1. 探究式子$\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(x-4)^2+1}(x≥0)$的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想:如图,取$AB=4$,作$AC⊥ AB$于$A$,$BD⊥ AB$于$B$,且$AC=1$,$BD=1$,点$E$在$AB$上,设$AE=x$,则$BE=4-x$,于是$\sqrt{x^2+1}=CE$,$\sqrt{(x-4)^2+1}=DE$,因此,可求得$CE+DE$的最小值为________,已知$y=\sqrt{(x+5)^2+5^2}-\sqrt{x^2+3^2}(x≥0)$,则$y$的最大值是________.

1. $\sqrt{20}$ $\sqrt{29}$ 解析:如图①,作点 C 关于 AB 的对称点 F,连接 FD 交 AB 于 E',连接 CD,CE',则 AF=AC=1,CE'=FE',此时 CE+DE 的值最小为 CE'+DE'=FE'+DE'=DF.
∵ AC⊥AB,BD⊥AB,
∴ AC//BD.
∵ AC=BD=1,
∴ 四边形 ABDC 是长方形,
∴ ∠FCD = 90°, CD = AB = 4.
∵ CF = CA + AF = 2,
∴ DF = $\sqrt{CF^2+CD^2} = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{20}$.

如图②,∠A = 90°,DB⊥AE,AC = 5,AB = 5,BD = 3,BE = x,则 CE = $\sqrt{5^2+(5+x)^2}$,DE = $\sqrt{x^2+3^2}$.
∵ CE - DE ≤ CD,
∴ CE - DE 的最大值为 CD 的长度,过点 D 作 DM⊥AC 交 AC 于点 M,则四边形 ABDM 为长方形,
∴ DM = AB = 5,AM = BD = 3,
∴ CM = 2,
∴ CD = $\sqrt{CM^2+DM^2} = \sqrt{2^2+5^2} = \sqrt{29}$,
∴ y 的最大值为 $\sqrt{29}$.

2. (1)已知$a,b$是正数,且$a+b=2$,求代数式$\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+4}$的最小值；
(2)已知$a,b,c$为正数,且$a+b+c=1$,求$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}$的最小值；
(3)已知$a,b$为正数,求以$\sqrt{a^2+b^2},\sqrt{4a^2+b^2},\sqrt{a^2+4b^2}$为边的三角形的面积.

2. (1)
∵ a+b=2,
∴ b=2-a,代入$\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+4}$,得$\sqrt{a^2+1}+\sqrt{(2-a)^2+2^2}$,构造如图①所示图形,其中 ED=2,AE=2,BD=1,AE⊥l,BD⊥l,在 ED 上取一点 P 使 PD=a,可得 EP=2-a,在 Rt△AEP 中,根据勾股定理得 AP = $\sqrt{(2-a)^2+2^2}$,在 Rt△BDP 中,根据勾股定理得 BP = $\sqrt{a^2+1}$,则 $\sqrt{a^2+1}+\sqrt{(2-a)^2+2^2}$ = AP+BP,
∴ 当 AP+BP 的值最小时,$\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+4}$的值最小,作点 A 关于直线 l 的对称点 C,当 B,P,C 三点共线时,AP+BP 的值最小,即为 BC 的长,延长 BD,过点 C 作 CF 垂直于 BD 的延长线,垂足为 F,则四边形 CFDE 为长方形,
∴ DF = CE = 2,ED = CF = 2,
∴ BF = BD + DF = 3,在 Rt△CFB 中,由勾股定理,得 BC = $\sqrt{CF^2+BF^2} = \sqrt{13}$,
∴ $\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+4}$的最小值为 $\sqrt{13}$.
(2)画出边长为 1 的正方形,在边上截取出长为 a,b,c 的线段,作图如图②,则 a+b+c=1,AB = $\sqrt{a^2+b^2}$,BC = $\sqrt{b^2+c^2}$,CD = $\sqrt{a^2+c^2}$,
∴ AB+BC+CD = $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}$,利用两点之间线段最短可知 AB+BC+CD ≥ AD(当且仅当 A,B,C,D 共线时取等号).
∵ AD = $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$,
∴ AB+BC+CD 的最小值为$\sqrt{2}$,
∴ $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}$的最小值为$\sqrt{2}$.
(3)分别以 2a,2b 为边长作出长方形 ABCD,则 AB = 2a,AD=2b,取 AB 的中点为 E,AD 的中点为 F,连接 EF,FC,EC,如图③,则 AE=EB=a,AF=FD=b,CD=AB=2a,BC=AD=2b,
∴ EF = $\sqrt{AF^2+AE^2} = \sqrt{a^2+b^2}$,FC = $\sqrt{FD^2+CD^2} = \sqrt{4a^2+b^2}$,EC = $\sqrt{BE^2+BC^2} = \sqrt{a^2+4b^2}$,
∴ 以 $\sqrt{a^2+b^2}$, $\sqrt{4a^2+b^2}$, $\sqrt{a^2+4b^2}$为边的三角形的面积 = $S_{△ EFC}$.
∵ $S_{△ EFC} = S_{长方形ABCD} - S_{△ AEF} - S_{△ DFC} - S_{△ BEC} = 2a · 2b - \frac{1}{2} × ab - \frac{1}{2} × b · 2a - \frac{1}{2} × a · 2b = 4ab - \frac{1}{2}ab - ab - ab = \frac{3}{2}ab$,
∴ 以 $\sqrt{a^2+b^2}$, $\sqrt{4a^2+b^2}$, $\sqrt{a^2+4b^2}$为边的三角形的面积为$\frac{3}{2}ab$.