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人,其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合.
实验数据:仿青蛙机器人从水平地面起跳,并落在水平地面上,其运动路线的最高点距地面60 cm,起跳点与落地点的距离为160 cm.
数学建模:如图,将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线,其顶点为N,对称轴为直线l,仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O,落地点为M.以O为原点,OM所在直线为x轴,过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系.
(1)请直接写出顶点N的坐标,并求该抛物线的函数解析式;
问题解决:已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变,即抛物线的形状不变.
(2)如图,若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳,落地点为Q,点P的坐标为(0,75),点Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长.
实验数据:仿青蛙机器人从水平地面起跳,并落在水平地面上,其运动路线的最高点距地面60 cm,起跳点与落地点的距离为160 cm.
数学建模:如图,将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线,其顶点为N,对称轴为直线l,仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O,落地点为M.以O为原点,OM所在直线为x轴,过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系.
(1)请直接写出顶点N的坐标,并求该抛物线的函数解析式;
问题解决:已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变,即抛物线的形状不变.
(2)如图,若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳,落地点为Q,点P的坐标为(0,75),点Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长.
答案
6.解:(1)由题意,得抛物线的对称轴为$x=80$,顶点纵坐标为60,$\therefore$顶点为$(80,60)$.设抛物线的函数解析式为$y=a(x-80)^2+60$,$\because$图象过原点,$\therefore a(0-80)^2+60=0$,解得$a=-\dfrac{3}{320}$.$\therefore y=-\dfrac{3}{320}(x-80)^2+60$.
(2)$\because$抛物线的形状不变,且抛物线过点$(0,75)$,故第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移75个单位长度得到的.$\therefore$新的抛物线的解析式为$y=-\dfrac{3}{320}(x-80)^2+60+75=-\dfrac{3}{320}(x-80)^2+135$. 当$y=0$时,$-\dfrac{3}{320}(x-80)^2+135=0$,解得$x_1=200$,$x_2=-40$(不合题意,舍去).故起跳点$P$与落地点$Q$的水平距离$OQ$的长为200 cm.
(2)$\because$抛物线的形状不变,且抛物线过点$(0,75)$,故第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移75个单位长度得到的.$\therefore$新的抛物线的解析式为$y=-\dfrac{3}{320}(x-80)^2+60+75=-\dfrac{3}{320}(x-80)^2+135$. 当$y=0$时,$-\dfrac{3}{320}(x-80)^2+135=0$,解得$x_1=200$,$x_2=-40$(不合题意,舍去).故起跳点$P$与落地点$Q$的水平距离$OQ$的长为200 cm.
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，首先根据起跳点O(0,0)、落地点M间距160cm，可得M点坐标为(160,0)。根据抛物线的对称性，抛物线对称轴为两点横坐标的中点即x=80，结合最高点距地面60cm，即可得到顶点N的坐标。已知抛物线顶点坐标，选用顶点式设解析式最为简便，再将原点坐标代入解析式求解参数a，即可得到抛物线的函数解析式。
(2) 求解第二问时，已知抛物线形状不变，说明二次项系数a不变，起跳点变为(0,75)，相当于原抛物线向上平移75个单位，由此可直接写出新抛物线的解析式。落地点Q在x轴正半轴，即求y=0时x的正根，代入新解析式解方程，舍去不符合题意的负根，即可得到OQ的长度。
【解析】
(1) 由题意可知，起跳点O为(0,0)，落地点M坐标为(160,0)，抛物线对称轴为$x=\dfrac{0+160}{2}=80$，最高点纵坐标为60，因此顶点N的坐标为$\boldsymbol{(80,60)}$。
设抛物线的函数解析式为顶点式$y=a(x-80)^2+60$，
$\because$ 抛物线过原点$(0,0)$，
$\therefore$ 将$x=0,y=0$代入得：$a(0-80)^2+60=0$，
解得$a=-\dfrac{3}{320}$，
因此抛物线的函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{3}{320}(x-80)^2+60}$。
(2) $\because$ 抛物线形状不变，且起跳点变为(0,75)，即原抛物线向上平移75个单位，
$\therefore$ 新抛物线的解析式为：$y=-\dfrac{3}{320}(x-80)^2+60+75=-\dfrac{3}{320}(x-80)^2+135$。
落地点Q在x轴正半轴，令$y=0$，则：
$-\dfrac{3}{320}(x-80)^2+135=0$，
整理得$(x-80)^2=14400$，
解得$x_1=200$，$x_2=-40$（点Q在x轴正半轴，不合题意，舍去），
因此OQ的长为200cm。
【答案】
(1) 顶点N的坐标为$(80,60)$，抛物线解析式为$y=-\dfrac{3}{320}(x-80)^2+60$；
(2) OQ的长为$\boldsymbol{200\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象平移；二次函数实际应用
【点评】
本题结合仿青蛙机器人运动的实际场景考查二次函数的应用，解题关键是将实际问题转化为二次函数数学模型，灵活运用二次函数的性质、解析式求法以及一元二次方程的解法求解对应量，能够锻炼学生的知识应用能力和建模思维。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，首先根据起跳点O(0,0)、落地点M间距160cm，可得M点坐标为(160,0)。根据抛物线的对称性，抛物线对称轴为两点横坐标的中点即x=80，结合最高点距地面60cm，即可得到顶点N的坐标。已知抛物线顶点坐标，选用顶点式设解析式最为简便，再将原点坐标代入解析式求解参数a，即可得到抛物线的函数解析式。
(2) 求解第二问时，已知抛物线形状不变，说明二次项系数a不变，起跳点变为(0,75)，相当于原抛物线向上平移75个单位，由此可直接写出新抛物线的解析式。落地点Q在x轴正半轴，即求y=0时x的正根，代入新解析式解方程，舍去不符合题意的负根，即可得到OQ的长度。
【解析】
(1) 由题意可知，起跳点O为(0,0)，落地点M坐标为(160,0)，抛物线对称轴为$x=\dfrac{0+160}{2}=80$，最高点纵坐标为60，因此顶点N的坐标为$\boldsymbol{(80,60)}$。
设抛物线的函数解析式为顶点式$y=a(x-80)^2+60$，
$\because$ 抛物线过原点$(0,0)$，
$\therefore$ 将$x=0,y=0$代入得：$a(0-80)^2+60=0$，
解得$a=-\dfrac{3}{320}$，
因此抛物线的函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{3}{320}(x-80)^2+60}$。
(2) $\because$ 抛物线形状不变，且起跳点变为(0,75)，即原抛物线向上平移75个单位，
$\therefore$ 新抛物线的解析式为：$y=-\dfrac{3}{320}(x-80)^2+60+75=-\dfrac{3}{320}(x-80)^2+135$。
落地点Q在x轴正半轴，令$y=0$，则：
$-\dfrac{3}{320}(x-80)^2+135=0$，
整理得$(x-80)^2=14400$，
解得$x_1=200$，$x_2=-40$（点Q在x轴正半轴，不合题意，舍去），
因此OQ的长为200cm。
【答案】
(1) 顶点N的坐标为$(80,60)$，抛物线解析式为$y=-\dfrac{3}{320}(x-80)^2+60$；
(2) OQ的长为$\boldsymbol{200\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象平移；二次函数实际应用
【点评】
本题结合仿青蛙机器人运动的实际场景考查二次函数的应用，解题关键是将实际问题转化为二次函数数学模型，灵活运用二次函数的性质、解析式求法以及一元二次方程的解法求解对应量，能够锻炼学生的知识应用能力和建模思维。
【难度系数】
0.7
7. 综合与实践
近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，其为车主提供更舒适、安全的充电环境. 图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点B为该抛物线的最高点，点B到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点A到地面的距离为2米，且点A，B的水平距离为6米.
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)现有一辆新能源客车需要充电，图2是该车的截面图，已知车身长约5米，车厢的最高点与遮阳棚接触点P离地面约2.36米. 请通过计算说明这辆新能源客车是否可以完全停进遮阳棚的正下方；
(3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架. 如图3，钢架分两段，其中一段连接点A与点B，然后在AB的中点处取点D，在钢架AB和棚顶之间竖直安装第二段钢架CD，直接写出第二段钢架CD的长.
近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，其为车主提供更舒适、安全的充电环境. 图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点B为该抛物线的最高点，点B到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点A到地面的距离为2米，且点A，B的水平距离为6米.
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)现有一辆新能源客车需要充电，图2是该车的截面图，已知车身长约5米，车厢的最高点与遮阳棚接触点P离地面约2.36米. 请通过计算说明这辆新能源客车是否可以完全停进遮阳棚的正下方；
(3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架. 如图3，钢架分两段，其中一段连接点A与点B，然后在AB的中点处取点D，在钢架AB和棚顶之间竖直安装第二段钢架CD，直接写出第二段钢架CD的长.
答案
7.解:(1)设该抛物线的函数解析式为$y=a(x-h)^2+k(0≤ x≤6)$.$\because$该抛物线的顶点为$(6,3)$,$\therefore$该抛物线的函数解析式为$y=a(x-6)^2+3$.$\because$点$A$的坐标为$(0,2)$,$\therefore2=a(0-6)^2+3$,解得$a=-\dfrac{1}{36}$.$\therefore$该抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{36}(x-6)^2+3(0≤ x≤6)$.
(2)不可以,设点$P$的坐标为$(x,2.36)$,由题意,得$-\dfrac{1}{36}(x-6)^2+3=2.36$,解得$x_1=1.2$,$x_2=10.8$.$\because1.2+5＞6$.$\therefore$这辆新能源客车不可以完全停进遮阳棚正下方.
(3)第二段钢架$CD$长$\dfrac{1}{4}$米.
(2)不可以,设点$P$的坐标为$(x,2.36)$,由题意,得$-\dfrac{1}{36}(x-6)^2+3=2.36$,解得$x_1=1.2$,$x_2=10.8$.$\because1.2+5＞6$.$\therefore$这辆新能源客车不可以完全停进遮阳棚正下方.
(3)第二段钢架$CD$长$\dfrac{1}{4}$米.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线最高点B为顶点，坐标为$(6,3)$，因此选择顶点式设抛物线解析式，再将点A$(0,2)$代入求出系数$a$，即可得到抛物线解析式，注意标注自变量取值范围。
(2) 要判断客车能否完全停入，先求出高度为2.36m时抛物线上对应点的横坐标，验证该横坐标加车身长度5m是否超过A、B的水平距离6m，若超过则无法完全停入。
(3) 先求直线AB的解析式，CD为竖直线段，D是AB中点，横坐标为3，分别求出$x=3$时抛物线对应点C的纵坐标、直线AB对应点D的纵坐标，两纵坐标的差就是CD的长度。
【解析】
(1) 设抛物线的函数解析式为$y=a(x-h)^2+k(0≤ x≤6)$。
∵ 抛物线最高点B为顶点，B到地面距离为3m，A、B水平距离为6m，
∴ 顶点坐标为$(6,3)$，代入得$y=a(x-6)^2+3$。
∵ A点到地面距离为2m，
∴ A点坐标为$(0,2)$，将其代入解析式得：
$2=a(0-6)^2+3$，解得$a=-\dfrac{1}{36}$。
∴ 抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{36}(x-6)^2+3(0≤ x≤6)$。
(2) 设接触点P的坐标为$(x,2.36)$，将$y=2.36$代入抛物线解析式：
$-\dfrac{1}{36}(x-6)^2+3=2.36$，
整理得$(x-6)^2=23.04$，开方得$x-6=\pm4.8$，
解得$x_1=1.2$，$x_2=10.8$（超出$x$取值范围，舍去）。
∵ $1.2+5=6.2＞6$，因此这辆新能源客车不可以完全停进遮阳棚的正下方。
(3) 设直线AB的解析式为$y=mx+n$，代入$A(0,2)$、$B(6,3)$：
代入A点得$n=2$，代入B点得$3=6m+2$，解得$m=\dfrac{1}{6}$，即直线AB解析式为$y=\dfrac{1}{6}x+2$。
D是AB中点，横坐标为$\dfrac{0+6}{2}=3$，
$x=3$时，抛物线上C点纵坐标：$y_C=-\dfrac{1}{36}(3-6)^2+3=\dfrac{11}{4}$，
$x=3$时，直线AB上D点纵坐标：$y_D=\dfrac{1}{6}×3+2=\dfrac{5}{2}$，
∴ $CD=y_C-y_D=\dfrac{11}{4}-\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{4}$米。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{36}(x-6)^2+3(0≤ x≤6)$；
(2) 不可以；
(3) $\dfrac{1}{4}$米
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数实际应用，一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际命题，考查将实际问题转化为函数问题的建模能力，解题核心是准确提取坐标信息，结合二次函数、一次函数的性质计算，难度适中，贴合生活场景，能锻炼学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线最高点B为顶点，坐标为$(6,3)$，因此选择顶点式设抛物线解析式，再将点A$(0,2)$代入求出系数$a$，即可得到抛物线解析式，注意标注自变量取值范围。
(2) 要判断客车能否完全停入，先求出高度为2.36m时抛物线上对应点的横坐标，验证该横坐标加车身长度5m是否超过A、B的水平距离6m，若超过则无法完全停入。
(3) 先求直线AB的解析式，CD为竖直线段，D是AB中点，横坐标为3，分别求出$x=3$时抛物线对应点C的纵坐标、直线AB对应点D的纵坐标，两纵坐标的差就是CD的长度。
【解析】
(1) 设抛物线的函数解析式为$y=a(x-h)^2+k(0≤ x≤6)$。
∵ 抛物线最高点B为顶点，B到地面距离为3m，A、B水平距离为6m，
∴ 顶点坐标为$(6,3)$，代入得$y=a(x-6)^2+3$。
∵ A点到地面距离为2m，
∴ A点坐标为$(0,2)$，将其代入解析式得：
$2=a(0-6)^2+3$，解得$a=-\dfrac{1}{36}$。
∴ 抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{36}(x-6)^2+3(0≤ x≤6)$。
(2) 设接触点P的坐标为$(x,2.36)$，将$y=2.36$代入抛物线解析式：
$-\dfrac{1}{36}(x-6)^2+3=2.36$，
整理得$(x-6)^2=23.04$，开方得$x-6=\pm4.8$，
解得$x_1=1.2$，$x_2=10.8$（超出$x$取值范围，舍去）。
∵ $1.2+5=6.2＞6$，因此这辆新能源客车不可以完全停进遮阳棚的正下方。
(3) 设直线AB的解析式为$y=mx+n$，代入$A(0,2)$、$B(6,3)$：
代入A点得$n=2$，代入B点得$3=6m+2$，解得$m=\dfrac{1}{6}$，即直线AB解析式为$y=\dfrac{1}{6}x+2$。
D是AB中点，横坐标为$\dfrac{0+6}{2}=3$，
$x=3$时，抛物线上C点纵坐标：$y_C=-\dfrac{1}{36}(3-6)^2+3=\dfrac{11}{4}$，
$x=3$时，直线AB上D点纵坐标：$y_D=\dfrac{1}{6}×3+2=\dfrac{5}{2}$，
∴ $CD=y_C-y_D=\dfrac{11}{4}-\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{4}$米。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{36}(x-6)^2+3(0≤ x≤6)$；
(2) 不可以；
(3) $\dfrac{1}{4}$米
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数实际应用，一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际命题，考查将实际问题转化为函数问题的建模能力，解题核心是准确提取坐标信息，结合二次函数、一次函数的性质计算，难度适中，贴合生活场景，能锻炼学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
