登录
8. 如图,在平面直角坐标系中,直线$l_1:y=kx+b\ (k≠0)$与直线$l_2:y=3x$交于点$A(1,a)$,与$y$轴交于点$B$,与$x$轴交于点$C(\dfrac{5}{2},0)$.
(1) 求直线$l_1$的函数表达式.
(2) 方程组$\begin{cases}y=3x,\\ 2x+y=5\end{cases}$的解为 ______ .
(3) 在直线$l_2$上是否存在一点$P$,使得$S_{△ OCP}=2S_{△ AOC}$? 若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1) 求直线$l_1$的函数表达式.
(2) 方程组$\begin{cases}y=3x,\\ 2x+y=5\end{cases}$的解为 ______ .
(3) 在直线$l_2$上是否存在一点$P$,使得$S_{△ OCP}=2S_{△ AOC}$? 若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
8. 解:(1) 因为直线 $l_1:y=kx+b\ (k≠0)$与直线 $l_2:y=3x$ 交于点 $A(1,a)$, 所以点$A(1,3)$. 又因为点 $C(\dfrac{5}{2},0)$, 所以直线 $l_1$ 的函数表达式为 $y=-2x+5$.
(2) $\begin{cases} x=1,\\ y=3 \end{cases}$
(3) 存在. 设点 $P(m,3m)$. 因为 $S_{△ OCP}=2S_{△ AOC}$, 所以 $\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{2}×|3m|=2×\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{2}×3$,解得 $m=\pm2$, 所以点 $P$ 的坐标为 $(2,6)$ 或$(-2,-6)$.
(2) $\begin{cases} x=1,\\ y=3 \end{cases}$
(3) 存在. 设点 $P(m,3m)$. 因为 $S_{△ OCP}=2S_{△ AOC}$, 所以 $\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{2}×|3m|=2×\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{2}×3$,解得 $m=\pm2$, 所以点 $P$ 的坐标为 $(2,6)$ 或$(-2,-6)$.
9. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”. 请用
这句话提到的数学思想方法解决下面的
问题: 已知函数 $y=\begin{cases}x+1(x≥0),\\ -x-1(x＜0)\end{cases}$ 与方程 $ax-2a-y=0$ 构成关于 $x,y$ 的二元一次方程组. 若该方程组有两组解, 则 $a$ 的取值范围是（ ）
A.$-\dfrac{1}{2}≤ a＜-\dfrac{1}{3}$
B.$-\dfrac{1}{2}≤ a＜\dfrac{1}{2}$
C.$-1＜ a≤-\dfrac{1}{2}$
D.$-1＜ a≤-\dfrac{1}{3}$
这句话提到的数学思想方法解决下面的
问题: 已知函数 $y=\begin{cases}x+1(x≥0),\\ -x-1(x＜0)\end{cases}$ 与方程 $ax-2a-y=0$ 构成关于 $x,y$ 的二元一次方程组. 若该方程组有两组解, 则 $a$ 的取值范围是（ ）
A.$-\dfrac{1}{2}≤ a＜-\dfrac{1}{3}$
B.$-\dfrac{1}{2}≤ a＜\dfrac{1}{2}$
C.$-1＜ a≤-\dfrac{1}{2}$
D.$-1＜ a≤-\dfrac{1}{3}$
答案
9. C 提示: 将 $ax-2a-y=0$ 整理, 得 $y=a(x-2)$, 令 $x=2$, 得 $y=0$. 所以直线 $y=a(x-2)$ 恒过定点 $(2,0)$, 且随 $a$ 值的不同绕点 $(2,0)$ 旋转. 如图, 作出函数 $y=\begin{cases}x+1(x≥0),\\ -x-1(x＜0)\end{cases}$ 的图象, 当直线 $y=a(x-2)$与直线 $y=-x-1$ 平行时, 可得 $a=-1$; 当直线 $y=a(x-2)$ 过点 $(0,1)$ 时, 得 $1=a(0-2)$, 解得 $a=-\dfrac{1}{2}$.观察图象发现, 当 $-1＜a≤-\dfrac{1}{2}$ 时, 直线 $y=a(x-2)$与函数 $y=\begin{cases}x+1(x≥0),\\ -x-1(x＜0)\end{cases}$ 的图象有两个交点, 即函数$y=\begin{cases}x+1(x≥0),\\ -x-1(x＜0)\end{cases}$ 与方程 $ax-2a-y=0$ 构成的关于$x,y$ 的二元一次方程组有两组解.
10. 请你用在学习过程中积累的经验和方法研究函数$y=-2|x|+2$的图象和性质,并解决问题.
(1) ①当$x=0$时,$y=-2|x|+2=2$.
②当$x＞0$时,$y=-2|x|+2=$
③当$x＜0$时,$y=-2|x|+2=$
显然,②和③均为某个一次函数的一部分.
(2) 在如图所示的平面直角坐标系中,作出函数$y=-2|x|+2$的图象.
(3) 已知一次函数$y=kx+b$($k$为常数,$k≠0$)的图象经过点$(1,3)$,若关于$x,y$的方程组$\begin{cases} y=kx+b,\\ y=-2|x|+2\\ \end{cases}$无解,请结合函数的图象,直接写出$k$的取值范围.
(1) ①当$x=0$时,$y=-2|x|+2=2$.
②当$x＞0$时,$y=-2|x|+2=$
$-2x+2$
.③当$x＜0$时,$y=-2|x|+2=$
$2x+2$
.显然,②和③均为某个一次函数的一部分.
(2) 在如图所示的平面直角坐标系中,作出函数$y=-2|x|+2$的图象.
(3) 已知一次函数$y=kx+b$($k$为常数,$k≠0$)的图象经过点$(1,3)$,若关于$x,y$的方程组$\begin{cases} y=kx+b,\\ y=-2|x|+2\\ \end{cases}$无解,请结合函数的图象,直接写出$k$的取值范围.
答案
10. 解:(1) ②$-2x+2$ ③$2x+2$
(2) 如图所示.
(3) $-2≤ k＜1$ 且 $k≠0$. 提示:如图,关于$x,y$ 的方程组 $\begin{cases} y=kx+b,\\ y=-2|x|+2 \end{cases}$ 无解, 表示函数 $y=kx+b$ 与 $y=-2|x|+2$ 的图象没有交点.
当 $k＞0$ 时, 一次函数呈上升状态, 要保证函数$y=kx+b$ 与 $y=-2|x|+2$ 的图象没有交点, 临界位置如图中直线 $l_1$ 所示, 此时一次函数经过点 $(1,3)$ 和点$(0,2)$,$k=1$, 在此基础上将 $l_1$ 绕点 $(1,3)$ 顺时针旋转即符合题意, 所以 $k$ 的取值范围为 $0＜k＜1$.
当 $k＜0$ 时, 一次函数呈下降状态, 要保证函数 $y=kx+b$ 与 $y=-2|x|+2$ 的图象没有交点, 临界位置如图中直线 $l_2$ 所示, 此时一次函数的图象与直线 $y=-2x+2$ 平行, $k=-2$, 在此基础上将 $l_2$ 绕点 $(1,3)$ 逆时针旋转即符合题意, 且 $k=-2$ 时也符合题意, 所以 $k$的取值范围为 $-2≤ k＜0$.
综上所述, $k$ 的取值范围为 $-2≤ k＜1$ 且 $k≠0$.
