5. 如图,菱形$ABCD$的边$AD ⊥ y$轴,垂足为$E$,顶点$A$在第二象限,顶点$B$在$y$轴的正半轴上,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象同时经过顶点$C$、$D$.若点$D$的横坐标为$1$,$BE=3DE$,则$k$的值为.

5. $\dfrac{15}{4}$ 解析:如图,过点 D 作 $DF⊥ BC$于点 F. $\because AD⊥ y$ 轴,四边形 ABCD 是菱形,$\therefore AD// BC$,$DC=BC$,$\therefore$ 四边形 BEDF 是矩形,$\therefore DF=BE$,$BF=DE=1$. $\because BE=3DE$,$\therefore DF=BE=3$. 设 $CD=CB=a$,$\therefore CF=a-1$.在$\mathrm{Rt}△ CFD$中,$CD^2=DF^2+CF^2$,$\therefore a^2=3^2+(a-1)^2$,$\therefore a=5$,$\therefore CB=5$. 设 $C(5,m)$,则 $D(1,m+3)$. $\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$的图象过点 C、D,$\therefore k=5m=1×(m+3)$,$\therefore m=\dfrac{3}{4}$,$\therefore k=5×\dfrac{3}{4}=\dfrac{15}{4}$.

【分析】
要解决本题，需结合菱形性质、反比例函数特点及勾股定理建立关系：首先由AD⊥y轴和菱形对边平行，推出BC⊥y轴，作DF⊥BC得矩形BEDF，确定线段关系；再利用D的横坐标和BE=3DE求出DE、BE长度，设菱形边长，通过勾股定理列方程求边长；最后设C、D坐标，根据反比例函数上点的横纵坐标乘积为k，列方程求解k。
【解析】
如图，过点D作DF⊥BC于点F。
∵AD⊥y轴，四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，DC=BC，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DF=BE，BF=DE。
已知点D的横坐标为1，故DE=1，又BE=3DE，
∴BE=3，即DF=3。
设菱形边长CD=CB=a，则CF=BC - BF = a - 1。
在Rt△CFD中，由勾股定理得：CD²=DF² + CF²，
即a²=3² + (a - 1)²，
展开得a²=9 + a² - 2a + 1，
化简得2a=10，解得a=5，即CB=5。
设点C的坐标为(5, m)，则点D的坐标为(1, m + 3)。
∵反比例函数y=k/x的图象经过C、D两点，
∴k=5m=1×(m + 3)，
解方程：5m = m + 3 → 4m=3 → m=3/4，
∴k=5×(3/4)=15/4。
【答案】
15/4
【知识点】
反比例函数、菱形性质、勾股定理
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题，需利用菱形性质转化线段关系，结合反比例函数k值不变性和勾股定理建立方程，考查综合应用能力。
【难度系数】
0.5

6. 如图,一次函数 $y=kx+b(k＞0)$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{8}{x}(x＞0)$ 的图象交于点 $A$, 与 $x$ 轴交于点 $B$, 与 $y$ 轴交于点 $C$,$AD⊥ x$ 轴于点 $D$,$CB=CD$, 点 $C$ 关于直线 $AD$ 对称的点为 $E$.
(1)点 $E$ 是否在这个反比例函数的图象上? 请说明理由.
(2)连接 $AE$、$DE$, 若四边形 $ACDE$ 为正方形.
①求 $k$、$b$ 的值；
②若点 $P$ 在 $y$ 轴上, 当 $|PE-PB|$ 最大时, 求点 $P$ 的坐标.

6. (1)点 E 在这个反比例函数的图象上. 理由如下:设点 A 的坐标为$(m,\dfrac{8}{m})$. $\because$ 点 C 关于直线 AD 对称的点为 E,$\therefore AD⊥ CE$,$AD$ 平分 CE. 如图,连接 CE 交 AD 于点 H,$\therefore CH=EH$. $\because CB=CD$,$OC⊥ BD$,$\therefore OB=OD$,$\therefore OC=\dfrac{1}{2}AD$. $\because AD⊥ x$轴,$\therefore CE// x$轴,$\therefore E(2m,\dfrac{4}{m})$. $\because 2m· \dfrac{4}{m}=8$,$\therefore$ 点 E 在这个反比例函数的图象上.
(2)①$\because$ 四边形 ACDE 为正方形,$\therefore AD=CE$,$AD$ 垂直平分 CE,$\therefore CH=\dfrac{1}{2}AD$. 设点 A 的坐标为$(t,\dfrac{8}{t})$,$\therefore CH=t$,$AD=\dfrac{8}{t}$,$\therefore t=\dfrac{1}{2}× \dfrac{8}{t}$,$\therefore t=2$(负值已舍去),$\therefore A(2,4)$,$C(0,2)$,把 $A(2,4)$、$C(0,2)$ 代入 $y=kx+b$,得$\begin{cases}2k+b=4,\\b=2,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}k=1,\\b=2.\end{cases}$
②如图,延长 ED 交 y 轴于点 P.$\because CB=CD$,$OC⊥ BD$,$\therefore$ 点 B 与点 D 关于 y 轴对称,$\therefore |PE-PB|=|PE-PD|$,则 P 即为符合条件的点. 由①知,$A(2,4)$,$C(0,2)$,$\therefore D(2,0)$,$E(4,2)$. 设直线 DE 的表达式为 $y=ax+n$,$\therefore \begin{cases}2a+n=0,\\4a+n=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\n=-2,\end{cases}$ $\therefore$ 直线 DE 的表达式为 $y=x-2$. 当 $x=0$ 时,$y=-2$,$\therefore P(0,-2)$. 故当 $|PE-PB|$ 最大时,点 P 的坐标为$(0,-2)$.

【分析】
(1) 要判断点E是否在反比例函数图象上，需先确定E点坐标。利用点C关于直线AD对称得CE被AD垂直平分，结合CB=CD、OC⊥BD推出OB=OD，进而得到CE平行于x轴，用A点坐标表示E点，验证其横纵坐标乘积是否等于8即可。
(2) ① 四边形ACDE为正方形时，AD=CE，结合对称得到的CH=EH、OC=1/2AD的关系，建立方程求出A点坐标，再代入一次函数解析式求解k、b；② 根据三角形三边关系，|PE-PB|最大时，P在直线DE与y轴交点，利用B、D关于y轴对称转化线段，求直线DE与y轴交点得P坐标。
【解析】
(1) 设点A坐标为$(m,\dfrac{8}{m})(m＞0)$。
∵点C关于直线AD对称的点为E，
∴AD垂直平分CE，即$CH=EH$，$CE⊥AD$。
又
∵$CB=CD$，$OC⊥BD$，
∴OC是$Rt△BCD$的中线，故$OC=\dfrac{1}{2}AD$，且$OB=OD$。
∵$AD⊥x$轴，
∴$CE// x$轴，
∴E点纵坐标等于C点纵坐标，横坐标为$m+m=2m$，C点纵坐标为$\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}×\dfrac{8}{m}=\dfrac{4}{m}$，即$E(2m,\dfrac{4}{m})$。
∵$2m·\dfrac{4}{m}=8$，满足反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$，
∴点E在这个反比例函数的图象上。
(2) ①
∵四边形ACDE为正方形，
∴$AD=CE$，又$CE=2CH$，$CH=m$，$AD=\dfrac{8}{m}$，
∴$\dfrac{8}{m}=2m$，解得$m=2$（负值舍去），
∴$A(2,4)$，$C(0,2)$。
将$A(2,4)$、$C(0,2)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}2k+b=4\\b=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=2\end{cases}$。
② 由①知，$D(2,0)$，$E(4,2)$。设直线DE的表达式为$y=ax+n$，代入得$\begin{cases}2a+n=0\\4a+n=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1\\n=-2\end{cases}$，
∴直线DE：$y=x-2$。
当$x=0$时，$y=-2$，即直线DE与y轴交点为$P(0,-2)$。
根据三角形三边关系，$|PE-PB|=|PE-PD|$（B、D关于y轴对称），当P、D、E共线时，$|PE-PD|$最大，故P点坐标为$(0,-2)$。
【答案】
(1)点E在这个反比例函数的图象上；(2)①$k=1$，$b=2$；②$P(0,-2)$
【知识点】
反比例函数、一次函数、正方形性质
【点评】
本题综合考查反比例函数与一次函数的交点问题，结合对称、正方形性质及三角形三边关系求解，需熟练掌握坐标与线段的转化，是一道综合性较强的函数几何题。
【难度系数】
0.5