2. 在一次由AlphaGo(一款围棋人工智能程序)参与的围棋比赛中,每位选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分,无平局.四位同学分别统计了全部选手的得分总数,结果分别是210,212,208,214,经过仔细验算后发现这四位同学计算结果中只有一个数据是正确的,则正确的数据为 ()

A.208
B.210
C.212
D.214

B

3. 在平面上任意画4个点，那么这4个点确定的直线共有 （）

A.1条或4条
B.1条或6条
C.4条或6条
D.1条或4条或6条

D

4. (1) $n$边形($n＞3$)其中一个顶点的对角线有________条；
(2) 一个凸多边形共有14条对角线,它是几边形？
(3) 是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在,它是几边形？如果不存在,说明理由.

(1) $(n-3)$
(2) 设它是 $n$ 边形,则 $\frac{n(n-3)}{2}=14$,即 $n^2-3n-28=0$,解得 $n_1=7,n_2=-4$(不合题意,舍去),$\therefore$ 它是七边形.
(3) 不存在 理由:如果存在,它是 $n$ 边形,则 $\frac{n(n-3)}{2}=21$,即 $n^2-3n-42=0$,解得 $n=\frac{3\pm\sqrt{177}}{2}$,$\because$ 解得的 $n$ 不为正整数,$\therefore$ 不存在.

5. (1) 规律探究
平面内有 $ n $ 个点($ n ≥ 2 $)且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？已知平面内有2个点时，可以画1条直线；平面内有3个点时，可画3条直线；平面内有4个点时，可画条直线；平面内有5个点时，可画条直线……则平面内有 $ n $ 个点时，可画条直线。
(2) 知识迁移
元旦晚会上，某班有 $ n $ 位同学两两握手(每两人只握一次手)，一共要握次手，若共握了55次手，则有人参加了此次握手活动。
(3) 问题解决
2025年某省举行城市足球联赛，将11支球队分成南区和北区两个小组，小组内实行双循环赛制(每两支球队之间进行主、客场两场比赛)。比赛规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。已知九江队分在北区小组(共5支球队)，在小组赛中总共负了1场，最终获得15分。
① 本联赛北区小组赛共有场比赛，九江队进行了场小组赛；
② 求九江队在北区小组赛中获胜的场数。

(1) 通过规律探究可知:平面内有 4 个点时,一共可画直线的条数为 $\frac{4×3}{2}=6$(条);平面内有 5 个点时,一共可画直线的条数为 $\frac{5×4}{2}=10$(条);……平面上有 $n$ 个点时,一共可画直线的条数为 $\frac{n(n-1)}{2}$.
(2) 两两握手的规律与点的数量与直线数的规律是一样的,$n$ 位同学两两握手(每两人只握一次手),一共要握 $\frac{n(n-1)}{2}$ 次手,$\frac{n(n-1)}{2}=55$,解得 $n_1=11,n_2=-10$(不合题意,舍去),所以若共握了 55 次手,则有 11 人参加了此次握手活动.
(3) ① 北区有 5 支球队,实行双循环赛制(每两支球队之间进行主、客场两场比赛),把每支球队看作一个点,由(1)中规律可知:单循环赛制有 $\frac{5×4}{2}=10$(场)比赛,因为是双循环赛制,所以共有 20 场比赛;九江队要和北区除自己之外的 4 支球队比赛,每两支球队之间进行主、客场两场比赛,所以九江队进行的小组赛场数为 $4×2=8$(场)比赛.
② 解:设九江队在北区小组赛中获胜的场数为 $x$ 场,根据题意,得 $3x+(8-1-x)×1+1×0=15$,解得 $x=4$,所以九江队在北区小组赛中获胜了 4 场.