18.如图,在正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BH⊥AE,垂足为H,延长BH交CD于点F,连接AF.
(1)求证:AE=BF;
(2)若正方形的边长是5,BE=2,求AF的长.

18.(1)证明: $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore AB=BC$,$∠ ABE=∠ BCF=90°$,
$\therefore ∠ BAE+∠ AEB=90°$.
$\because BH⊥ AE$,$\therefore ∠ BHE=90°$,
$\therefore ∠ AEB+∠ EBH=90°$,
$\therefore ∠ BAE=∠ EBH$.
在 $△ ABE$ 和 $△ BCF$ 中,
$\begin{cases}∠ BAE=∠ CBF,\\AB=BC,\\∠ ABE=∠ BCF,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ BCF(\mathrm{ASA})$,$\therefore AE=BF$.
(2)解: $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore ∠ ADF=90°$,$AD=CD=5$,
由(1)得 $△ ABE≌△ BCF$,$\therefore CF=BE=2$,
$\therefore DF=5-2=3$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADF$ 中, 由勾股定理, 得 $AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$.

19.如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,
$CE// BD,EB// AC$,连接OE,交BC于
点F.
(1)求证:四边形OBEC为矩形;
(2)如果$OC:OB=1:2,OE=2\sqrt{5}$,求菱形
ABCD的面积.

19.(1)证明: $\because CE// BD$,$EB// AC$,
$\therefore$ 四边形 $OBEC$ 为平行四边形.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为菱形,$\therefore AC⊥ BD$,
$\therefore ∠ BOC=90°$,$\therefore$ 四边形 $OBEC$ 为矩形.
(2)解: 由(1)得四边形 $OBEC$ 为矩形,
$\therefore OE=BC=2\sqrt{5}$.
$\because OC:OB=1:2$,设 $OC=x$,则 $OB=2x$.
在 $\mathrm{Rt}△ OBC$ 中,$BC^2=OC^2+OB^2$,
即 $(2\sqrt{5})^2=x^2+(2x)^2$, 解得 $x=2$(负值舍去),
$\therefore OC=2$,$OB=4$,
$\therefore AC=2OC=4$,$BD=2OB=8$,
$\therefore S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×4×8=16$.