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8. 如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD，BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D，C为两个排污口。已知$AE=BE$，$∠ AEB=90°$，$AD⊥ DC$，$BC⊥ DC$，点D，E，C在同一直线上，$AD=150$米，$BC=350$米，则两个排污口之间的水平距离DC是
500
米。答案
8. 500
解析
【分析】
首先梳理已知条件：AE=BE，∠AEB=90°，AD⊥DC，BC⊥DC。我们可先利用直角三角形两锐角互余的性质，推导得到两组相等的锐角，结合已知的边相等条件，证明△ADE与△ECB全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，把DC拆分为DE+EC，对应替换为已知的BC和AD的长度即可求解。
【解析】
解：
∵AD⊥DC，BC⊥DC
∴∠ADE=∠ECB=90°
在Rt△ADE中，∠EAD + ∠AED = 90°
∵∠AEB=90°
∴∠AED + ∠BEC = 180° - ∠AEB = 90°
∴∠EAD = ∠BEC（同角的余角相等）
在△ADE和△ECB中：
$\{\begin{array}{l}∠ADE=∠ECB \\∠EAD=∠BEC \\AE=EB\end{array} $
∴△ADE≌△ECB（AAS）
∴AD=EC=150米，DE=BC=350米
∵点D，E，C在同一直线上
∴DC=DE + EC = 350 + 150 = 500米
【答案】
500
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题属于典型的“一线三等角”几何模型题，解题核心是通过角度互推证明三角形全等，将未知线段转化为已知线段的和来计算，能较好地考查学生的逻辑推理能力和几何模型识别能力。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：AE=BE，∠AEB=90°，AD⊥DC，BC⊥DC。我们可先利用直角三角形两锐角互余的性质，推导得到两组相等的锐角，结合已知的边相等条件，证明△ADE与△ECB全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，把DC拆分为DE+EC，对应替换为已知的BC和AD的长度即可求解。
【解析】
解：
∵AD⊥DC，BC⊥DC
∴∠ADE=∠ECB=90°
在Rt△ADE中，∠EAD + ∠AED = 90°
∵∠AEB=90°
∴∠AED + ∠BEC = 180° - ∠AEB = 90°
∴∠EAD = ∠BEC（同角的余角相等）
在△ADE和△ECB中：
$\{\begin{array}{l}∠ADE=∠ECB \\∠EAD=∠BEC \\AE=EB\end{array} $
∴△ADE≌△ECB（AAS）
∴AD=EC=150米，DE=BC=350米
∵点D，E，C在同一直线上
∴DC=DE + EC = 350 + 150 = 500米
【答案】
500
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题属于典型的“一线三等角”几何模型题，解题核心是通过角度互推证明三角形全等，将未知线段转化为已知线段的和来计算，能较好地考查学生的逻辑推理能力和几何模型识别能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=9$,$AC=3$,$BC=7$,点D在边BC上,点D到边AB,AC的距离相等,且$AE=AC$,则$△ BDE$的周长等于 （
A.10
B.13
C.16
D.19
B
）A.10
B.13
C.16
D.19
答案
9. B
解析
【分析】
解题时先根据点D到AB、AC的距离相等，判定AD是∠BAC的角平分线，得到一组相等的角；再结合已知AE=AC、AD为公共边，证明△ACD和△AED全等，得到CD=DE，从而将△BDE的周长转化为BC与BE的和；最后计算BE的长度，代入数值即可求出周长。
【解析】
∵ 点D到边AB、AC的距离相等，
∴ AD平分∠BAC，即∠CAD=∠EAD。
在△ACD和△AED中：
$\{\begin{array}{l}AC=AE（已知）\\∠CAD=∠EAD（已证）\\AD=AD（公共边）\end{array} $
∴ △ACD≌△AED（SAS），
∴ CD=DE。
△BDE的周长为：$DE+BD+BE$，
将DE替换为CD，可得周长$=CD+BD+BE=BC+BE$。
∵ $AE=AC=3$，$AB=9$，
∴ $BE=AB-AE=9-3=6$，
又
∵ $BC=7$，
∴ △BDE的周长$=7+6=13$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质；三角形周长计算
【点评】
本题核心是通过全等三角形实现线段的等量代换，将未知的三角形周长转化为已知线段的和，解题的关键是熟练运用角平分线的判定和全等三角形的判定定理找到相等关系，这类转化思想在几何线段计算类题目中非常常用。
【难度系数】
0.7
解题时先根据点D到AB、AC的距离相等，判定AD是∠BAC的角平分线，得到一组相等的角；再结合已知AE=AC、AD为公共边，证明△ACD和△AED全等，得到CD=DE，从而将△BDE的周长转化为BC与BE的和；最后计算BE的长度，代入数值即可求出周长。
【解析】
∵ 点D到边AB、AC的距离相等，
∴ AD平分∠BAC，即∠CAD=∠EAD。
在△ACD和△AED中：
$\{\begin{array}{l}AC=AE（已知）\\∠CAD=∠EAD（已证）\\AD=AD（公共边）\end{array} $
∴ △ACD≌△AED（SAS），
∴ CD=DE。
△BDE的周长为：$DE+BD+BE$，
将DE替换为CD，可得周长$=CD+BD+BE=BC+BE$。
∵ $AE=AC=3$，$AB=9$，
∴ $BE=AB-AE=9-3=6$，
又
∵ $BC=7$，
∴ △BDE的周长$=7+6=13$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质；三角形周长计算
【点评】
本题核心是通过全等三角形实现线段的等量代换，将未知的三角形周长转化为已知线段的和，解题的关键是熟练运用角平分线的判定和全等三角形的判定定理找到相等关系，这类转化思想在几何线段计算类题目中非常常用。
【难度系数】
0.7
10.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D.若$BD=3$，$AC=10$，则$△ ACD$的面积是
15
.答案
10. 15
解析
【分析】
首先根据题中给出的尺规作图步骤，可判断出射线CP是∠ACB的角平分线，即CD平分∠ACB；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知∠B=90°，即BD⊥BC，因此点D到AC边的距离与BD长度相等，为3；最后利用三角形面积公式，以AC为底，点D到AC的距离为高，即可计算出△ACD的面积。
【解析】
由尺规作图的操作可知，CD是∠ACB的角平分线。
∵∠B=90°，
∴BD⊥BC，
过点D作DG⊥AC于点G，根据角平分线的性质，得DG=BD=3。
已知AC=10，根据三角形面积公式：
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC × DG=\frac{1}{2}×10×3=15$
【答案】
15
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题关键是先识别尺规作图得到角平分线，再利用角平分线的性质求出三角形的高，结合面积公式即可求解。
【难度系数】
0.7
首先根据题中给出的尺规作图步骤，可判断出射线CP是∠ACB的角平分线，即CD平分∠ACB；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知∠B=90°，即BD⊥BC，因此点D到AC边的距离与BD长度相等，为3；最后利用三角形面积公式，以AC为底，点D到AC的距离为高，即可计算出△ACD的面积。
【解析】
由尺规作图的操作可知，CD是∠ACB的角平分线。
∵∠B=90°，
∴BD⊥BC，
过点D作DG⊥AC于点G，根据角平分线的性质，得DG=BD=3。
已知AC=10，根据三角形面积公式：
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC × DG=\frac{1}{2}×10×3=15$
【答案】
15
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题关键是先识别尺规作图得到角平分线，再利用角平分线的性质求出三角形的高，结合面积公式即可求解。
【难度系数】
0.7
11.(2024·大庆期中)如图1,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中.
$∠ BAC=90°,AB=AC,D$为$△ ABC$内一
点.$∠ EAD=90°$,且$AE=AD$,连接$CE,BD$
的延长线与$CE$交于点$F$.
(1)求证:$BD=CE,BD⊥ CE$;
(2)如图2,连接$AF,DC$,已知$∠ BDC=$
$135°$.判断$AF$与$DC$的位置关系,并说
明理由.
$∠ BAC=90°,AB=AC,D$为$△ ABC$内一
点.$∠ EAD=90°$,且$AE=AD$,连接$CE,BD$
的延长线与$CE$交于点$F$.
(1)求证:$BD=CE,BD⊥ CE$;
(2)如图2,连接$AF,DC$,已知$∠ BDC=$
$135°$.判断$AF$与$DC$的位置关系,并说
明理由.
答案
(1) 证明:设AC与BF交于O点,$\because ∠BAC=90°,∠EAD=90°,\therefore ∠BAC=∠DAE. \therefore ∠BAD=∠CAE.$在$△ ABD$和$△ ACE$中,$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS}). \therefore BD=CE,∠ABD=∠ACE.$又$\because ∠AOB=∠COF,$
$\therefore ∠BFC=∠BAC=90°. \therefore BD⊥CE;$
(2) 解:$AF// CD$,理由如下:过点A作$AG⊥BF$于G,$AH⊥CE$于H,由(1)知$△ ABD≌△ ACE,∠BFE=90°. \therefore BD=CE,S_{△ ABD}=S_{△ ACE}. \therefore AG=AH.$又$\because AG⊥BF,AH⊥CE,\therefore AF$平分$∠BFE. \therefore ∠AFE=∠BFA=\frac{1}{2}∠BFE=45°. \because ∠BDC=135°,\therefore ∠FDC=45°. \therefore ∠AFD=∠FDC. \therefore AF// CD.$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS}). \therefore BD=CE,∠ABD=∠ACE.$又$\because ∠AOB=∠COF,$
$\therefore ∠BFC=∠BAC=90°. \therefore BD⊥CE;$
(2) 解:$AF// CD$,理由如下:过点A作$AG⊥BF$于G,$AH⊥CE$于H,由(1)知$△ ABD≌△ ACE,∠BFE=90°. \therefore BD=CE,S_{△ ABD}=S_{△ ACE}. \therefore AG=AH.$又$\because AG⊥BF,AH⊥CE,\therefore AF$平分$∠BFE. \therefore ∠AFE=∠BFA=\frac{1}{2}∠BFE=45°. \because ∠BDC=135°,\therefore ∠FDC=45°. \therefore ∠AFD=∠FDC. \therefore AF// CD.$
解析
【分析】
（1）要证BD=CE且BD⊥CE，首先观察到AB=AC、AD=AE，且∠BAC和∠EAD均为直角，减去公共角∠DAC可得∠BAD=∠CAE，可通过SAS判定△ABD≌△ACE，由全等性质得BD=CE、∠ABD=∠ACE；再结合对顶角∠AOB=∠COF，利用三角形内角和可推出∠BFC=∠BAC=90°，即可得垂直关系。
（2）判断AF与DC的位置，可先猜想为平行，需证内错角相等。已知∠BDC=135°，可得邻补角∠FDC=45°，因此只需证∠AFD=45°。由△ABD≌△ACE可知两三角形面积相等、对应边BD=CE，作AG⊥BF于G、AH⊥CE于H，可得两三角形对应高AG=AH，根据角平分线的判定定理可知AF平分∠BFE，结合第一问结论∠BFE=90°，可得∠AFD=45°=∠FDC，即可证得平行。
【解析】
(1) 证明：设AC与BF交于O点，
∵∠BAC=90°，∠EAD=90°，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE.
又
∵∠AOB=∠COF，
在△AOB和△COF中，∠BAC + ∠ABD + ∠AOB = 180°，∠BFC + ∠ACE + ∠COF = 180°，
∴∠BFC=∠BAC=90°，
∴BD⊥CE.
(2) AF//CD，理由如下：
过点A作AG⊥BF于G，AH⊥CE于H，
由(1)知△ABD≌△ACE，∠BFE=90°，
∴BD=CE，$S_{△ABD}=S_{△ACE}$，
∵三角形面积等于底乘高的一半，即$\frac{1}{2}BD·AG=\frac{1}{2}CE·AH$，
∴AG=AH.
又
∵AG⊥BF，AH⊥CE，
∴AF平分∠BFE（到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴∠AFE=∠BFA=$\frac{1}{2}$∠BFE=45°.
∵∠BDC=135°，
∴∠FDC=180° - 135°=45°，
∴∠AFD=∠FDC，
∴AF//CD（内错角相等，两直线平行）.
【答案】
(1) BD=CE，BD⊥CE，证明成立；
(2) AF//DC
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，平行线的判定
【点评】
本题属于三角形综合题，第一问是经典的手拉手全等模型，重点考察全等三角形的判定及性质的应用；第二问需要结合全等三角形面积相等的性质构造垂线辅助线，结合角平分线判定得到角度关系，进而推导平行关系，能够有效考察学生的逻辑推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
（1）要证BD=CE且BD⊥CE，首先观察到AB=AC、AD=AE，且∠BAC和∠EAD均为直角，减去公共角∠DAC可得∠BAD=∠CAE，可通过SAS判定△ABD≌△ACE，由全等性质得BD=CE、∠ABD=∠ACE；再结合对顶角∠AOB=∠COF，利用三角形内角和可推出∠BFC=∠BAC=90°，即可得垂直关系。
（2）判断AF与DC的位置，可先猜想为平行，需证内错角相等。已知∠BDC=135°，可得邻补角∠FDC=45°，因此只需证∠AFD=45°。由△ABD≌△ACE可知两三角形面积相等、对应边BD=CE，作AG⊥BF于G、AH⊥CE于H，可得两三角形对应高AG=AH，根据角平分线的判定定理可知AF平分∠BFE，结合第一问结论∠BFE=90°，可得∠AFD=45°=∠FDC，即可证得平行。
【解析】
(1) 证明：设AC与BF交于O点，
∵∠BAC=90°，∠EAD=90°，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE.
又
∵∠AOB=∠COF，
在△AOB和△COF中，∠BAC + ∠ABD + ∠AOB = 180°，∠BFC + ∠ACE + ∠COF = 180°，
∴∠BFC=∠BAC=90°，
∴BD⊥CE.
(2) AF//CD，理由如下：
过点A作AG⊥BF于G，AH⊥CE于H，
由(1)知△ABD≌△ACE，∠BFE=90°，
∴BD=CE，$S_{△ABD}=S_{△ACE}$，
∵三角形面积等于底乘高的一半，即$\frac{1}{2}BD·AG=\frac{1}{2}CE·AH$，
∴AG=AH.
又
∵AG⊥BF，AH⊥CE，
∴AF平分∠BFE（到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴∠AFE=∠BFA=$\frac{1}{2}$∠BFE=45°.
∵∠BDC=135°，
∴∠FDC=180° - 135°=45°，
∴∠AFD=∠FDC，
∴AF//CD（内错角相等，两直线平行）.
【答案】
(1) BD=CE，BD⊥CE，证明成立；
(2) AF//DC
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，平行线的判定
【点评】
本题属于三角形综合题，第一问是经典的手拉手全等模型，重点考察全等三角形的判定及性质的应用；第二问需要结合全等三角形面积相等的性质构造垂线辅助线，结合角平分线判定得到角度关系，进而推导平行关系，能够有效考察学生的逻辑推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
