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7.(2024·沈阳七中期末)如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别是D,E,AD,CE交于点H,已知AE=CE=10,BE=6,则CH的长度为 (
A.2
B.3
C.4
D.5
C
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
7.C
解析
【分析】
要求CH的长度，已知CE=10，因此只需求出EH的长度，再用CE减去EH即可。首先根据垂直关系可得多个直角，利用同角的余角相等可推出∠EAH=∠ECB，结合已知AE=CE、一组直角相等，可证明△AEH和△CEB全等，再根据全等三角形对应边相等得到EH=BE，最后代入计算即可得到CH的长度。
【解析】
∵AD⊥BC，CE⊥AB
∴∠AEH=∠CEB=∠ADB=90°
∴∠EAH + ∠B = 90°，∠ECB + ∠B = 90°
∴∠EAH = ∠ECB（同角的余角相等）
在△AEH和△CEB中：
$\{\begin{array}{l}∠AEH = ∠CEB \\AE = CE \\∠EAH = ∠ECB\end{array} $
∴△AEH ≌ △CEB（ASA）
∴EH = BE = 6
∵CE = 10
∴CH = CE - EH = 10 - 6 = 4
故选：C
【答案】
C
【知识点】
同角的余角相等；全等三角形的ASA判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等应用的典型题型，解题关键是借助垂直关系推导等角，进而证明三角形全等，将未知线段和已知线段建立关联求解，考察了对全等判定和性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要求CH的长度，已知CE=10，因此只需求出EH的长度，再用CE减去EH即可。首先根据垂直关系可得多个直角，利用同角的余角相等可推出∠EAH=∠ECB，结合已知AE=CE、一组直角相等，可证明△AEH和△CEB全等，再根据全等三角形对应边相等得到EH=BE，最后代入计算即可得到CH的长度。
【解析】
∵AD⊥BC，CE⊥AB
∴∠AEH=∠CEB=∠ADB=90°
∴∠EAH + ∠B = 90°，∠ECB + ∠B = 90°
∴∠EAH = ∠ECB（同角的余角相等）
在△AEH和△CEB中：
$\{\begin{array}{l}∠AEH = ∠CEB \\AE = CE \\∠EAH = ∠ECB\end{array} $
∴△AEH ≌ △CEB（ASA）
∴EH = BE = 6
∵CE = 10
∴CH = CE - EH = 10 - 6 = 4
故选：C
【答案】
C
【知识点】
同角的余角相等；全等三角形的ASA判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等应用的典型题型，解题关键是借助垂直关系推导等角，进而证明三角形全等，将未知线段和已知线段建立关联求解，考察了对全等判定和性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
8.(2025·大连瓦房店月考)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=15\ \mathrm{cm},BC=6\ \mathrm{cm},CD$为AB边上的高,点E从点B出发,在直线BC上以3 cm/s的速度移动,过点E作BC的垂线交直线CD于点F,当点E运动
7或3
s时,$CF=AB.$答案
8.7或3
解析
【分析】
首先根据已知的直角和高的条件，利用同角的余角相等推导得到相等的角，再结合CF=AB的条件，用AAS判定三角形全等得到CE的长度。由于点E在直线BC上运动，需分两种情况讨论E的位置，分别计算E移动的路程，结合速度即可求出运动时间。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A + ∠ACD = 90°，∠BCD + ∠ACD = 90°，
∴∠A = ∠BCD，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF = ∠ACB = 90°，
在△ACB和△CEF中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠ECF \\∠ACB = ∠CEF \\AB = CF\end{array} $
∴△ACB ≌ △CEF（AAS），
∴CE = AC = 15 cm，
分两种情况讨论：
① 当点E沿B→C方向移动，过点C继续运动时：
BE = BC + CE = 6 + 15 = 21 cm，
运动时间$t = 21 ÷ 3 = 7$ s；
② 当点E沿B远离C的方向移动时：
BE = CE - BC = 15 - 6 = 9 cm，
运动时间$t = 9 ÷ 3 = 3$ s。
【答案】
3或7
【知识点】
AAS判定全等，同角的余角相等，动点分类讨论
【点评】
本题是全等三角形与动点结合的常见题型，解题核心是先证明全等得到定长CE，解题时要注意动点在直线上运动需分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先根据已知的直角和高的条件，利用同角的余角相等推导得到相等的角，再结合CF=AB的条件，用AAS判定三角形全等得到CE的长度。由于点E在直线BC上运动，需分两种情况讨论E的位置，分别计算E移动的路程，结合速度即可求出运动时间。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A + ∠ACD = 90°，∠BCD + ∠ACD = 90°，
∴∠A = ∠BCD，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF = ∠ACB = 90°，
在△ACB和△CEF中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠ECF \\∠ACB = ∠CEF \\AB = CF\end{array} $
∴△ACB ≌ △CEF（AAS），
∴CE = AC = 15 cm，
分两种情况讨论：
① 当点E沿B→C方向移动，过点C继续运动时：
BE = BC + CE = 6 + 15 = 21 cm，
运动时间$t = 21 ÷ 3 = 7$ s；
② 当点E沿B远离C的方向移动时：
BE = CE - BC = 15 - 6 = 9 cm，
运动时间$t = 9 ÷ 3 = 3$ s。
【答案】
3或7
【知识点】
AAS判定全等，同角的余角相等，动点分类讨论
【点评】
本题是全等三角形与动点结合的常见题型，解题核心是先证明全等得到定长CE，解题时要注意动点在直线上运动需分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
9.(2025·抚顺新抚区月考)如图,在$△ ABC$中,BE是$∠ ABC$的平分线,且交AC于点E,过点A作$AD⊥ BE$于点D.若$∠ 1=26°,∠ 2=60°$,求$∠ C$的度数.
答案
9.$34°$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用AD⊥BE的垂直关系，可知△ABD是直角三角形，结合已知∠2=60°，根据直角三角形两锐角互余可求出∠ABD的度数；2. 再根据BE是∠ABC的平分线，可得∠ABC=2∠ABD，算出∠ABC的总度数；3. 明确∠BAC是∠1和∠2的和，算出∠BAC的度数；4. 最后利用三角形内角和为180°，代入三个内角的已知条件即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵$AD⊥BE$，
∴$∠ADB=90°$，
在$Rt△ABD$中，$∠2=60°$，
∴$∠ABD=90°-∠2=90°-60°=30°$，
∵BE是$∠ABC$的平分线，
∴$∠ABC=2∠ABD=2×30°=60°$，
又
∵$∠BAC=∠1+∠2=26°+60°=86°$，
在$△ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，
∴$∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-86°-60°=34°$。
【答案】
$34°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形基础性质的常规综合题，解题的核心是先通过直角三角形性质求出角平分线分出的角的度数，再结合角度和差关系与内角和定理计算未知角，计算时注意角度的和差不要出错即可。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先利用AD⊥BE的垂直关系，可知△ABD是直角三角形，结合已知∠2=60°，根据直角三角形两锐角互余可求出∠ABD的度数；2. 再根据BE是∠ABC的平分线，可得∠ABC=2∠ABD，算出∠ABC的总度数；3. 明确∠BAC是∠1和∠2的和，算出∠BAC的度数；4. 最后利用三角形内角和为180°，代入三个内角的已知条件即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵$AD⊥BE$，
∴$∠ADB=90°$，
在$Rt△ABD$中，$∠2=60°$，
∴$∠ABD=90°-∠2=90°-60°=30°$，
∵BE是$∠ABC$的平分线，
∴$∠ABC=2∠ABD=2×30°=60°$，
又
∵$∠BAC=∠1+∠2=26°+60°=86°$，
在$△ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，
∴$∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-86°-60°=34°$。
【答案】
$34°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形基础性质的常规综合题，解题的核心是先通过直角三角形性质求出角平分线分出的角的度数，再结合角度和差关系与内角和定理计算未知角，计算时注意角度的和差不要出错即可。
【难度系数】
0.7
10.我们知道，“对称补缺”的思想是解决问题时一种重要的添加辅助线的策略.请参考这种思想，解决下列问题：
(1)如图1，在$△ ABC$中，$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，$D$是$AC$上一点，$AE⊥ BD$交$BD$的延长线于点$E$，且$BD$是$∠ ABC$的平分线.求证：$AE=\frac{1}{2}BD$.
(2)如图2，$△ ABC$的面积为$16\ \mathrm{cm}^2$，$∠ ABC$的平分线$BP⊥ AP$于点$P$，求$△ PBC$的面积.
(1)如图1，在$△ ABC$中，$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，$D$是$AC$上一点，$AE⊥ BD$交$BD$的延长线于点$E$，且$BD$是$∠ ABC$的平分线.求证：$AE=\frac{1}{2}BD$.
(2)如图2，$△ ABC$的面积为$16\ \mathrm{cm}^2$，$∠ ABC$的平分线$BP⊥ AP$于点$P$，求$△ PBC$的面积.
答案
10.解:(1)证明:如图,延长$AE$,$BC$ 交于点$F$.
$\because AE⊥ BE,∠ ACB=90°,$
$\therefore ∠ BEF=∠ BEA=90°,∠ ACF=∠ ACB=90°,$
$\therefore ∠ DBC+∠ AFC=∠ FAC+∠ AFC=90°,$
$\therefore ∠ DBC=∠ FAC.$
在$△ ACF$ 和$△ BCD$ 中,$\begin{cases}∠ ACF=∠ BCD=90°,\\AC=BC,\\∠ FAC=∠ DBC,\end{cases}$
$\therefore △ ACF≌△ BCD(\mathrm{ASA}),\therefore AF=BD.$
$\because BD$ 是$∠ ABC$ 的平分线,$\therefore ∠ ABE=∠ FBE.$
在$△ ABE$ 和$△ FBE$ 中,$\begin{cases}∠ BEA=∠ BEF,\\BE=BE,\\∠ ABE=∠ FBE,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ FBE(\mathrm{ASA}),$
$\therefore AE=EF=\frac{1}{2}AF,\therefore AE=\frac{1}{2}BD.$
(2)$8\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
(1) 要证$AE=\frac{1}{2}BD$，观察到$BD$是$∠ ABC$的平分线且$AE⊥ BD$，符合“角平分线+垂线”的特征，结合对称补缺思路，延长$AE$、$BC$交于点$F$：先通过角的互余关系推导角相等，用ASA证明$△ ACF≌△ BCD$得到$AF=BD$；再利用角平分线和公共边，用ASA证明$△ ABE≌△ FBE$得到$AE=\frac{1}{2}AF$，即可推出结论。
(2) 同样利用“角平分线+垂线”的构造思路，延长$AP$交$BC$于点$D$，证$△ ABP≌△ DBP$得$AP=PD$，根据等底同高的三角形面积相等，可知$△ PBC$的面积是$△ ABC$面积的一半，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 证明：如图，延长$AE$，$BC$交于点$F$。
$\because AE⊥ BE,∠ ACB=90°,$
$\therefore ∠ BEF=∠ BEA=90°,∠ ACF=∠ ACB=90°,$
$\therefore ∠ DBC+∠ AFC=∠ FAC+∠ AFC=90°,$
$\therefore ∠ DBC=∠ FAC.$
在$△ ACF$和$△ BCD$中,$\begin{cases}∠ ACF=∠ BCD=90°,\\AC=BC,\\∠ FAC=∠ DBC,\end{cases}$
$\therefore △ ACF≌△ BCD(\mathrm{ASA}),\therefore AF=BD.$
$\because BD$是$∠ ABC$的平分线,$\therefore ∠ ABE=∠ FBE.$
在$△ ABE$和$△ FBE$中,$\begin{cases}∠ BEA=∠ BEF,\\BE=BE,\\∠ ABE=∠ FBE,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ FBE(\mathrm{ASA}),$
$\therefore AE=EF=\frac{1}{2}AF,\therefore AE=\frac{1}{2}BD.$
(2) 解：延长$AP$交$BC$于点$D$。
$\because BP$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABP=∠ DBP$。
$\because BP⊥ AP$，$\therefore ∠ APB=∠ DPB=90°$。
在$△ ABP$和$△ DBP$中，$\begin{cases}∠ ABP=∠ DBP,\\BP=BP,\\∠ APB=∠ DPB=90°,\end{cases}$
$\therefore △ ABP≌△ DBP(\mathrm{ASA})$，$\therefore AP=PD$。
$\because AP=PD$，$△ ABP$和$△ DBP$等底同高，$△ ACP$和$△ DCP$等底同高，
$\therefore S_{△ ABP}=S_{△ DBP}$，$S_{△ ACP}=S_{△ DCP}$，
$\therefore S_{△ PBC}=S_{△ DBP}+S_{△ DCP}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×16=8(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $8\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
ASA判定三角形全等，角平分线的性质，等底同高三角形面积关系
【点评】
本题重点考察“对称补缺”构造全等三角形的辅助线技巧，当题干出现“角平分线+边上的垂线”的组合条件时，延长垂线构造轴对称全等是常用的解题思路，能有效转化线段等量关系和面积关系，解题的关键是正确作出辅助线。
【难度系数】
0.6
(1) 要证$AE=\frac{1}{2}BD$，观察到$BD$是$∠ ABC$的平分线且$AE⊥ BD$，符合“角平分线+垂线”的特征，结合对称补缺思路，延长$AE$、$BC$交于点$F$：先通过角的互余关系推导角相等，用ASA证明$△ ACF≌△ BCD$得到$AF=BD$；再利用角平分线和公共边，用ASA证明$△ ABE≌△ FBE$得到$AE=\frac{1}{2}AF$，即可推出结论。
(2) 同样利用“角平分线+垂线”的构造思路，延长$AP$交$BC$于点$D$，证$△ ABP≌△ DBP$得$AP=PD$，根据等底同高的三角形面积相等，可知$△ PBC$的面积是$△ ABC$面积的一半，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 证明：如图，延长$AE$，$BC$交于点$F$。
$\because AE⊥ BE,∠ ACB=90°,$
$\therefore ∠ BEF=∠ BEA=90°,∠ ACF=∠ ACB=90°,$
$\therefore ∠ DBC+∠ AFC=∠ FAC+∠ AFC=90°,$
$\therefore ∠ DBC=∠ FAC.$
在$△ ACF$和$△ BCD$中,$\begin{cases}∠ ACF=∠ BCD=90°,\\AC=BC,\\∠ FAC=∠ DBC,\end{cases}$
$\therefore △ ACF≌△ BCD(\mathrm{ASA}),\therefore AF=BD.$
$\because BD$是$∠ ABC$的平分线,$\therefore ∠ ABE=∠ FBE.$
在$△ ABE$和$△ FBE$中,$\begin{cases}∠ BEA=∠ BEF,\\BE=BE,\\∠ ABE=∠ FBE,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ FBE(\mathrm{ASA}),$
$\therefore AE=EF=\frac{1}{2}AF,\therefore AE=\frac{1}{2}BD.$
(2) 解：延长$AP$交$BC$于点$D$。
$\because BP$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABP=∠ DBP$。
$\because BP⊥ AP$，$\therefore ∠ APB=∠ DPB=90°$。
在$△ ABP$和$△ DBP$中，$\begin{cases}∠ ABP=∠ DBP,\\BP=BP,\\∠ APB=∠ DPB=90°,\end{cases}$
$\therefore △ ABP≌△ DBP(\mathrm{ASA})$，$\therefore AP=PD$。
$\because AP=PD$，$△ ABP$和$△ DBP$等底同高，$△ ACP$和$△ DCP$等底同高，
$\therefore S_{△ ABP}=S_{△ DBP}$，$S_{△ ACP}=S_{△ DCP}$，
$\therefore S_{△ PBC}=S_{△ DBP}+S_{△ DCP}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×16=8(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $8\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
ASA判定三角形全等，角平分线的性质，等底同高三角形面积关系
【点评】
本题重点考察“对称补缺”构造全等三角形的辅助线技巧，当题干出现“角平分线+边上的垂线”的组合条件时，延长垂线构造轴对称全等是常用的解题思路，能有效转化线段等量关系和面积关系，解题的关键是正确作出辅助线。
【难度系数】
0.6
