1 如图,正比例函数 $y=kx$ 的图象与反比例函数 $y=-\dfrac{5}{x}$ 的图象相交于A,C 两点,过点 A 作 x 轴的垂线,交 x 轴于点 B,连接 BC,则$△ ABC$ 的面积为（）




A.10
B.7.5
C.5
D.2.5

1. C

2 如图,点 A 在函数 $y=\dfrac{3}{x}(x＜0)$ 的图象上,过点 A 作 $AB ⊥ x$ 轴,垂足为 B,点 C 在 y 轴上,则$△ ABC$ 的面积为.

2. $\dfrac{3}{2}$

3 如图,点 A 在函数 $y=\dfrac{\sqrt{3}}{x}(x＞0)$ 的图象上,点 B 在 x 轴正半轴上,$△ OAB$ 是等边三角形,则$△ OAB$ 的面积为.

3. $\sqrt{3}$

4 如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 为矩形,点 A,C 分别在 x 轴、y 轴上,点 B 在函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0,k$ 为常数且 $k＞2)$ 的图象上,边 AB 与函数 $y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$ 的图象交于点 D,连接 OD,则涂色部分的面积为(用含 k 的式子表示).

4. $k-1$

5 如图,$P$为$x$轴的负半轴上一点,过点$P$作$x$轴的垂线,交函数$y=-\dfrac{1}{x}(x＜0)$的图象于点$A$,交函数$y=-\dfrac{4}{x}(x＜0)$的图象于点$B$,过点$B$作$x$轴的平行线,交函数$y=-\dfrac{1}{x}(x＜0)$的图象于点$C$,连接$AC$.
(1) 当点$P$的坐标为$(-1,0)$时,$△ ABC$的面积为.
(2) 若$AB=BC$,求点$A$的坐标.
(3) 连接$OA$,$OC$.当点$P$的坐标为$(t,0)$时,$△ OAC$的面积是否随$t$的变化而变化?请说明理由.

5. (1) $\dfrac{9}{8}$ 【解析】$\because AB⊥ x$轴,$BC// x$轴,点$P$的坐标为$(-1,0)$,点$A$,$C$在函数$y=-\dfrac{1}{x}(x＜0)$的图象上,点$B$在函数$y=-\dfrac{4}{x}(x＜0)$的图象上,$\therefore$ 易得点$A$,$B$,$C$的坐标分别为$(-1,1)$,$(-1,4)$,$(-\dfrac{1}{4},4)$,$\therefore BC=-\dfrac{1}{4}-(-1)=\dfrac{3}{4}$,$AB=4-1=3$,$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AB=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{4}×3=\dfrac{9}{8}$.
(2) 设点$P$的坐标为$(m,0)(m＜0)$,则易得点$A$,$B$,$C$的坐标分别为$(m,-\dfrac{1}{m})$,$(m,-\dfrac{4}{m})$,$(\dfrac{m}{4},-\dfrac{4}{m})$,$\therefore AB=-\dfrac{4}{m}-(-\dfrac{1}{m})=-\dfrac{3}{m}$,$BC=\dfrac{m}{4}-m=-\dfrac{3m}{4}$.$\because AB=BC$,$\therefore -\dfrac{3}{m}=-\dfrac{3m}{4}$,解得$m=-2$(正值舍去),$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-2,\dfrac{1}{2})$
(3) $△ OAC$的面积不随$t$的变化而变化 理由:如图,过点$A$作$AM⊥ y$轴于点$M$,延长$BC$交$y$轴于点$N$,则易知$CN⊥ y$轴.$\because$ 易得$S_{△ AMO}=S_{△ CNO}$,$CN=-\dfrac{t}{4}$,$AM=-t$,$MN=-\dfrac{4}{t}-(-\dfrac{1}{t})=-\dfrac{3}{t}$,$\therefore S_{△ OAC}=S_{△ AMO}+S_{\mathrm{梯形}AMNC}-S_{△ CNO}=S_{\mathrm{梯形}AMNC}=\dfrac{1}{2}(CN+AM)· MN=\dfrac{1}{2}(-\dfrac{t}{4}-t)·(-\dfrac{3}{t})=\dfrac{15}{8}$,$\therefore △ OAC$的面积不随$t$的变化而变化.