【例】(2024·遵义期中)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,AD是$∠ BAC$的平分线,$DE⊥ AB$于E,F在AC上,$BD=DF$,求证:
(1)$CF=EB$;
(2)$AB=AF+2EB$.

1.
∵ AD 是 ∠BAC 的平分线, DE⊥AB, DC⊥AC,
∴ DE = DC. 在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中, $\begin{cases} DF=BD, \\ DC=DE, \end{cases}$
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).
∴ CF=EB;
2. 在 Rt△ADC 与 Rt△ADE 中, $\begin{cases} CD=DE, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴ Rt△ADC≌Rt△ADE(HL).
∴ AC=AE.
∴ AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.

【分析】
(1) 要证CF=EB，可先证明两条线段所在的Rt△CDF与Rt△EDB全等。首先根据角平分线的性质，由AD是∠BAC的平分线、DC⊥AC、DE⊥AB，可得DC=DE，结合已知BD=DF，满足直角三角形全等的HL判定条件，证明两三角形全等即可得对应边CF=EB。
(2) 要证AB=AF+2EB，先将AB拆分为AE+BE，只需证明AE=AF+EB即可。先通过HL证明Rt△ADC≌Rt△ADE，得到AC=AE，再将AC替换为AF+CF，结合(1)中已证CF=EB，代入整理即可得到待证的线段关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB，
∴ DE = DC（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△CDF和Rt△EDB中：
$\begin{cases} DF=BD \\ DC=DE \end{cases}$
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴ CF=EB。
(2) 证明：
在Rt△ADC和Rt△ADE中：
$\begin{cases} CD=DE \\ AD=AD \end{cases}$
∴ Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴ AC=AE。
∵ AB=AE+BE，且AC=AF+CF，结合(1)的结论CF=EB，
∴ AB=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB。
【答案】
(1) CF=EB，得证；
(2) AB=AF+2EB，得证。
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定（HL）；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形与角平分线性质结合的基础应用题，解题核心是通过角平分线得到相等的垂线段，结合已知的边相等条件证明三角形全等，再利用全等三角形对应边相等转化线段关系，推导得到最终结论。
【难度系数】
0.7

1. 已知图中的两个三角形全等，则$∠ α$的度数是（）

A.$72°$
B.$60°$
C.$58°$
D.$50°$

1. A

【分析】
解题时先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等。首先观察两个三角形的边，可知两个三角形的三条边分别对应相等，满足SSS全等判定。接下来确定∠α的对应角：∠α是第二个三角形中边b与边c的夹角，找到第一个三角形中边b与边c的夹角，即可根据对应角相等的性质得到∠α的度数。
【解析】
已知图中两个三角形全等，两个三角形的三条边分别为a、b、c，三边对应相等。
观察角的对应关系：第一个三角形中边b和边c的夹角为72°，第二个三角形中边b和边c的夹角为∠α，二者是全等三角形的对应角。
根据全等三角形对应角相等的性质，可得∠α=72°。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的性质；全等三角形SSS判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查全等三角形对应角相等的应用，解题的关键是准确匹配对应边的夹角，避免混淆对应角出现错误。
【难度系数】
0.9

2.如图，点E、点F在BC上，$BE=CF$，$∠ B=∠ C$，添加一个条件，不能证明$△ ABF ≌ △ DCE$的是（）

A.$∠ A=∠ D$
B.$∠ AFB=∠ DEC$
C.$AB=DC$
D.$AF=DE$

2. D

【分析】
首先从已知条件推导可直接得到的全等条件：已知BE=CF，根据等式的性质，两边同时加EF可得BF=CE，又已知∠B=∠C，此时△ABF和△DCE已经具备一组对应边相等、一组对应角相等。接下来将各选项的条件结合已有条件，对照全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS）逐一判断，注意SSA无法判定三角形全等，即可找到不能证明全等的选项。
【解析】
解：
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
又已知∠B=∠C，现有条件为：BF=CE，∠B=∠C。
对各选项逐一分析：
A. 若添加∠A=∠D，结合已有条件，满足AAS（角角边）判定定理，可证明△ABF≌△DCE，不符合题意；
B. 若添加∠AFB=∠DEC，结合已有条件，满足ASA（角边角）判定定理，可证明△ABF≌△DCE，不符合题意；
C. 若添加AB=DC，结合已有条件，满足SAS（边角边）判定定理，可证明△ABF≌△DCE，不符合题意；
D. 若添加AF=DE，此时条件为两边及其中一边的对角对应相等（SSA），没有对应的全等判定定理，不能证明△ABF≌△DCE，符合题意。
故选D。
【答案】D
【知识点】
全等三角形的判定、等式的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用类题目，解题的关键是先根据线段和的关系得到相等的对应边，再结合各选项条件对照判定定理判断，要牢记SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免混淆。
【难度系数】
0.8

3. 如图，$AB// CF$，E为DF的中点，若$AB=7\ \mathrm{cm}$，$CF=5\ \mathrm{cm}$，则BD是（）

A.2 cm
B.2.5 cm
C.3 cm
D.3.5 cm

3. A

【分析】
解题时先利用平行线的性质得到一组内错角相等，结合E是DF中点得到一组边相等，再搭配对顶角相等，可证明△ADE和△CFE全等，利用全等三角形对应边相等得到AD的长度，最后用AB的长度减去AD的长度即可求出BD的长。
【解析】
解：$\because AB// CF$，
$\therefore ∠ ADE=∠ F$（两直线平行，内错角相等），
$\because E$为$DF$的中点，
$\therefore DE=FE$，
在$△ ADE$和$△ CFE$中：
$\begin{cases}∠ ADE=∠ F \\DE=FE \\∠ AED=∠ CEF\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CFE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AD=CF=5\ \mathrm{cm}$，
又$\because AB=7\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BD=AB-AD=7-5=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是通过平行线、中点、对顶角的条件构造全等三角形，实现未知线段和已知线段的长度转化，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.8

4.【新中考·条件开放】如图,已知$∠1=∠2$,$AC=AE$,不添加任何辅助线,再添加一个合适的条件：，使$△ ABC≌△ ADE$.

4. AB=AD(答案不唯一)

【分析】
首先从已知条件∠1=∠2出发，利用角的和差关系可以推导出△ABC和△ADE的一组对应角∠BAC=∠DAE，再结合已知的一组对应边相等AC=AE，回忆全等三角形的判定定理，补充缺少的对应相等的边或角，即可满足两个三角形全等的条件。
【解析】
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，
现有已知条件：$∠ BAC=∠ DAE$，$AC=AE$。
若添加条件$AB=AD$：
在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}AB=AD \\∠ BAC=∠ DAE \\AC=AE\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ ADE$（SAS）。
（注：也可添加$∠ C=∠ E$用ASA判定、添加$∠ B=∠ D$用AAS判定，均符合要求）
【答案】
AB=AD（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的判定；角的和差运算
【点评】
本题属于条件开放类题型，核心考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题时需要先挖掘出题目隐含的等角条件，再结合判定定理补充对应条件，注意不能使用“SSA”这类不符合全等判定的条件。
【难度系数】
0.7

5.(中考·重庆)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,点$D$为$BC$上一点,连接$AD$.过点$B$作$BE⊥ AD$于点$E$,过点$C$作$CF⊥ AD$交$AD$的延长线于点$F$.若$BE=4$,$CF=1$,则$EF$的长度为.

5. 3

【分析】
首先根据已知的垂直关系可得两个直角，再结合∠BAC=90°，利用同角的余角相等推出一组相等的角，结合AB=AC的条件，可证明△ABE和△CAF全等，再通过全等三角形对应边相等的性质得到相关线段的长度，最后根据线段的和差关系即可求出EF的长度。
【解析】
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠F=90°，
∴在Rt△ABE中，∠ABE + ∠BAE=90°，
又
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE + ∠CAF=90°，
∴∠ABE=∠CAF（同角的余角相等）。
在△ABE和△CAF中：
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠F \\∠ABE=∠CAF \\AB=AC\end{array} $
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AF=BE=4，AE=CF=1，
∴EF=AF - AE=4 - 1=3。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定与性质；同角的余角相等；线段和差计算
【点评】
本题是“一线三垂直”模型的典型应用，解题的核心是通过角的互余关系推导等角，进而证明三角形全等，将未知线段转化为已知线段进行计算，是全等三角形综合应用的常见考法。
【难度系数】
0.7

6. △ABC 在平面直角坐标系中如图所示，AC=BC，∠ACB=90°，A(0,3)，C(1,0)，则点B的坐标为。

6. (4,1)

【分析】
要求点B的坐标，需先求出点B到x轴、y轴的距离。已知∠ACB=90°且AC=BC，我们可以过点B作BD⊥x轴于D，构造全等三角形求解：首先利用同角的余角相等证明∠OAC=∠BCD，再结合两个直角和AC=BC的条件，用AAS判定△AOC≌△CDB，得到对应边相等后，结合已知A、C的坐标计算对应线段长度，即可推出点B的坐标。
【解析】
过点B作BD⊥x轴，垂足为D，如下图：
则$∠ AOC=∠ CDB=∠ ACB=90°$
$\because ∠ OAC+∠ ACO=90°$，$∠ BCD+∠ ACO=90°$
$\therefore ∠ OAC=∠ BCD$
在$△ AOC$和$△ CDB$中：
$\begin{cases}∠ AOC=∠ CDB \\∠ OAC=∠ BCD \\AC=BC\end{cases}$
$\therefore △ AOC ≌ △ CDB \ (\mathrm{AAS})$
$\because A(0,3)$，$C(1,0)$
$\therefore OA=3$，$OC=1$
由全等三角形对应边相等可得：$CD=OA=3$，$BD=OC=1$
$\therefore OD=OC+CD=1+3=4$
$\because$点B在第一象限，$\therefore$点B的坐标为$(4,1)$
【答案】
$(4,1)$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质
【点评】
本题是平面直角坐标系和全等三角形结合的典型题型，作垂线构造全等三角形是解题的突破口，能有效考查学生对全等三角形的应用能力，以及坐标与线段长度互相转换的掌握程度。
【难度系数】
0.7

7. 如图，$AD // BC$，$∠ BAD = 90°$，以点$B$为圆心，$BC$长为半径画弧，与射线$AD$相交于点$E$，连接$BE$，过$C$点作$CF ⊥ BE$，垂足为$F$。不添加辅助线，找出图中与$BF$相等的线段，然后再加以证明。
(1)结论：$BF=$；
(2)写出证明过程。

7. (1) AE
(2)证明:根据题意,以点B为圆心,BC长为半径画弧,与射线AD相交于点E，
∴BE=BC.
∵CF⊥BE,
∴∠CFB=90°. 又
∵∠BAD=90°,
∴∠BAD=∠CFB
= 90°.
∵ AD // BC,
∴ ∠AEB = ∠FBC. 在 △ABE 和 △FCB 中，
$\begin{cases}∠BAE=∠CFB,\\∠AEB=∠FBC,\\BE=BC,\end{cases}$
∴△ABE≌△FCB(AAS).
∴AE=BF.

【分析】
要找出与BF相等的线段，可通过证明三角形全等得到对应边相等。首先根据作图可知BE=BC，结合AD//BC可得内错角相等，再结合两个直角相等，即可证明△ABE和△FCB全等，进而得到对应边相等的结论。
【解析】
(1) 观察图形结合已知条件可得出结论：$BF=AE$；
(2) 证明：
根据题意，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，
∴ $BE=BC$。
∵ $CF⊥BE$，
∴ $∠CFB=90°$。
又
∵ $∠BAD=90°$，
∴ $∠BAD=∠CFB=90°$。
∵ $AD// BC$，
∴ $∠AEB = ∠FBC$。
在 $△ ABE$ 和 $△ FCB$ 中，
$\begin{cases}∠BAE=∠CFB,\\∠AEB=∠FBC,\\BE=BC,\end{cases}$
∴ $△ ABE≌△ FCB(\mathrm{AAS})$。
∴ $AE=BF$，即$BF=AE$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AE}$；
(2) 证明过程如上。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；圆的基本性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题的关键是结合已知条件挖掘出全等三角形的判定条件，熟练掌握AAS等三角形全等的判定方法和全等三角形对应边相等的性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7