1. 如图, A 、 B 是反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＜0)$的图象上的两点, 且 A 、 B 两点关于原点 O 中心对称,$△ ABC$是等腰三角形, 底边$AC// x$轴, 过点 C 作$CD⊥ x$轴, 交反比例函数图象于点 D. 若$S_{△ ACD}=24$, 则 k 的值为.

1. -9 解析:如图,过点 B 作 $BH⊥AC$ 于点 H,记 AC 与y 轴的交点为 E,则 $OE// BH$. $\because △ ABC$ 是等腰三角形,底边$AC// x$轴,$\therefore AH=CH$. $\because A、B$ 两点关于原点 O 中心对称,$\therefore OA=OB$,$\therefore E$ 是 $AH$ 的中点,$\therefore AH=2AE$,$\therefore AC=4AE$.设 $AE=a$, 则 $CE=3a$,$AC=4a$,$\therefore A(-a,-\dfrac{k}{a})$,$C(3a,-\dfrac{k}{a})$,$D(3a,\dfrac{k}{3a})$,$\therefore CD=-\dfrac{k}{a}-\dfrac{k}{3a}=-\dfrac{4k}{3a}$. $\because S_{△ ACD} =\dfrac{1}{2}AC· CD=24$,$\therefore \dfrac{1}{2}· 4a· (-\dfrac{4k}{3a})=24$,解得 $k=-9$.

【分析】
本题是反比例函数与几何结合的问题，解题思路如下：①利用A、B关于原点中心对称，结合等腰三角形ABC（底边AC）的性质，推导线段AC与AE的数量关系；②设参数a表示AE的长度，根据反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$上点的坐标特征，写出A、C、D三点的坐标；③利用三角形ACD的面积公式，代入坐标计算，求解k的值。
【解析】
如图，过点B作$BH⊥AC$于点H，记AC与y轴的交点为E，则$OE// BH$。
∵△ABC是等腰三角形，底边AC，
∴$AH=CH$。
又
∵A、B两点关于原点O中心对称，
∴$OA=OB$，
∴OE是△ABH的中位线，
∴$AE=EH$，即$AH=2AE$，因此$AC=2AH=4AE$。
设$AE=a(a＞0)$，则$AC=4a$，$CE=AC-AE=3a$。
∵$AC// x$轴，A在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＜0)$上，
∴A点坐标为$(-a,-\dfrac{k}{a})$，C点坐标为$(3a,-\dfrac{k}{a})$。
∵$CD⊥x$轴，D在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$上，
∴D点横坐标为$3a$，纵坐标为$\dfrac{k}{3a}$，即$D(3a,\dfrac{k}{3a})$。
CD的长度为$-\dfrac{k}{a}-\dfrac{k}{3a}=-\dfrac{4k}{3a}$，已知$S_{△ACD}=24$，根据三角形面积公式：
$S_{△ACD}=\dfrac{1}{2}×AC×CD=\dfrac{1}{2}×4a×(-\dfrac{4k}{3a})=-\dfrac{8k}{3}=24$，
解得$k=-9$。
【答案】
-9
【知识点】
反比例函数性质、中心对称、等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查反比例函数的性质、中心对称和等腰三角形的性质，通过设参数表示点坐标，利用面积公式建立方程求解，体现了数形结合的数学思想，需理清线段间的数量关系，正确运用反比例函数的坐标特征。
【难度系数】
0.4

2. 如图,反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象经过$□ OABC$的顶点$C$和对角线的交点$E$,顶点$A$在$x$轴上.若$□ OABC$的面积为12,则$k$的值为.

2. 4 解析:如图,分别过 C、E 两点作 x 轴的垂线,垂足分别为 D、F. $\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象经过$□ OABC$ 的顶点 C 和对角线的交点 E,设 $C(m,\dfrac{k}{m})$,$\therefore OD=m$,$CD=\dfrac{k}{m}$. $\because$ 四边形 OABC 为平行四边形,$\therefore E$ 为 AC 的中点. 又$\because EF// CD$,$\therefore F$ 是 AD 的中点,$\therefore EF=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{k}{2m}$,且 $DF=AF$. $\because$ 点 E 在反比例函数的图象上,$\therefore$ 点 E 的横坐标为 2m,$\therefore DF=OF-OD=m$,$\therefore OA=3m$,$\therefore S_{□ OABC}=CD· OA=\dfrac{k}{m}× 3m=12$,$\therefore k=4$.

【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的性质与反比例函数的特点：通过作辅助线构造直角三角形，利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合平行线分线段成比例得到点E的坐标，再根据平行四边形面积公式建立关于k的方程，进而求出k的值。
【解析】
如图，分别过C、E两点作x轴的垂线，垂足分别为D、F。
设点$C(m,\frac{k}{m})$，则$OD=m$，$CD=\frac{k}{m}$。
因为四边形OABC是平行四边形，所以E是AC的中点。又$EF// CD$，根据平行线分线段成比例，可得F是AD的中点，因此$EF=\frac{1}{2}CD=\frac{k}{2m}$，且$DF=AF$。
由于点E在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，故点E的坐标为$(2m,\frac{k}{2m})$，则$OF=2m$，所以$DF=OF - OD=2m - m=m$，进而$AF=DF=m$，因此$OA=OD + DF + FA=3m$。
平行四边形OABC的面积为$CD· OA=\frac{k}{m}×3m=12$，化简得$3k=12$，解得$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数性质，平行四边形性质，坐标与图形
【点评】
本题将平行四边形与反比例函数结合，考查数形结合思想，需利用平行四边形中点性质、反比例函数坐标特征及面积公式求解，是中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5

3. 如图,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＜0)$的图象经过矩形$OABC$的对角线$AC$的中点$M$,分别与$AB$、$BC$交于点$D$、$E$.若$BD=3$,$OA=4$,则$k$的值为.

3. -4 解析:设 $D(-4,m)$. $\because k＜0$,$\therefore |k|=4m$. 如图,过点 M 作 $MF⊥ OA$ 于点 F,连接 OB. 由矩形的性质可知,OB、AC 互相平分. 又$\because M$ 为 AC 的中点,$\therefore$ 点 M 在 OB 上且 $BM=OM$. $\because MF// AB$,$\therefore FA=FO$,$\therefore S_{△ OMF}=\dfrac{1}{2}S_{△ AMO}=\dfrac{1}{4}S_{△ ABO}=\dfrac{1}{4}× \dfrac{1}{2}OA· AB=\dfrac{1}{2}(3+m)$,$\therefore \dfrac{1}{2}|k|=\dfrac{1}{2}(3+m)$,$\therefore |k|=3+m$,$\therefore 3+m=4m$,$\therefore m=1$,$\therefore |k|=4$. $\because k＜0$,$\therefore k=-4$.

【分析】
要解决本题，需结合矩形性质确定各点坐标：矩形OABC中，OA在x轴上，OA=4，故A点坐标为(-4,0)；D在AB上，AB垂直于x轴，因此D点横坐标与A相同，设为(-4,m)，则AD=m，结合BD=3可得AB=m+3，进而得到B、C点坐标。利用中点坐标公式求出AC中点M的坐标，再根据反比例函数上点的横纵坐标乘积等于k，建立关于m的方程，求解后代入即可得到k的值。
【解析】
解：
∵四边形OABC是矩形，OA=4，
∴点A坐标为(-4,0)，设点D坐标为(-4,m)，则AD=m，
又
∵BD=3，
∴AB=AD+BD=m+3，
∴点B(-4, m+3)，点C(0, m+3)。
∵M是AC的中点，根据中点坐标公式，点M的坐标为：
$(\frac{-4+0}{2}, \frac{0 + m+3}{2}) = (-2, \frac{m+3}{2})$。
∵点D(-4,m)和点M都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，
根据反比例函数性质，图象上任意一点的横纵坐标乘积等于k，因此：
对于点D：$k = (-4)×m = -4m$；
对于点M：$k = (-2)×\frac{m+3}{2} = -(m+3)$；
联立得方程：$-4m = -(m+3)$，
解方程：$-4m = -m -3 → -3m = -3 → m=1$。
将m=1代入$k=-4m$，得$k=-4×1=-4$。
【答案】
-4
【知识点】
反比例函数性质、矩形性质、中点坐标公式
【点评】
本题结合矩形与反比例函数的性质，通过坐标关系建立方程求解，关键是利用反比例函数上点的坐标特征，属于中等难度的数形结合题，考查学生对几何与函数知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.4

4. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,菱形$ABCD$的顶点$A$、$D$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上,边$DC⊥ x$轴,交$x$轴于点$E$,顶点$C$在第四象限,顶点$B$在$x$轴的正半轴上.若点$A$的纵坐标为$5$,$BE=2DE$,则$k$的值为
（）


A.$\dfrac{40}{3}$
B.$10$
C.$\dfrac{20}{3}$
D.$\dfrac{10}{3}$

4. A 解析:如图,过点 D 作 $DF⊥ AB$ 于点 F. $\because$ 四边形ABCD是菱形,$DC⊥ x$轴,$\therefore AB⊥ x$轴,$AD=AB=5$. 设 $DE=a$,则 $BE=2DE=2a$,$\therefore DF=2a$,$AF=5-a$. 在$\mathrm{Rt}△ AFD$中,$AD^2=AF^2+DF^2$,$\therefore 5^2=(5-a)^2+(2a)^2$,解得 $a=2$ 或 $a=0$(不符合题意,舍去),$\therefore DE=2$,$BE=4$,$DF=4$,$BF=2$. 设$A(m,5)$,则 $D(m+4,2)$. $\because$ 菱形 ABCD 的顶点 A、D 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象上,$\therefore k=5m=2(m+4)$,解得 $m=\dfrac{8}{3}$,$\therefore k=\dfrac{40}{3}$.

【分析】
要解决本题，需结合菱形的性质、反比例函数的坐标特征与勾股定理。首先利用菱形对边相等及DC垂直x轴的条件，确定AB垂直x轴，得到菱形边长；再设DE的长度为未知数，通过直角三角形的勾股定理求出DE的值；最后根据A、D两点在反比例函数上，其横纵坐标乘积相等建立方程，求解k的值。
【解析】
如图，过点D作$DF⊥AB$于点F。
∵四边形ABCD是菱形，$DC⊥x$轴，
∴$AB⊥x$轴，$AD=AB=5$（点A纵坐标为5，AB垂直x轴，故AB长度为5），且$DF=BE$，$BF=DE$。
设$DE=a$，由$BE=2DE$得$BE=2a$，则$DF=2a$，$AF=AB - BF=5 - a$。
在$\mathrm{Rt}△AFD$中，由勾股定理得：
$AD^2=AF^2 + DF^2$，即$5^2=(5 - a)^2 + (2a)^2$，
展开整理得：$5a^2 -10a=0$，解得$a=2$（$a=0$不符合题意，舍去）。
∴$DE=2$，$BE=4$，$DF=4$，$BF=2$。
设点A的坐标为$(m,5)$，则点D的横坐标为$m + DF=m +4$，纵坐标为$5 - BF=2$，即$D(m +4,2)$。
∵点A、D在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$k=5m=2(m +4)$，
解方程得$m=\dfrac{8}{3}$，
∴$k=5×\dfrac{8}{3}=\dfrac{40}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数性质，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查菱形、反比例函数与勾股定理的应用，核心是通过几何关系确定点的坐标，利用反比例函数的坐标特征建立方程，需具备数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.5