8. 式子$2×2×2=2^3=8$，此时3叫作以2为底8的对数，记为$\log_{2}8$（即$\log_{2}8=3$），一般地，若$a^n = b$（$a＞0$且$a≠1,b＞0$），则$n$叫作以$a$为底$b$的对数，记为$\log_{a}b$（即$\log_{a}b = n$），如$3^4 = 81$，则4叫作以3为底81的对数，记为$\log_{3}81$，则$\log_{3}81 = 4$，同理$\log_{3}27 = 3$，$\log_{3}3 = 1$。由此可以得到下列式子：$\log_{3}81 = \log_{3}(27×3) = \log_{3}27 + \log_{3}3$，且若$\log_{a}b = \log_{a}c$，则$b = c$，根据以上的信息及运算关系，若$\log_{3}(x + 12) + \log_{3}x = 2\log_{3}(x + 2)$，则$x = (\quad)$。

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$7$
D.$-\frac{1}{16}$

8. A 【点拨】本题考查新定义,整式乘法.
【解析】由题意得,$\log_3(x+12)+\log_3x=\log_3x(x+12)$,$2\log_3(x+2)=\log_3(x+2)^2$,$\therefore \log_3x(x+12)=\log_3(x+2)^2$,$\therefore x(x+12)=(x+2)^2$,解得$x=\frac{1}{2}$.故选A.

二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
9. 中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料,材料的厚度仅为0.000 000 000 58 m,是头发丝的二十万分之一. 将0.000 000 000 58用科学记数法表示为.

9. $5.8×10^{-10}$ 【点拨】本题考查科学记数法的表示形式.
【解析】$0.000\ 000\ 000\ 58=5.8×10^{-10}$.故答案为$5.8×10^{-10}$.

10. 若$3^a = 4,3^b = 2$,则$3^{a-b} =$.
11. 已知某多边形的每个外角都等于$36°$,则这个多边形是边形.
12. 已知$(a+2)x^{|a|-1} + y = 5$是二元一次方程,则$a$的值为.
13. 若$x^2 - 3(k+1)x + 36$是一个完全平方式,则$k =$.
14. 若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x - 3y = 2, \\x + 2y = 3m - 1\end{cases}$的解满足$3x - y ≤ 1$,则$m$的最大整数解为 ______ .

10. 2 【点拨】本题考查同底数幂的除法的逆用,逆用同底数幂的除法法则进行计算即可.
【解析】$\because 3^a=4,3^b=2,\therefore 3^{a-b}=3^a÷3^b=4÷2=2$.故答案为2.
11. 十 【点拨】本题考查多边形外角和定理.
【解析】$\frac{360°}{36°}=10$,$\therefore$这个多边形的边数为10,即这个多边形是十边形.故答案为十.
12. 2 【点拨】本题考查二元一次方程的定义.
【解析】$\because (a+2)x^{|a|-1}+y=5$是二元一次方程,$\therefore a+2≠0$,$|a|-1=1$,解得$a=2$.故答案为2.
13. 3或-5 【点拨】本题考查完全平方公式.
【解析】$\because x^2-3(k+1)x+36=x^2-3(k+1)x+6^2$,$\therefore -3(k+1)=\pm2×6$,$\therefore k+1=4$或$k+1=-4$,解得$k=3$或$k=-5$.故答案为3或-5.
14. 0 【点拨】本题考查解二元一次方程组,解一元一次不等式.
【解析】$\begin{cases}2x-3y=2,①\\x+2y=3m-1,②\end{cases}$ ①+②得$3x-y=3m+1$.$\because$关于$x$,$y$的方程组$\begin{cases}2x-3y=2,\\x+2y=3m-1\end{cases}$的解满足$3x-y≤1$,$\therefore 3m+1≤1$,$\therefore m≤0$,$\therefore m$的最大整数解为0.故答案为0.

15. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于$60°$”时,应假设.

15. 三角形中每一个内角都大于$60°$ 【点拨】本题考查反证法,熟练掌握反证法的基本步骤是解题的关键.
【解析】第一步应假设结论不成立,即三角形中每一个内角都大于$60°$.故答案为三角形中每一个内角都大于$60°$.

16. 如图,在$4×4$的正方形网格中有三个阴影正方形,请你在网格中再涂黑一个小正方形,使其与原有的阴影正方形构成一个中心对称图形,则可供选择的白色小正方形的个数为________.

16. 3 【点拨】本题考查利用中心对称设计图案,正确把握中心对称图形的定义是解题的关键.
【解析】如图所示,可供选择的白色小正方形的个数为3个.
故答案为3.

17. 设 $ a_1, a_2, ···, a_{2025} $ 是从 $-1,0,1$ 这三个数中取值的一列数，若 $ a_1 + a_2 + ··· + a_{2025} = 0 $，$ (a_1 + 1)^2 + (a_2 + 1)^2 + ··· + (a_{2025} + 1)^2 = 3025 $，则 $ a_1, a_2, ···, a_{2025} $ 中值为 $-1$ 或 $0$ 的数共有 ______ 个。

17. 1525 【点拨】本题考查探索数字类变化规律、利用完全平方公式进行计算.
【解析】$\because (a_1+1)^2+(a_2+1)^2+\dots+(a_{2025}+1)^2=3025$,
$\therefore (a_1^2+a_2^2+\dots+a_{2025}^2)+2(a_1+a_2+\dots+a_{2025})+2025=3025$.
$\because a_1+a_2+\dots+a_{2025}=0$,
$\therefore a_1^2+a_2^2+\dots+a_{2025}^2=1000$.
设$a_1,a_2,\dots,a_{2025}$中有$x$个1,$n$个0,$y$个$-1$,
$\therefore x+y=1000$,$\therefore n=2025-1000=1025$.
$\because a_1+a_2+\dots+a_{2025}=0$,
$\therefore x=y=500$,$\therefore n+y=1025+500=1525$,$\therefore$值为$-1$或0的数共有1525个.
故答案为1525.

18. 如图,在△AOB和△COD中,∠AOB = ∠COD = 90°,∠A = 40°,∠C = 60°,OD与OA重叠.若△AOB绕点O按每秒20°的速度沿逆时针方向旋转不停,在旋转过程中,若△AOB和△COD第一次有一组边平行,则称之为第一次“边平行”,当旋转到秒时,第2 025次边平行.

18. 3643.5 【点拨】本题考查三角形内角和定理,三角形外角的性质,平行线的性质,规律探究,先分析旋转一周有多少次边平行,进而求得第2025次边平行时对应的周数,根据规律即可求解.
【解析】$\because ∠ AOB=∠ COD=90°,∠ A=40°,∠ C=60°$,
$\therefore ∠ CDO=30°,∠ B=50°$.
如图1,第1次边平行时,$AB// CO$,$\therefore ∠ COB=180°-∠ ABO=130°$,$\therefore$旋转了$180°-130°=50°$,旋转时间为$\frac{50}{20}=2.5$(秒);
如图2,第2次边平行时,$CD// BO$,$\therefore ∠ BOD=∠ CDO=30°$,$\therefore$旋转了$90°-30°=60°$,旋转时间为$\frac{60}{20}=3$(秒);
如图3,第3次边平行时,$AB// CD$,设$OB$,$CD$交于点$E$,$\therefore ∠ DEB=∠ B=50°$,$\therefore ∠ BOD=∠ BED-∠ CDO=50°-30°=20°$,$\therefore$旋转了$20°+90°=110°$,旋转时间为$\frac{110}{20}=5.5$(秒);
如图4,第4次边平行时,$AB// DO$,$\therefore ∠ BOD=∠ B=50°$,$\therefore$旋转了$90°+50°=140°$,旋转时间为$\frac{140}{20}=7$(秒);
如图5,第5次边平行时,$CD// AO$,$\therefore ∠ AOC=∠ C=60°$,$\therefore ∠ BOC=90°-∠ AOC=30°$,$\therefore ∠ BOD=90°-∠ BOC=60°$,$\therefore$旋转了$90°+60°=150°$,旋转时间为$\frac{150}{20}=7.5$(秒);
如图6,第6次边平行时,$CO// AB$,$\therefore ∠ BOC=∠ B=50°$,$\therefore$旋转了$180°+50°=230°$,旋转时间为$\frac{230}{20}=11.5$(秒);
如图7,第7次边平行时,$CD// BO$,$\therefore ∠ BOC=∠ C=60°$,$\therefore$旋转了$180°+60°=240°$,旋转时间为$\frac{240}{20}=12$(秒);
如图8,第8次边平行时,$CD// AB$,设直线$OB$交$CD$于点$F$,$\therefore ∠ DFO=180°-∠ B=130°$,$\therefore ∠ DOF=180°-130°-30°=20°$,$\therefore$旋转了$180°+20°+90°=290°$,旋转时间为$\frac{290}{20}=14.5$(秒);
如图9,第9次边平行时,$OD// AB$,$\therefore ∠ AOD=∠ A=40°$,$\therefore$旋转了$360°-40°=320°$,旋转时间为$\frac{320}{20}=16$(秒);
如图10,第10次边平行时,$CD// AO$,$\therefore ∠ AOD=∠ D=30°$,$\therefore$旋转了$360°-30°=330°$,旋转时间为$\frac{330}{20}=16.5$(秒);
再旋转$30°$就回到初始位置,
$\therefore △ OAB$旋转1周有10次边平行,旋转时间为$\frac{360}{20}=18$(秒),
$\because 2025÷10=202······5$,$\therefore$第2025次边平行时,旋转了202周,再加7.5秒,$202×18+7.5=3643.5$(秒).故答案为3643.5.