【例1】如图,在半径为4的$\odot O$中,$OC ⊥ AB$于点$D$,$D$为$OC$的中点,则弦$AB$的长为
()

A.$\sqrt{3}$ B.$2\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{3}$ D.$8\sqrt{3}$
【规律方法】
垂径定理基本图形的四变量、两关系
1.四变量:如图,弦长$a$,圆心到弦的距离$d$,半径$r$,弧的中点到弦的距离(弓形高)$h$,这四个变量知任意两个可求其他两个.

2.两关系:
(1)$(\dfrac{a}{2})^2 + d^2 = r^2$;
(2)$h + d = r$.

例1. C

1.如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OC⊥ AB$于点D，若$\odot O$的半径为10 cm，$AB=16$ cm，则CD的长是（）


A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm

1. C

【例2】如图，AB，CD都是$\odot O$的弦，且$AB// CD$，求证：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。

|思路分析|
思考:利用垂径定理,在圆中作出什么辅助线可以得到等弧?说明理由.
证明:
【规律方法】
由垂径定理可以得到“平分弦”和“平分弧”,这往往能够得到相等的线段和相等的弧,再结合中位线、等角等知识解决证明问题.
|变式训练|

证明：
过点O作OE⊥AB，交⊙O于点E。
∵ AB//CD，
∴ OE⊥CD。
由垂径定理可得：$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DE}$，
∴ $\overset{\frown}{AE}-\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BE}-\overset{\frown}{DE}$，
即 $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。

2.如图,在$\odot O$中,直径AB垂直弦CD于点E.
(1)求证:$AC=AD.$
(2)若$AC=10,CD=12$,求$\odot O$的半径.

(1) 证明:因为直径AB垂直弦CD于点E，所以$CE=DE$，即AB所在直线是CD的垂直平分线，所以$AC=AD$。
(2) $\odot O$的半径为$\frac{25}{4}$。