登录
23. (8分)【课内回顾】
(1)若$ac = bc$,当$c$满足
【阅读材料】
如果一个幂的结果等于1,有如下三种情况:
①底数不为零的零指数幂,例如$3^0 = 1$;
②底数为1的整数幂,例如$1^{-2} = 1$;
③底数为-1的偶数次幂,例如$(-1)^2 = 1$.
【知识运用】
(2)若$(x + 2)^{x + 4} = 1$,求$x$的值;
(3)若$(x + 2)^{x + 4} = x + 2$,则$x = $
(1)若$ac = bc$,当$c$满足
$c≠0$
时,则$a = b$;【阅读材料】
如果一个幂的结果等于1,有如下三种情况:
①底数不为零的零指数幂,例如$3^0 = 1$;
②底数为1的整数幂,例如$1^{-2} = 1$;
③底数为-1的偶数次幂,例如$(-1)^2 = 1$.
【知识运用】
(2)若$(x + 2)^{x + 4} = 1$,求$x$的值;
(3)若$(x + 2)^{x + 4} = x + 2$,则$x = $
$-2或-1或-3$
.答案
23. 【点拨】本题考查乘方的运算,零指数幂.
【解析】(1)$\because ac=bc$,$\therefore$当$c≠0$时,$a=b$.故答案为$c≠0$.
(2)分三种情况讨论:①当$x+4=0$且$x+2≠0$时,$(x+2)^{x+4}=1$,由$x+4=0$,解得$x=-4$,由$x+2≠0$,解得$x≠-2$,$\therefore$当$x=-4$时,$(x+2)^{x+4}=1$;
②当$x+2=1$且$x+4$为整数时,$(x+2)^{x+4}=1$,由$x+2=1$,解得$x=-1$,此时$x+4=3$为整数,$\therefore$当$x=-1$时,$(x+2)^{x+4}=1$;
③当$x+2=-1$且$x+4$为偶数时,$(x+2)^{x+4}=1$,由$x+2=-1$,解得$x=-3$,此时$x+4=1$不是偶数,故不符合题意,舍去.
综上所述,若$(x+2)^{x+4}=1$,则$x$的值为$-4$或$-1$.
(3)分四种情况讨论:①当$x+2=0$且$x+4≠0$时,$(x+2)^{x+4}=x+2$,由$x+2=0$,解得$x=-2$,此时$x+4=2≠0$,$\therefore$当$x=-2$时,$(x+2)^{x+4}=x+2$.
②当$x+2=1$且$x+4$为整数时,$(x+2)^{x+4}=x+2$,由$x+2=1$,解得$x=-1$,此时$x+4=3$为整数,$\therefore$当$x=-1$时,$(x+2)^{x+4}=x+2$.
③当$x+2=-1$且$x+4$为奇数时,$(x+2)^{x+4}=x+2$,由$x+2=-1$,解得$x=-3$,此时$x+4=1$为奇数,$\therefore$当$x=-3$时,$(x+2)^{x+4}=x+2$.
④当$x+4=1$时,$(x+2)^{x+4}=x+2$,由$x+4=1$,解得$x=-3$.
综上所述,若$(x+2)^{x+4}=x+2$,则$x=-2$或$-1$或$-3$.故答案为$-2$或$-1$或$-3$.
【解析】(1)$\because ac=bc$,$\therefore$当$c≠0$时,$a=b$.故答案为$c≠0$.
(2)分三种情况讨论:①当$x+4=0$且$x+2≠0$时,$(x+2)^{x+4}=1$,由$x+4=0$,解得$x=-4$,由$x+2≠0$,解得$x≠-2$,$\therefore$当$x=-4$时,$(x+2)^{x+4}=1$;
②当$x+2=1$且$x+4$为整数时,$(x+2)^{x+4}=1$,由$x+2=1$,解得$x=-1$,此时$x+4=3$为整数,$\therefore$当$x=-1$时,$(x+2)^{x+4}=1$;
③当$x+2=-1$且$x+4$为偶数时,$(x+2)^{x+4}=1$,由$x+2=-1$,解得$x=-3$,此时$x+4=1$不是偶数,故不符合题意,舍去.
综上所述,若$(x+2)^{x+4}=1$,则$x$的值为$-4$或$-1$.
(3)分四种情况讨论:①当$x+2=0$且$x+4≠0$时,$(x+2)^{x+4}=x+2$,由$x+2=0$,解得$x=-2$,此时$x+4=2≠0$,$\therefore$当$x=-2$时,$(x+2)^{x+4}=x+2$.
②当$x+2=1$且$x+4$为整数时,$(x+2)^{x+4}=x+2$,由$x+2=1$,解得$x=-1$,此时$x+4=3$为整数,$\therefore$当$x=-1$时,$(x+2)^{x+4}=x+2$.
③当$x+2=-1$且$x+4$为奇数时,$(x+2)^{x+4}=x+2$,由$x+2=-1$,解得$x=-3$,此时$x+4=1$为奇数,$\therefore$当$x=-3$时,$(x+2)^{x+4}=x+2$.
④当$x+4=1$时,$(x+2)^{x+4}=x+2$,由$x+4=1$,解得$x=-3$.
综上所述,若$(x+2)^{x+4}=x+2$,则$x=-2$或$-1$或$-3$.故答案为$-2$或$-1$或$-3$.
24. (8 分)(1)若$(x - 2021)^2 + (x - 2025)^2 = 20$,则$(x - 2021)(x - 2025)$的值为________;
(2)两块完全相同的特制直角三角板($∠ AOB = ∠ COD = 90°$)按如图所示放置,其中$A,O,D$在一条直线上,连接$AC,BD$,若$AD = BC = 16$,$S_{△ AOC} + S_{△ BOD} = 60$,求一块三角板的面积.
·35·
(2)两块完全相同的特制直角三角板($∠ AOB = ∠ COD = 90°$)按如图所示放置,其中$A,O,D$在一条直线上,连接$AC,BD$,若$AD = BC = 16$,$S_{△ AOC} + S_{△ BOD} = 60$,求一块三角板的面积.
·35·
答案
24. 【点拨】本题考查完全平方公式的应用.
【解析】(1)设$x-2021=m$,$x-2025=n$,则$m^2+n^2=20$,$m-n=x-2021-(x-2025)=x-2021-x+2025=4$,$\therefore (m-n)^2=16$,则$m^2-2mn+n^2=16$,$\therefore 20-2mn=16$,解得$mn=2$,即$(x-2021)(x-2025)=2$.故答案为2.
(2)设$OA=OC=a$,$OB=OD=b$,
$\because A,O,D$在一条直线上,$AD=BC=16$,$\therefore a+b=16$,
$\therefore (a+b)^2=256$,$\therefore a^2+2ab+b^2=256$.
$\because S_{△ AOC}+S_{△ BOD}=60$,$\therefore \dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}b^2=60$,
$\therefore a^2+b^2=120$,$\therefore 120+2ab=256$,$\therefore ab=68$,则$\dfrac{1}{2}ab=34$,即一块三角板的面积为34.
【解析】(1)设$x-2021=m$,$x-2025=n$,则$m^2+n^2=20$,$m-n=x-2021-(x-2025)=x-2021-x+2025=4$,$\therefore (m-n)^2=16$,则$m^2-2mn+n^2=16$,$\therefore 20-2mn=16$,解得$mn=2$,即$(x-2021)(x-2025)=2$.故答案为2.
(2)设$OA=OC=a$,$OB=OD=b$,
$\because A,O,D$在一条直线上,$AD=BC=16$,$\therefore a+b=16$,
$\therefore (a+b)^2=256$,$\therefore a^2+2ab+b^2=256$.
$\because S_{△ AOC}+S_{△ BOD}=60$,$\therefore \dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}b^2=60$,
$\therefore a^2+b^2=120$,$\therefore 120+2ab=256$,$\therefore ab=68$,则$\dfrac{1}{2}ab=34$,即一块三角板的面积为34.
