15 若∠α与∠β互为余角，且∠α=33°7′8″，则∠β的补角的度数为。

15. $123°7'8''$

【分析】
解题时首先明确两个核心概念：互为余角的两个角度数和为90°，互为补角的两个角度数和为180°。我们可以通过推导简化计算步骤，避免多次进行度分秒的减法运算：先根据余角关系得到∠β=90°-∠α，再代入补角公式，可推导出∠β的补角=90°+∠α，直接代入已知∠α的数值计算即可，运算更简便、出错率更低。
【解析】
解：
∵ ∠α与∠β互为余角
∴ ∠α + ∠β = 90°，即∠β = 90° - ∠α
根据补角定义，∠β的补角 = 180° - ∠β
将∠β = 90° - ∠α代入上式可得：
∠β的补角 = 180° - (90° - ∠α) = 90° + ∠α
将∠α=33°7′8″代入计算：
90° + 33°7′8″ = 123°7′8″
【答案】
$123°7'8''$
【知识点】
余角的定义，补角的定义，度分秒的运算
【点评】
本题是角度运算基础题，重点考查余角、补角的基本性质，解题时可通过公式推导简化运算步骤，降低度分秒计算的出错概率，注意度、分、秒为60进制。
【难度系数】
0.8

16 如图所示为由6个相同的正方体组成的立体图形，试分别画出从前面、左面、上面看它得到的平面图形。

16. 如图所示

【分析】
要画出立体图形的三视图，首先明确三个观察方向：从前面看即正对着立体图形观察，从左面看即站在立体图形左侧向右观察，从上面看即站在立体图形顶部向下观察。观察时分层统计小正方形的数量和位置，只画能看到的部分，被遮挡的部分无需画出，再按照对应位置组合即可得到平面图形。
【解析】
1. 绘制从前面看的图形：分层观察，下层可看到2个横向排列的小正方形，上层在左侧位置有1个小正方形，按对应位置拼接即可。
2. 绘制从左面看的图形：分层观察，下层可看到3个横向排列的小正方形，上层在最左侧位置有1个小正方形，按对应位置拼接即可。
3. 绘制从上面看的图形：分列观察，左列有3个竖向排列的小正方形，右列在上部有2个小正方形，分别和左列的上两个小正方形对齐，按对应位置拼接即可。
【答案】
如图所示
【知识点】
几何体的三视图、三视图的画法
【点评】
本题考查立体图形三视图的绘制，解题核心是明确不同方向的观察角度，准确判断可见小正方形的数量与分布，是锻炼空间想象能力的基础题型。
【难度系数】
0.8

17 如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它的南偏东$60°$方向上,同时,在它的北偏西$30°$方向上发现了客轮B,西北方向上又发现了海岛C.
(1) 仿照表示灯塔A方向的方法,在图中画出表示客轮B和海岛C方向的射线;
(2) 求$∠ BOC$和$∠ AOB$的度数.

17. (1) 如图所示 (2) 由题意，得$∠AOD=60°$，$∠COF=45°$，$∠BOF=30°$，所以$∠BOC=∠COF - ∠BOF=45°-30°=15°$. 因为$∠AOE=90°-∠AOD=90°-60°=30°$，所以$∠AOB=∠BOF+∠FOE+∠AOE=30°+90°+30°=150°$

【分析】
解决本题首先要明确方向角的定义：方向角一般是以观测者位置为中心，以正北或正南方向为始边旋转到目标方向线的角度。(1)画射线时，客轮B在北偏西30°方向，即以正北射线为始边，向西旋转30°画出终边OB；海岛C在西北方向，也就是北偏西45°，同理以正北射线为始边向西旋转45°画出终边OC即可。(2)求角度时，先把题目给出的方向对应转化为已知角的度数，再观察所求角和已知角的和差关系，代入计算即可。
【解析】
(1) 画图步骤：
① 画客轮B的方向射线：以点O为顶点，正北方向射线OF为始边，向西作30°的角，终边即为表示客轮B方向的射线OB；
② 画海岛C的方向射线：以点O为顶点，正北方向射线OF为始边，向西作45°的角，终边即为表示海岛C方向的射线OC。
(2) 角度计算：
由题意可知：∠AOD=60°（灯塔A在南偏东60°），∠BOF=30°（客轮B在北偏西30°），西北方向即北偏西45°，故∠COF=45°。
求∠BOC：观察图形可得∠BOC = ∠COF - ∠BOF，代入数值得∠BOC = 45° - 30° = 15°。
求∠AOB：首先，正东与正南方向夹角为90°，故∠AOE = 90° - ∠AOD = 90° - 60° = 30°；正北与正东方向夹角为90°即∠FOE=90°，因此∠AOB = ∠BOF + ∠FOE + ∠AOE = 30° + 90° + 30° = 150°。
【答案】
(1) 如图所示
(2) ∠BOC=15°，∠AOB=150°
【知识点】
方向角的识别，角的和差计算，直角的性质
【点评】
本题重点考查方向角的相关应用，解题的核心是准确理解不同方位描述对应的角度大小，结合图形理清角之间的和差关系即可顺利求解，掌握方向角的表示规则是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.8

18 已知$∠ AOB$与$∠ COD$共顶点$O$，$∠ AOB=α$，$∠ COD=β$.
(1) 如图①，点$A$，$O$，$C$在一条直线上.若$α=60°$，$β=30°$，$OM$为$∠ AOD$的平分线，$ON$为$∠ COB$的平分线，求$∠ MON$的度数.
(2) 若$α=2β$，$∠ AOB$，$∠ COD$绕点$O$运动到如图②所示的位置，$OE$为$∠ BOD$的平分线，用等式表示$∠ AOD$与$∠ COE$之间的数量关系，并说明理由.

18. (1) 因为$∠COD = 30°$，所以$∠AOD = 180° - ∠COD = 180°-30°=150°$. 因为OM为$∠AOD$的平分线，所以$∠AOM=\dfrac{1}{2}∠AOD=75°$. 因为$∠AOB = 60°$，所以$∠COB = 180° - ∠AOB=180°-60°=120°$. 因为ON为$∠COB$的平分线，所以$∠CON=\dfrac{1}{2}∠COB=60°$. 所以$∠MON=180°-∠AOM-∠CON=180°-75°-60°=45°$
(2) $∠AOD=2∠COE$ 理由:因为OE为$∠BOD$的平分线，所以$∠DOE=\dfrac{1}{2}∠BOD$. 因为$∠BOD=∠AOB+∠AOD=∠AOB+∠COD-∠AOC=α+β-∠AOC=2β+β-∠AOC=3β-∠AOC$，所以$∠DOE=\dfrac{3}{2}β - \dfrac{1}{2}∠AOC$. 所以$∠COE=∠DOE - ∠COD=\dfrac{3}{2}β - \dfrac{1}{2}∠AOC - β=\dfrac{1}{2}(β - ∠AOC)$. 因为$∠AOD=∠BOD - ∠AOB=3β - ∠AOC - 2β=β - ∠AOC$，所以$∠AOD=2∠COE$

【分析】
(1) 首先利用点A、O、C共线得到平角∠AOC=180°，结合已知的∠COD、∠AOB的度数，先求出∠AOD和∠COB的度数；再根据角平分线的定义，计算出两个角被平分后得到的∠AOM和∠CON的度数；最后用平角180°减去∠AOM与∠CON的和，即可求出∠MON的度数。
(2) 要推导∠AOD和∠COE的数量关系，先根据角平分线的定义得到∠DOE和∠BOD的关系；再将∠BOD用已知的α、β和公共角∠AOC表示，结合α=2β的条件，分别整理出∠COE和∠AOD的表达式，对比两个表达式即可得到两者的倍数关系。
【解析】
(1)
∵点A，O，C在一条直线上，
∴∠AOC=180°
∵∠COD = 30°，
∴∠AOD = 180° - ∠COD = 180°-30°=150°
∵OM为∠AOD的平分线，
∴∠AOM=$\dfrac{1}{2}$∠AOD=75°
∵∠AOB = 60°，
∴∠COB = 180° - ∠AOB=180°-60°=120°
∵ON为∠COB的平分线，
∴∠CON=$\dfrac{1}{2}$∠COB=60°
∴∠MON=180°-∠AOM-∠CON=180°-75°-60°=45°
(2) $\boldsymbol{∠AOD=2∠COE}$，理由如下：
∵OE为∠BOD的平分线，
∴∠DOE=$\dfrac{1}{2}$∠BOD
∵∠BOD=∠AOB+∠COD-∠AOC=α+β-∠AOC，且α=2β
∴∠BOD=2β+β-∠AOC=3β-∠AOC
∴∠DOE=$\dfrac{3}{2}β - \dfrac{1}{2}∠AOC$
∴∠COE=∠DOE - ∠COD=$\dfrac{3}{2}β - \dfrac{1}{2}∠AOC - β=\dfrac{1}{2}(β - ∠AOC)$
又
∵∠AOD=∠BOD - ∠AOB=3β - ∠AOC - 2β=β - ∠AOC
∴∠AOD=2∠COE
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$；(2) $\boldsymbol{∠AOD=2∠COE}$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 平角的性质
3. 角的和差计算
【点评】
本题属于角的计算常规题型，第一问基础易得分，直接结合平角和角平分线的性质即可求解；第二问需要准确识别图形中角的组成关系，合理利用已知的倍数条件代换推导，能有效考查角度关系的分析与推导能力。
【难度系数】
0.7

19 在直线$l$上，线段$AB=6$，线段$CD=2$(点$A$在点$B$的左侧，点$C$在点$D$的左侧)。
(1)如果线段$BC=1$，那么线段$AD=$。
(2)如图①，$P$，$Q$分别为$AD$，$BC$的中点，求线段$PQ$的长。
(3)如图②，线段$CD$从点$B$开始(点$C$开始时在点$B$处)以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点$M$从点$A$开始以每秒2个单位长度的速度向右运动，$N$是线段$BD$的中点。若$MN=2DN$，求线段$CD$运动的时间。

19. (1) 7或9
(2) 设$BC=x$，则$AD=AB+BC+CD=8+x$. 因为P，Q分别为AD，BC的中点，所以$PD=\dfrac{1}{2}AD=4 + \dfrac{1}{2}x$，$CQ=\dfrac{1}{2}x$. 所以$PQ=PD - CD - CQ=4 + \dfrac{1}{2}x - 2 - \dfrac{1}{2}x=2$
(3) 设线段CD运动的时间为t秒，则$AM=2t$，$BC=t$. 所以$BM=AB - AM=6 - 2t$ 或 $BM=AM - AB=2t - 6$，$BD=BC + CD=t + 2$. 因为N是线段BD的中点，所以$DN=BN=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}t + 1$. 因为$MN=2DN$，所以$6 - 2t + \dfrac{1}{2}t + 1=2(\dfrac{1}{2}t + 1)$或$(2t - 6) - (\dfrac{1}{2}t + 1)=2(\dfrac{1}{2}t + 1)$，解得$t=2$或$t=18$. 所以线段CD运动的时间为2秒或18秒

【分析】
(1) 本题需分类讨论点C的位置：①点C在点B右侧，线段顺序为A-B-C-D；②点C在点B左侧，结合CD=2可推出D在B右侧，分别按线段和差计算AD即可。
(2) 设BC长度为x，先表示出AD的总长度，再根据线段中点的性质分别求出PD、CQ的长度，最后通过线段和差关系计算PQ，计算过程中x可消去得到定值。
(3) 设运动时间为t秒，先根据运动速度表示出AM、BC的长度，再分点M在点B左侧、点M在点B右侧两种情况，结合N是BD中点得到DN的长度，根据MN=2DN列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 分两种情况计算：
①当点C在点B右侧时，$AD=AB+BC+CD=6+1+2=9$；
②当点C在点B左侧时，由$BC=1$、$CD=2$得$BD=CD-BC=1$，故$AD=AB+BD=6+1=7$。
综上，线段AD为7或9。
(2) 设$BC=x$，则$AD=AB+BC+CD=6+x+2=8+x$。
∵P是AD的中点，
∴$PD=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}(8+x)=4+\dfrac{1}{2}x$；
∵Q是BC的中点，
∴$CQ=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}x$；
∴$PQ=PD-CD-CQ=4+\dfrac{1}{2}x - 2 - \dfrac{1}{2}x=2$。
(3) 设线段CD运动的时间为t秒，由题意得：$AM=2t$，$BC=t$。
$BD=BC+CD=t+2$，
∵N是BD的中点，
∴$DN=BN=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}t+1$。
分两种情况列方程：
①当点M在点B左侧时，$BM=AB-AM=6-2t$，
$MN=BM+BN=6-2t+\dfrac{1}{2}t+1$，
代入$MN=2DN$得：$6-2t+\dfrac{1}{2}t+1=2(\dfrac{1}{2}t+1)$，解得$t=2$；
②当点M在点B右侧时，$BM=AM-AB=2t-6$，
$MN=BM-BN=2t-6-(\dfrac{1}{2}t+1)$，
代入$MN=2DN$得：$2t-6-(\dfrac{1}{2}t+1)=2(\dfrac{1}{2}t+1)$，解得$t=18$。
综上，线段CD运动的时间为2秒或18秒。
【答案】
(1) $\boxed{7}$或$\boxed{9}$；(2) $\boxed{2}$；(3) $\boxed{2}$秒或$\boxed{18}$秒
【知识点】
线段和差计算，线段中点性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题围绕线段的计算展开，渗透了分类讨论的数学思想，尤其是动点问题需要结合运动过程分析点的位置关系，能有效考查学生对线段相关性质的掌握程度和分析、解决问题的能力。
【难度系数】
0.6