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1. [2026阜阳期末]如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,$∠ B = 70°$,则$∠ A$的度数是 (
A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$70°$
A
)A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$70°$
答案
1 A $\because AB = AC,\therefore ∠ B = ∠ C = 70°,\therefore ∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 40°.$
解析
【分析】
解题时先从已知条件AB=AC入手，可判断△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得两个底角∠B与∠C相等，再结合三角形内角和为180°的定理，用内角和减去两个底角的度数即可求出顶角∠A的度数。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形，根据等边对等角的性质可得$∠ C=∠ B=70°$，
根据三角形内角和定理，$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-70°-70°=40°$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形等边对等角的性质以及三角形内角和的应用，熟练掌握基础几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件AB=AC入手，可判断△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得两个底角∠B与∠C相等，再结合三角形内角和为180°的定理，用内角和减去两个底角的度数即可求出顶角∠A的度数。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形，根据等边对等角的性质可得$∠ C=∠ B=70°$，
根据三角形内角和定理，$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-70°-70°=40°$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形等边对等角的性质以及三角形内角和的应用，熟练掌握基础几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. [2024绥化中考]如图，$AB// CD$，$∠ C=33°$，$OC=OE$，则$∠ A=$
66
$°$。答案
2 66 $\because OC = OE, \therefore ∠ E = ∠ C = 33°,\therefore ∠ DOE = ∠ E + ∠ C = 66°. \because AB // CD,\therefore ∠ A = ∠ DOE = 66°.$
解析
【分析】解题时可顺着已知条件逐步推导：首先由OC=OE可知△OCE是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠E=∠C；再观察∠DOE是△COE的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，可算出∠DOE的度数；最后已知AB//CD，∠A与∠DOE是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ OC = OE，
∴ ∠E = ∠C = 33°，
∵ ∠DOE是△COE的外角，
∴ ∠DOE = ∠C + ∠E = 33° + 33° = 66°，
又
∵ AB//CD，
∴ ∠A = ∠DOE = 66°。
【答案】
66
【知识点】
等边对等角；三角形外角性质；平行线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，综合考察等腰三角形、三角形外角、平行线的三类基础性质，解题逻辑链条清晰，熟练掌握基础几何性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
【解析】
解：
∵ OC = OE，
∴ ∠E = ∠C = 33°，
∵ ∠DOE是△COE的外角，
∴ ∠DOE = ∠C + ∠E = 33° + 33° = 66°，
又
∵ AB//CD，
∴ ∠A = ∠DOE = 66°。
【答案】
66
【知识点】
等边对等角；三角形外角性质；平行线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，综合考察等腰三角形、三角形外角、平行线的三类基础性质，解题逻辑链条清晰，熟练掌握基础几何性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3. [2026芜湖期末]如图，$△ ABC ≌ △ DEC$，且点E恰好落在线段AB上，$∠ B = 65°$，则$∠ ACD$的度数为
50°
。答案
3 50° $\because △ ABC ≌ △ DEC,\therefore BC = EC, ∠ DCE = ∠ ACB,$
$\therefore ∠ BEC = ∠ B = 65°, ∠ DCE - ∠ ACE = ∠ ACB - ∠ ACE,$即$∠ ACD = ∠ BCE, \therefore ∠ BCE = 180° - ∠ B - ∠ BEC = 50°,$
$\therefore ∠ ACD = ∠ BCE = 50°.$
$\therefore ∠ BEC = ∠ B = 65°, ∠ DCE - ∠ ACE = ∠ ACB - ∠ ACE,$即$∠ ACD = ∠ BCE, \therefore ∠ BCE = 180° - ∠ B - ∠ BEC = 50°,$
$\therefore ∠ ACD = ∠ BCE = 50°.$
解析
【分析】
解题时先从已知的全等三角形条件入手，首先利用全等三角形的性质得到对应边相等、对应角相等：一是可得BC=EC，即△BCE是等腰三角形，结合已知∠B=65°，可借助等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理求出∠BCE的度数；二是可得∠DCE=∠ACB，两个角同时减去公共角∠ACE，即可推出∠ACD=∠BCE，进而得到∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC ≌ △DEC，
∴BC = EC，∠DCE = ∠ACB，
∵BC=EC，
∴△BCE是等腰三角形，
∴∠BEC = ∠B = 65°，
在△BCE中，根据三角形内角和为180°，得：
∠BCE = 180° - ∠B - ∠BEC = 180° - 65° - 65° = 50°，
又
∵∠DCE = ∠ACB，
∴∠DCE - ∠ACE = ∠ACB - ∠ACE，即∠ACD = ∠BCE，
∴∠ACD = 50°。
【答案】
50°
【知识点】
全等三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考查全等三角形与等腰三角形性质的结合应用，解题的关键是利用角的和差关系将待求角∠ACD转化为易求的∠BCE，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的全等三角形条件入手，首先利用全等三角形的性质得到对应边相等、对应角相等：一是可得BC=EC，即△BCE是等腰三角形，结合已知∠B=65°，可借助等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理求出∠BCE的度数；二是可得∠DCE=∠ACB，两个角同时减去公共角∠ACE，即可推出∠ACD=∠BCE，进而得到∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC ≌ △DEC，
∴BC = EC，∠DCE = ∠ACB，
∵BC=EC，
∴△BCE是等腰三角形，
∴∠BEC = ∠B = 65°，
在△BCE中，根据三角形内角和为180°，得：
∠BCE = 180° - ∠B - ∠BEC = 180° - 65° - 65° = 50°，
又
∵∠DCE = ∠ACB，
∴∠DCE - ∠ACE = ∠ACB - ∠ACE，即∠ACD = ∠BCE，
∴∠ACD = 50°。
【答案】
50°
【知识点】
全等三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考查全等三角形与等腰三角形性质的结合应用，解题的关键是利用角的和差关系将待求角∠ACD转化为易求的∠BCE，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
4. 一题多解 [2024 泰安中考]如图,直线 $ l // m $,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l, m上,若$ ∠ ABE = 21° $,则$ ∠ ACD $的度数是 (
A.$ 45° $
B.$ 39° $
C.$ 29° $
D.$ 21° $
B
)A.$ 45° $
B.$ 39° $
C.$ 29° $
D.$ 21° $
答案
4 B 通解 $\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ ABC = ∠ ACB = 60°. \because l // m,\therefore ∠ EBC + ∠ BCD = 180°,$即$∠ EBA + ∠ ABC + ∠ BCA + ∠ ACD = 180°, \therefore ∠ ACD = 180° - 21° - 60° - 60° = 39°.$
另解 如图,过点 A 作 $AF // l$. $\because$ 直线 $l // m,\therefore AF // m.$
$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ BAC = 60°. \because AF // l,\therefore ∠ BAF = ∠ ABE = 21°,\therefore ∠ CAF = ∠ BAC - ∠ BAF = 60° - 21° = 39°.$
$\because AF // m,\therefore ∠ ACD = ∠ CAF = 39°.$
解析
【分析】
解题时先回忆相关性质：等边三角形三个内角均为60°，平行线的同旁内角互补、内错角相等。有两种常见解题思路：思路一：直接利用平行线同旁内角互补的性质，将∠EBC和∠BCD拆分为已知角、等边三角形内角和未知角∠ACD，代入数值计算即可；思路二：过点A作平行于直线l的辅助线，结合平行公理的推论得到辅助线也平行于m，再利用平行线内错角相等的性质推导∠ACD的度数。
【解析】
通解：
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ ABC=∠ ACB=60°$。
∵$l// m$，根据两直线平行，同旁内角互补，
∴$∠ EBC+∠ BCD=180°$，
即$∠ EBA+∠ ABC+∠ ACB+∠ ACD=180°$，
代入数值得：$∠ ACD=180°-21°-60°-60°=39°$。
另解：
如图，过点$A$作 $AF // l$。
∵直线 $l // m$，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，
∴$AF // m$。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ BAC=60°$。
∵$AF // l$，根据两直线平行，内错角相等，
∴$∠ BAF=∠ ABE=21°$，
∴$∠ CAF=∠ BAC-∠ BAF=60°-21°=39°$。
∵$AF // m$，根据两直线平行，内错角相等，
∴$∠ ACD=∠ CAF=39°$。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题是基础几何角度计算题，解法灵活，既能直接利用已有平行线和特殊三角形的性质求解，也可通过作辅助线构造平行线推导，重点考查学生对基础几何性质的掌握程度和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆相关性质：等边三角形三个内角均为60°，平行线的同旁内角互补、内错角相等。有两种常见解题思路：思路一：直接利用平行线同旁内角互补的性质，将∠EBC和∠BCD拆分为已知角、等边三角形内角和未知角∠ACD，代入数值计算即可；思路二：过点A作平行于直线l的辅助线，结合平行公理的推论得到辅助线也平行于m，再利用平行线内错角相等的性质推导∠ACD的度数。
【解析】
通解：
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ ABC=∠ ACB=60°$。
∵$l// m$，根据两直线平行，同旁内角互补，
∴$∠ EBC+∠ BCD=180°$，
即$∠ EBA+∠ ABC+∠ ACB+∠ ACD=180°$，
代入数值得：$∠ ACD=180°-21°-60°-60°=39°$。
另解：
如图，过点$A$作 $AF // l$。
∵直线 $l // m$，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，
∴$AF // m$。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ BAC=60°$。
∵$AF // l$，根据两直线平行，内错角相等，
∴$∠ BAF=∠ ABE=21°$，
∴$∠ CAF=∠ BAC-∠ BAF=60°-21°=39°$。
∵$AF // m$，根据两直线平行，内错角相等，
∴$∠ ACD=∠ CAF=39°$。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题是基础几何角度计算题，解法灵活，既能直接利用已有平行线和特殊三角形的性质求解，也可通过作辅助线构造平行线推导，重点考查学生对基础几何性质的掌握程度和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
5. [2024宜宾中考]如图,点D,E分别是等边三角形ABC边BC,AC上的点,且BD=CE,BE与AD交于点F.求证:AD=BE.
答案
5 证明:$\because △ ABC$ 为等边三角形,
$\therefore ∠ ABD = ∠ C = 60°, AB = BC.$
在$△ ABD$ 和$△ BCE$ 中,
$\begin{cases} AB = BC,\\ ∠ ABD = ∠ C,\\ BD = CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ BCE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AD = BE.$
$\therefore ∠ ABD = ∠ C = 60°, AB = BC.$
在$△ ABD$ 和$△ BCE$ 中,
$\begin{cases} AB = BC,\\ ∠ ABD = ∠ C,\\ BD = CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ BCE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AD = BE.$
解析
【分析】
要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。本题中待证的AD、BE分别在△ABD和△BCE中，首先结合等边三角形的性质，可得到AB=BC、∠ABD=∠C=60°，再结合题目给出的BD=CE的条件，刚好满足全等三角形的SAS判定条件，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到AD=BE的结论。
【解析】
证明：$\because △ ABC$ 为等边三角形,
$\therefore ∠ ABD = ∠ C = 60°, AB = BC.$
在$△ ABD$ 和$△ BCE$ 中,
$\begin{cases} AB = BC,\\ ∠ ABD = ∠ C,\\ BD = CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ BCE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AD = BE.$
【答案】
证明过程如上，AD=BE成立。
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查对三角形性质和全等判定的应用，解题关键是找准待证线段所属的三角形，梳理对应边、角的相等条件，是三角形章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.85
要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。本题中待证的AD、BE分别在△ABD和△BCE中，首先结合等边三角形的性质，可得到AB=BC、∠ABD=∠C=60°，再结合题目给出的BD=CE的条件，刚好满足全等三角形的SAS判定条件，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到AD=BE的结论。
【解析】
证明：$\because △ ABC$ 为等边三角形,
$\therefore ∠ ABD = ∠ C = 60°, AB = BC.$
在$△ ABD$ 和$△ BCE$ 中,
$\begin{cases} AB = BC,\\ ∠ ABD = ∠ C,\\ BD = CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ BCE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AD = BE.$
【答案】
证明过程如上，AD=BE成立。
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查对三角形性质和全等判定的应用，解题关键是找准待证线段所属的三角形，梳理对应边、角的相等条件，是三角形章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.85
6. [2025武汉中考]如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,D是边AB上的点,将$△ BCD$沿直线CD折叠,点B的对应点E恰好落在边AC上.若$∠ A = 34°$,则$∠ ADE$的大小是
(
A.$35°$
B.$37°$
C.$39°$
D.$41°$
(
C
)A.$35°$
B.$37°$
C.$39°$
D.$41°$
答案
6 C $\because AB = AC,\therefore ∠ B = ∠ ACB = \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 73°.$
由折叠的性质,可知$∠ CED = ∠ B = 73°,\therefore ∠ ADE = ∠ CED - ∠ A = 73° - 34° = 39°.$
由折叠的性质,可知$∠ CED = ∠ B = 73°,\therefore ∠ ADE = ∠ CED - ∠ A = 73° - 34° = 39°.$
解析
【分析】
解题时首先根据已知AB=AC，利用等腰三角形“等边对等角”的性质计算出底角∠B的度数；再结合折叠的性质，得到折叠后对应角∠CED与∠B相等；最后观察∠CED是△ADE的外角，利用三角形外角的性质，即可求出∠ADE的度数。
【解析】
$\because AB=AC$，$∠ A=34°$
$\therefore ∠ B=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-34°)=73°$
由折叠的性质可知，$△ BCD$与$△ ECD$关于CD对称，因此$∠ CED=∠ B=73°$
$\because ∠ CED$是$△ ADE$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
$\therefore ∠ CED=∠ A+∠ ADE$
$\therefore ∠ ADE=∠ CED-∠ A=73°-34°=39°$
【答案】C
【知识点】
等腰三角形的性质；折叠的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将等腰三角形、折叠变换、三角形外角性质结合考查，解题的关键是准确找到折叠前后的对应角，理清角之间的和差关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知AB=AC，利用等腰三角形“等边对等角”的性质计算出底角∠B的度数；再结合折叠的性质，得到折叠后对应角∠CED与∠B相等；最后观察∠CED是△ADE的外角，利用三角形外角的性质，即可求出∠ADE的度数。
【解析】
$\because AB=AC$，$∠ A=34°$
$\therefore ∠ B=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-34°)=73°$
由折叠的性质可知，$△ BCD$与$△ ECD$关于CD对称，因此$∠ CED=∠ B=73°$
$\because ∠ CED$是$△ ADE$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
$\therefore ∠ CED=∠ A+∠ ADE$
$\therefore ∠ ADE=∠ CED-∠ A=73°-34°=39°$
【答案】C
【知识点】
等腰三角形的性质；折叠的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将等腰三角形、折叠变换、三角形外角性质结合考查，解题的关键是准确找到折叠前后的对应角，理清角之间的和差关系。
【难度系数】
0.7
7. 教材P146练习T1变式 [2026芜湖期末] 等腰三角形的一个外角为$110°$,则底角为 (
A.$55°$
B.$40°$或$55°$
C.$55°$或$70°$
D.$70°$
C
)A.$55°$
B.$40°$或$55°$
C.$55°$或$70°$
D.$70°$
答案
7 C 分两种情况:①当与顶角相邻的外角是$110°$时,顶角是$180° - 110° = 70°$,则底角是$\frac{1}{2} × (180° - 70°) = 55°$;②当与底角相邻的外角是$110°$时,底角是$180° - 110° = 70°$. 综上,底角为$55°$或$70°.$
解析
【分析】
本题需要结合等腰三角形的性质、三角形外角及内角和的知识求解，解题关键是明确题干未说明110°外角对应的是顶角还是底角的邻补角，因此要分两种情况分类讨论：先根据外角与相邻内角互补求出对应内角，再结合等腰三角形两底角相等、内角和为180°计算底角，最后验证结果符合三角形内角取值要求即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当110°的外角是与顶角相邻的外角时，对应顶角为$180° - 110° = 70°$，因为等腰三角形两底角相等，所以底角为$\frac{1}{2}×(180° - 70°) = 55°$；
② 当110°的外角是与底角相邻的外角时，对应底角为$180° - 110° = 70°$，此时两底角均为70°，顶角为$180° - 70°×2 = 40°$，符合三角形内角性质。
综上，底角为55°或70°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略外角的位置未分类讨论导致漏解，遇到等腰三角形中未明确角的类型的问题时，都要考虑分类讨论，计算后要验证结果是否满足三角形的内角性质。
【难度系数】
0.7
本题需要结合等腰三角形的性质、三角形外角及内角和的知识求解，解题关键是明确题干未说明110°外角对应的是顶角还是底角的邻补角，因此要分两种情况分类讨论：先根据外角与相邻内角互补求出对应内角，再结合等腰三角形两底角相等、内角和为180°计算底角，最后验证结果符合三角形内角取值要求即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当110°的外角是与顶角相邻的外角时，对应顶角为$180° - 110° = 70°$，因为等腰三角形两底角相等，所以底角为$\frac{1}{2}×(180° - 70°) = 55°$；
② 当110°的外角是与底角相邻的外角时，对应底角为$180° - 110° = 70°$，此时两底角均为70°，顶角为$180° - 70°×2 = 40°$，符合三角形内角性质。
综上，底角为55°或70°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略外角的位置未分类讨论导致漏解，遇到等腰三角形中未明确角的类型的问题时，都要考虑分类讨论，计算后要验证结果是否满足三角形的内角性质。
【难度系数】
0.7
8. [2025德州中考]如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,分别以点A和点B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧交于M,N两点,作直线MN,与AC交于点D,连接BD.若$∠ A = 42°$,则$∠ CBD$的度数为 (
A.$21°$
B.$27°$
C.$30°$
D.$34.5°$
B
)A.$21°$
B.$27°$
C.$30°$
D.$34.5°$
答案
8 B $\because AB = AC,\therefore ∠ ABC = ∠ C = \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 69°.$
由尺规作图可知$MN$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线,$\therefore DA = DB,$
$\therefore ∠ DBA = ∠ A = 42°,\therefore ∠ CBD = ∠ ABC - ∠ DBA = 69° - 42° = 27°.$
由尺规作图可知$MN$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线,$\therefore DA = DB,$
$\therefore ∠ DBA = ∠ A = 42°,\therefore ∠ CBD = ∠ ABC - ∠ DBA = 69° - 42° = 27°.$
解析
【分析】
解题时首先根据$AB=AC$可知$△ ABC$是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和先算出底角$∠ ABC$的度数；再根据题中尺规作图的特征，判断$MN$是线段$AB$的垂直平分线，依据垂直平分线的性质得到$DA=DB$，进而推出$∠ DBA=∠ A$；最后用$∠ ABC$减去$∠ DBA$即可求出$∠ CBD$的度数。
【解析】
$\because AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-42°)=69°$
由尺规作图的步骤可知，$MN$是线段$AB$的垂直平分线，点$D$在$MN$上
$\therefore DA=DB$
$\therefore ∠ DBA=∠ A=42°$
$\therefore ∠ CBD=∠ ABC-∠ DBA=69°-42°=27°$
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础常考题，综合考查等腰三角形和线段垂直平分线的性质，解题关键是准确识别尺规作图的结果，结合图形完成角度的和差计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据$AB=AC$可知$△ ABC$是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和先算出底角$∠ ABC$的度数；再根据题中尺规作图的特征，判断$MN$是线段$AB$的垂直平分线，依据垂直平分线的性质得到$DA=DB$，进而推出$∠ DBA=∠ A$；最后用$∠ ABC$减去$∠ DBA$即可求出$∠ CBD$的度数。
【解析】
$\because AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-42°)=69°$
由尺规作图的步骤可知，$MN$是线段$AB$的垂直平分线，点$D$在$MN$上
$\therefore DA=DB$
$\therefore ∠ DBA=∠ A=42°$
$\therefore ∠ CBD=∠ ABC-∠ DBA=69°-42°=27°$
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础常考题，综合考查等腰三角形和线段垂直平分线的性质，解题关键是准确识别尺规作图的结果，结合图形完成角度的和差计算。
【难度系数】
0.7
9. [2025渭南期中]如图，$△ ABC$是等边三角形，$BC=BD$，若$∠ BAD=20°$，则$∠ BCD$的度数为（
A.$50°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$65°$
A
）A.$50°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$65°$
答案
9 A $\because △ ABC$ 是等边三角形,$\therefore ∠ ABC = 60°, AB = BC,$
$\because BC = BD,\therefore AB = BD,\therefore ∠ BAD = ∠ BDA = 20°,\therefore ∠ ABD = 180° - 20° - 20° = 140°,\therefore ∠ CBD = ∠ ABD - ∠ ABC = 140° - 60° = 80°. \because BC = BD,\therefore ∠ BCD = ∠ BDC = \frac{1}{2} × (180° - 80°) = 50°.$
$\because BC = BD,\therefore AB = BD,\therefore ∠ BAD = ∠ BDA = 20°,\therefore ∠ ABD = 180° - 20° - 20° = 140°,\therefore ∠ CBD = ∠ ABD - ∠ ABC = 140° - 60° = 80°. \because BC = BD,\therefore ∠ BCD = ∠ BDC = \frac{1}{2} × (180° - 80°) = 50°.$
解析
【分析】
解题时先从已知的等边三角形性质入手，先得到等边三角形的边、角相关结论；再结合BC=BD的条件，推出AB=BD，得到等腰△ABD，利用等腰三角形等边对等角和三角形内角和算出∠ABD的度数；接着求出等腰△BCD的顶角∠CBD的度数，最后再用等腰三角形性质和内角和算出底角∠BCD的度数即可。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC，
∵BC=BD，
∴AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA=20°，
∴∠ABD=180°-20°-20°=140°，
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=140°-60°=80°，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC=$\frac{1}{2}$×(180°-80°)=50°。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，核心是通过边的等量关系构造等腰三角形，结合等边三角形的性质逐步推导未知角的度数，解题时需注意角度之间的和差关系不要算错。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等边三角形性质入手，先得到等边三角形的边、角相关结论；再结合BC=BD的条件，推出AB=BD，得到等腰△ABD，利用等腰三角形等边对等角和三角形内角和算出∠ABD的度数；接着求出等腰△BCD的顶角∠CBD的度数，最后再用等腰三角形性质和内角和算出底角∠BCD的度数即可。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC，
∵BC=BD，
∴AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA=20°，
∴∠ABD=180°-20°-20°=140°，
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=140°-60°=80°，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC=$\frac{1}{2}$×(180°-80°)=50°。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，核心是通过边的等量关系构造等腰三角形，结合等边三角形的性质逐步推导未知角的度数，解题时需注意角度之间的和差关系不要算错。
【难度系数】
0.7
10. 教材 P145 例1变式 [2024 内江中考] 如图，在$△ ABC$中，$∠ DCE = 40°$，$AE = AC$，$BC = BD$，则$∠ ACB$的度数为 
。
。答案
10 100° $\because AC = AE, BC = BD,\therefore$ 设$∠ AEC = ∠ ACE = x°,$$∠ BDC = ∠ BCD = y°,\therefore ∠ A = 180° - 2x°, ∠ B = 180° - 2y°.$
$\because ∠ ACB + ∠ A + ∠ B = 180°, ∠ BDC + ∠ AEC + ∠ DCE = 180°,$$\therefore ∠ ACB + (180° - 2x°) + (180° - 2y°) = 180°, y° + x° + ∠ DCE = 180°,$$\therefore ∠ ACB + 360° - 2(x° + y°) = 180°, x° + y° = 180° - ∠ DCE, \therefore ∠ ACB + 360° - 2(180° - ∠ DCE) = 180°,$$\therefore ∠ ACB = 180° - 2∠ DCE = 180° - 2 × 40° = 100°.$
$\because ∠ ACB + ∠ A + ∠ B = 180°, ∠ BDC + ∠ AEC + ∠ DCE = 180°,$$\therefore ∠ ACB + (180° - 2x°) + (180° - 2y°) = 180°, y° + x° + ∠ DCE = 180°,$$\therefore ∠ ACB + 360° - 2(x° + y°) = 180°, x° + y° = 180° - ∠ DCE, \therefore ∠ ACB + 360° - 2(180° - ∠ DCE) = 180°,$$\therefore ∠ ACB = 180° - 2∠ DCE = 180° - 2 × 40° = 100°.$
解析
【分析】
首先观察题目给出的边相等条件：AE=AC、BC=BD，可得到两个等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，能得到两组相等的底角，我们可设这两个底角分别为x°和y°；接下来分别在△ABC、△DCE中运用三角形内角和定理，列出包含∠ACB、x、y以及已知∠DCE的两个等式，最后通过代入消去x和y，就能推导出∠ACB与∠DCE的数量关系，代入数值计算即可得出结果。
【解析】
解：
∵$AC = AE$，$BC = BD$，
∴设$∠AEC = ∠ACE = x°$，$∠BDC = ∠BCD = y°$。
根据三角形内角和定理，可得：
在$△ ACE$中，$∠A = 180° - 2x°$，
在$△ BCD$中，$∠B = 180° - 2y°$。
在$△ ABC$中，$∠ACB + ∠A + ∠B = 180°$，
将$∠A$、$∠B$代入上式得：
$∠ACB + (180° - 2x°) + (180° - 2y°) = 180°$，
整理得：$∠ACB + 360° - 2(x + y)° = 180°$ ①。
在$△ DCE$中，$∠BDC + ∠AEC + ∠DCE = 180°$，
代入$∠DCE=40°$得：$x° + y° + 40° = 180°$，即$x + y = 140$ ②。
将②代入①得：
$∠ACB + 360° - 2×140° = 180°$，
计算得$∠ACB = 100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算类的常规题型，解题核心是利用等腰三角形等边对等角的性质转化边的条件为角的关系，再结合三角形内角和定理通过设参、消参的方法求出未知角，掌握几何中设参数简化角度关系的技巧能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.65
首先观察题目给出的边相等条件：AE=AC、BC=BD，可得到两个等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，能得到两组相等的底角，我们可设这两个底角分别为x°和y°；接下来分别在△ABC、△DCE中运用三角形内角和定理，列出包含∠ACB、x、y以及已知∠DCE的两个等式，最后通过代入消去x和y，就能推导出∠ACB与∠DCE的数量关系，代入数值计算即可得出结果。
【解析】
解：
∵$AC = AE$，$BC = BD$，
∴设$∠AEC = ∠ACE = x°$，$∠BDC = ∠BCD = y°$。
根据三角形内角和定理，可得：
在$△ ACE$中，$∠A = 180° - 2x°$，
在$△ BCD$中，$∠B = 180° - 2y°$。
在$△ ABC$中，$∠ACB + ∠A + ∠B = 180°$，
将$∠A$、$∠B$代入上式得：
$∠ACB + (180° - 2x°) + (180° - 2y°) = 180°$，
整理得：$∠ACB + 360° - 2(x + y)° = 180°$ ①。
在$△ DCE$中，$∠BDC + ∠AEC + ∠DCE = 180°$，
代入$∠DCE=40°$得：$x° + y° + 40° = 180°$，即$x + y = 140$ ②。
将②代入①得：
$∠ACB + 360° - 2×140° = 180°$，
计算得$∠ACB = 100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算类的常规题型，解题核心是利用等腰三角形等边对等角的性质转化边的条件为角的关系，再结合三角形内角和定理通过设参、消参的方法求出未知角，掌握几何中设参数简化角度关系的技巧能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.65
11. ▶推理能力 如图，$A_1,A_2,A_3$是$∠ MON$的$ON$边上三个不同的点，$B_1,B_2,B_3$是$OM$边上三个不同的点，且$OA_1 = A_1B_1 = B_1A_2 = A_2B_2 = B_2A_3$.
(1)当$∠ MB_1A_2 = 45°$时，$∠ MON =$
(2)若$OM$边上不存在点$B_3$，使得$A_3B_3 = B_2A_3$，则$∠ MON$的最小值是
(1)当$∠ MB_1A_2 = 45°$时，$∠ MON =$
15°
;(2)若$OM$边上不存在点$B_3$，使得$A_3B_3 = B_2A_3$，则$∠ MON$的最小值是
18°
.答案
11 (1)$15°$;(2)$18°$ (1)如图,$\because OA_1 = A_1B_1 = B_1A_2,\therefore ∠ 1 = ∠ 2,∠ 3 = ∠ 4.$ 又$\because ∠ 3 = ∠ 1 + ∠ 2,\therefore ∠ 4 = ∠ 3 = 2∠ 1. \because ∠ 5 = ∠ 1 + ∠ 4 = 45°,$$\therefore ∠ 1 + 2∠ 1 = 45°,$解得$∠ 1 = 15°,$即$∠ MON = 15°.$ (2)若 $OM$ 边上不存在 $B_3$ 点,使得 $A_3B_3 = B_2A_3,$则$∠ A_3B_2M ≥ 90°. \because B_1A_2 = A_2B_2 = B_2A_3,\therefore ∠ 5 = ∠ 6, ∠ 7 = ∠ 8,$$\therefore ∠ 8 = ∠ 7 = ∠ 1 + ∠ 6 = ∠ 1 + ∠ 5 = ∠ 1 + (∠ 1 + ∠ 4) = 4∠ 1, \therefore ∠ A_3B_2M = ∠ 1 + ∠ 8 = 5∠ 1 ≥ 90°,$$\therefore ∠ 1 ≥ 18°,$$\therefore ∠ MON$的最小值是 $18°.$
解析
【分析】
(1) 题干给出多组相等线段，可结合等腰三角形“等边对等角”的性质，将图中相关角用∠MON表示，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，结合已知∠MB₁A₂=45°建立方程，即可求出∠MON的度数。
(2) 若OM边上不存在点B₃使得A₃B₃=B₂A₃，说明以B₂A₃为腰构造等腰三角形时，底角∠A₃B₂M≥90°，此时无法在OM上找到符合要求的点B₃。同样借助等腰三角形性质和外角性质，将∠A₃B₂M用∠MON表示，建立不等式即可求出∠MON的最小值。
【解析】
(1) 设∠MON=∠1，
$\because OA_1 = A_1B_1 = B_1A_2$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ 2,∠ 3 = ∠ 4$（等腰三角形等边对等角），
$\because ∠3$是$△ OA_1B_1$的外角，$\therefore ∠ 3 = ∠ 1 + ∠ 2=2∠1$，即$∠4=2∠1$，
又$\because ∠MB_1A_2=∠ 5 = ∠ 1 + ∠ 4 = 45°$（三角形外角性质），
代入得$∠1+2∠1=45°$，解得$∠1=15°$。
(2) 若OM边上不存在点$B_3$，使得$A_3B_3 = B_2A_3$，则$∠ A_3B_2M ≥ 90°$，
$\because B_1A_2 = A_2B_2 = B_2A_3$，
$\therefore ∠ 5 = ∠ 6, ∠ 7 = ∠ 8$（等腰三角形等边对等角），
由外角性质可得：$∠6=∠5=∠1+∠4=3∠1$，$∠7=∠1+∠6=4∠1$，即$∠8=4∠1$，
$\therefore ∠ A_3B_2M = ∠ 1 + ∠ 8 = 5∠ 1$，
根据题意得$5∠1≥90°$，解得$∠1≥18°$。
【答案】
(1) $\boxed{15°}$；(2) $\boxed{18°}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角度推理计算
【点评】
本题属于几何规律探究类题型，核心是利用等腰三角形和三角形外角的性质推导角度之间的递推关系，将所求角设为未知数建立方程或不等式即可求解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 题干给出多组相等线段，可结合等腰三角形“等边对等角”的性质，将图中相关角用∠MON表示，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，结合已知∠MB₁A₂=45°建立方程，即可求出∠MON的度数。
(2) 若OM边上不存在点B₃使得A₃B₃=B₂A₃，说明以B₂A₃为腰构造等腰三角形时，底角∠A₃B₂M≥90°，此时无法在OM上找到符合要求的点B₃。同样借助等腰三角形性质和外角性质，将∠A₃B₂M用∠MON表示，建立不等式即可求出∠MON的最小值。
【解析】
(1) 设∠MON=∠1，
$\because OA_1 = A_1B_1 = B_1A_2$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ 2,∠ 3 = ∠ 4$（等腰三角形等边对等角），
$\because ∠3$是$△ OA_1B_1$的外角，$\therefore ∠ 3 = ∠ 1 + ∠ 2=2∠1$，即$∠4=2∠1$，
又$\because ∠MB_1A_2=∠ 5 = ∠ 1 + ∠ 4 = 45°$（三角形外角性质），
代入得$∠1+2∠1=45°$，解得$∠1=15°$。
(2) 若OM边上不存在点$B_3$，使得$A_3B_3 = B_2A_3$，则$∠ A_3B_2M ≥ 90°$，
$\because B_1A_2 = A_2B_2 = B_2A_3$，
$\therefore ∠ 5 = ∠ 6, ∠ 7 = ∠ 8$（等腰三角形等边对等角），
由外角性质可得：$∠6=∠5=∠1+∠4=3∠1$，$∠7=∠1+∠6=4∠1$，即$∠8=4∠1$，
$\therefore ∠ A_3B_2M = ∠ 1 + ∠ 8 = 5∠ 1$，
根据题意得$5∠1≥90°$，解得$∠1≥18°$。
【答案】
(1) $\boxed{15°}$；(2) $\boxed{18°}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角度推理计算
【点评】
本题属于几何规律探究类题型，核心是利用等腰三角形和三角形外角的性质推导角度之间的递推关系，将所求角设为未知数建立方程或不等式即可求解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
