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8. 若一组数据 4,5,6,a,b 的平均数为 5,则 a,b 的平均数为（
A.4
B.5
C.8
D.10
B
）A.4
B.5
C.8
D.10
答案
8. B
解析
【分析】首先明确平均数的定义：一组数据的总和等于平均数乘以数据的个数。题目给出5个数据的平均数为5，先计算这5个数据的总和，再减去已知的3个数的和，得到a与b的和，最后用a、b的和除以2，就能求出它们的平均数。
【解析】根据平均数公式：总和=平均数×数据个数。
5个数据的总和为：$5×5=25$；
已知数据4、5、6的和为：$4+5+6=15$；
则$a+b=25-15=10$；
所以a、b的平均数为：$10÷2=5$。
【答案】B
【知识点】平均数的计算
【点评】本题考查平均数的基本应用，解题核心是利用平均数公式推导未知两数的和，再计算其平均数，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】根据平均数公式：总和=平均数×数据个数。
5个数据的总和为：$5×5=25$；
已知数据4、5、6的和为：$4+5+6=15$；
则$a+b=25-15=10$；
所以a、b的平均数为：$10÷2=5$。
【答案】B
【知识点】平均数的计算
【点评】本题考查平均数的基本应用，解题核心是利用平均数公式推导未知两数的和，再计算其平均数，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
9. 在数据 4 , 5 , 6 , 5 中添加一个数据,而平均数不发生变化,则添加的数据为 （
A.0
B.5
C.4.5
D.5.5
B
）A.0
B.5
C.4.5
D.5.5
答案
9. B 解析:
∵数据4,5,6,5的平均数为$\frac{4+5+6+5}{4}=$5,
∴添加数据5,新数据的平均数仍然是5.
∵数据4,5,6,5的平均数为$\frac{4+5+6+5}{4}=$5,
∴添加数据5,新数据的平均数仍然是5.
解析
【分析】要解决这个问题，首先需计算原数据的平均数，因为添加数据后平均数不变，所以添加的数据应等于原数据的平均数，再对比选项即可得出答案。
【解析】先计算原数据4、5、6、5的平均数：$\bar{x} = \frac{4+5+6+5}{4} = \frac{20}{4} = 5$。要使添加一个数据后的平均数不变，添加的数据需等于原平均数5，观察选项，只有B选项符合要求，因此选B。
【答案】B
【知识点】平均数的计算
【点评】本题考查平均数的计算与应用，属于基础题，只要掌握平均数的计算公式就能快速解答。
【难度系数】0.8
【解析】先计算原数据4、5、6、5的平均数：$\bar{x} = \frac{4+5+6+5}{4} = \frac{20}{4} = 5$。要使添加一个数据后的平均数不变，添加的数据需等于原平均数5，观察选项，只有B选项符合要求，因此选B。
【答案】B
【知识点】平均数的计算
【点评】本题考查平均数的计算与应用，属于基础题，只要掌握平均数的计算公式就能快速解答。
【难度系数】0.8
10. 某同学使用计算器求15个数据的平均数时,错将其中一个数据15输入为45,那么由此求得的平均数与实际平均数的差是（
A.2
B.3
C.$-2$
D.$-3$
A
）A.2
B.3
C.$-2$
D.$-3$
答案
10. A
解析
【分析】要解决该问题，需明确平均数的计算规则：平均数=数据总和÷数据个数。首先分析输入错误导致的总和变化：将数据15错输为45，总和会增加；再根据平均数与总和的关系，计算平均数的差值，即总和增量除以数据个数，即可得到结果。
【解析】设15个数据的实际总和为$ S $，则实际平均数为$ \frac{S}{15} $。错输数据后，总和变为$ S -15 +45 = S +30 $，错误的平均数为$ \frac{S +30}{15} = \frac{S}{15} + 2 $。因此，求得的平均数与实际平均数的差为$ (\frac{S}{15} +2) - \frac{S}{15} =2 $。
【答案】A
【知识点】平均数的计算
【点评】本题考查平均数的意义，核心是理解总和变化对平均数的影响，解题关键在于计算总和增量，再结合数据个数求出平均数差值，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】设15个数据的实际总和为$ S $，则实际平均数为$ \frac{S}{15} $。错输数据后，总和变为$ S -15 +45 = S +30 $，错误的平均数为$ \frac{S +30}{15} = \frac{S}{15} + 2 $。因此，求得的平均数与实际平均数的差为$ (\frac{S}{15} +2) - \frac{S}{15} =2 $。
【答案】A
【知识点】平均数的计算
【点评】本题考查平均数的意义，核心是理解总和变化对平均数的影响，解题关键在于计算总和增量，再结合数据个数求出平均数差值，难度适中。
【难度系数】0.7
11. 在某次演讲比赛中,五位评委给选手圆圆打分,得到互不相等的五个分数.去掉一个最高分,平均分为$x$;去掉一个最低分,平均分为$y$;同时去掉一个最高分和一个最低分,平均分为$z$.由此可得（
A.$y＞z＞x$
B.$x＞z＞y$
C.$y＞x＞z$
D.$z＞y＞x$
A
）A.$y＞z＞x$
B.$x＞z＞y$
C.$y＞x＞z$
D.$z＞y＞x$
答案
11. A 解析:设五位评委给选手圆圆打分为a,b,c,d,e,其中a＜b＜c＜d＜e,则$x=\frac{1}{4}(a+b+c+d)$,$y=\frac{1}{4}(b+c+d+e)$,$z=\frac{1}{3}(b+c+d)$,$\therefore x-z=\frac{1}{4}(a+b+c+d)-\frac{1}{3}(b+c+d)=\frac{1}{12}(3a-b-c-d)$. $\because a＜b,a＜c,a＜d,\therefore a+a+a＜b+c+d$,即$3a-b-c-d＜0$,$\therefore x-z＜0$,$\therefore z＞x$. 同理可得$y＞z$,$\therefore y＞z＞x$.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先将五个互不相等的分数按从小到大排序，再根据平均分的定义表示出三个平均分，最后通过作差法比较它们的大小，从而得出结论。
【解析】
设五位评委的打分按从小到大排列为$a ＜ b ＜ c ＜ d ＜ e$，根据题意：
去掉一个最高分（$e$）后的平均分为：$x = \frac{1}{4}(a + b + c + d)$；
去掉一个最低分（$a$）后的平均分为：$y = \frac{1}{4}(b + c + d + e)$；
同时去掉最高分和最低分后的平均分为：$z = \frac{1}{3}(b + c + d)$。
1. 比较$x$与$z$的大小：
$\begin{aligned}x - z &= \frac{1}{4}(a + b + c + d) - \frac{1}{3}(b + c + d) \\&= \frac{3(a + b + c + d) - 4(b + c + d)}{12} \\&= \frac{3a - (b + c + d)}{12}\end{aligned}$
因为$a ＜ b$、$a ＜ c$、$a ＜ d$，所以$3a ＜ b + c + d$，即$3a - (b + c + d) ＜ 0$，因此$x - z ＜ 0$，得$z ＞ x$。
2. 比较$y$与$z$的大小：
$\begin{aligned}y - z &= \frac{1}{4}(b + c + d + e) - \frac{1}{3}(b + c + d) \\&= \frac{3(b + c + d + e) - 4(b + c + d)}{12} \\&= \frac{3e - (b + c + d)}{12}\end{aligned}$
因为$e ＞ b$、$e ＞ c$、$e ＞ d$，所以$3e ＞ b + c + d$，即$3e - (b + c + d) ＞ 0$，因此$y - z ＞ 0$，得$y ＞ z$。
综上，$y ＞ z ＞ x$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算；代数式的大小比较
【点评】
本题通过设数转化为代数运算，利用作差法比较平均分的大小，考查了平均数的实际应用和代数推理能力，解题关键是正确表示出三个平均分并通过作差判断正负。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以先将五个互不相等的分数按从小到大排序，再根据平均分的定义表示出三个平均分，最后通过作差法比较它们的大小，从而得出结论。
【解析】
设五位评委的打分按从小到大排列为$a ＜ b ＜ c ＜ d ＜ e$，根据题意：
去掉一个最高分（$e$）后的平均分为：$x = \frac{1}{4}(a + b + c + d)$；
去掉一个最低分（$a$）后的平均分为：$y = \frac{1}{4}(b + c + d + e)$；
同时去掉最高分和最低分后的平均分为：$z = \frac{1}{3}(b + c + d)$。
1. 比较$x$与$z$的大小：
$\begin{aligned}x - z &= \frac{1}{4}(a + b + c + d) - \frac{1}{3}(b + c + d) \\&= \frac{3(a + b + c + d) - 4(b + c + d)}{12} \\&= \frac{3a - (b + c + d)}{12}\end{aligned}$
因为$a ＜ b$、$a ＜ c$、$a ＜ d$，所以$3a ＜ b + c + d$，即$3a - (b + c + d) ＜ 0$，因此$x - z ＜ 0$，得$z ＞ x$。
2. 比较$y$与$z$的大小：
$\begin{aligned}y - z &= \frac{1}{4}(b + c + d + e) - \frac{1}{3}(b + c + d) \\&= \frac{3(b + c + d + e) - 4(b + c + d)}{12} \\&= \frac{3e - (b + c + d)}{12}\end{aligned}$
因为$e ＞ b$、$e ＞ c$、$e ＞ d$，所以$3e ＞ b + c + d$，即$3e - (b + c + d) ＞ 0$，因此$y - z ＞ 0$，得$y ＞ z$。
综上，$y ＞ z ＞ x$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算；代数式的大小比较
【点评】
本题通过设数转化为代数运算，利用作差法比较平均分的大小，考查了平均数的实际应用和代数推理能力，解题关键是正确表示出三个平均分并通过作差判断正负。
【难度系数】
0.6
12. 已知数据$2,3,4,x_{1},x_{2},x_{3}$的平均数是5，则$x_{1},x_{2},x_{3}$的平均数是
7
。答案
12. 7 解析:
∵2,3,4,$x_1$,$x_2$,$x_3$的平均数是5,
∴2+3+4+$x_1$+$x_2$+$x_3$=5×6,
∴$x_1$+$x_2$+$x_3$=21,则$x_1$,$x_2$,$x_3$的平均数是21÷3=7.
∵2,3,4,$x_1$,$x_2$,$x_3$的平均数是5,
∴2+3+4+$x_1$+$x_2$+$x_3$=5×6,
∴$x_1$+$x_2$+$x_3$=21,则$x_1$,$x_2$,$x_3$的平均数是21÷3=7.
解析
【分析】
要解决该问题，需利用平均数的核心定义：一组数据的总和等于其平均数乘以数据的总个数。先根据6个数据的平均数求出这组数据的总和，再减去已知的三个数的和，得到$x_1,x_2,x_3$的总和，最后除以3即可算出它们的平均数。
【解析】
根据平均数公式：总和 = 平均数×数据个数，
已知$2,3,4,x_1,x_2,x_3$共6个数据，平均数为5，因此这6个数的总和为：
$5×6 = 30$；
已知的三个数$2,3,4$的和为：$2 + 3 + 4 = 9$；
由此可得$x_1 + x_2 + x_3 = 30 - 9 = 21$；
则$x_1,x_2,x_3$的平均数为：$21÷3 = 7$。
【答案】
7
【知识点】
平均数的计算
【点评】
本题是平均数的基础应用题，核心考查平均数与总和的转换关系，步骤简单清晰，属于基础题型，适合巩固平均数相关知识点。
【难度系数】
0.8
要解决该问题，需利用平均数的核心定义：一组数据的总和等于其平均数乘以数据的总个数。先根据6个数据的平均数求出这组数据的总和，再减去已知的三个数的和，得到$x_1,x_2,x_3$的总和，最后除以3即可算出它们的平均数。
【解析】
根据平均数公式：总和 = 平均数×数据个数，
已知$2,3,4,x_1,x_2,x_3$共6个数据，平均数为5，因此这6个数的总和为：
$5×6 = 30$；
已知的三个数$2,3,4$的和为：$2 + 3 + 4 = 9$；
由此可得$x_1 + x_2 + x_3 = 30 - 9 = 21$；
则$x_1,x_2,x_3$的平均数为：$21÷3 = 7$。
【答案】
7
【知识点】
平均数的计算
【点评】
本题是平均数的基础应用题，核心考查平均数与总和的转换关系，步骤简单清晰，属于基础题型，适合巩固平均数相关知识点。
【难度系数】
0.8
13. 某小组6名学生的平均身高为$a\ \mathrm{cm}$，规定超过$a\ \mathrm{cm}$的部分记为正数，不足$a\ \mathrm{cm}$的部分记为负数，他们的身高与平均身高的差值情况如下表所示.
据此判断，2号学生的身高为
据此判断，2号学生的身高为
$(a+1)$
$\mathrm{cm}$.答案
13. $(a+1)$ 解析:根据题意,得2+x+3-1-4-1=0,解得x=1,故2号学生的身高为$(a+1)$ cm.
解析
【分析】要计算2号学生的身高，需利用平均身高的性质：6名学生身高与平均身高的差值总和为0，先求出未知差值$x$，再根据“身高=平均身高+差值”计算结果。
【解析】因为6名学生的平均身高为$a\ \mathrm{cm}$，所以他们身高与平均身高的差值总和为0，据此列方程：
$(+2) + x + (+3) + (-1) + (-4) + (-1) = 0$
计算左边的数值：$2 + 3 -1 -4 -1 + x = -1 + x$
则$-1 + x = 0$，解得$x=1$
因此2号学生的身高为$a + x = a + 1\ (\mathrm{cm})$
【答案】$(a+1)$
【知识点】有理数的加减运算、平均数的应用
【点评】本题结合正负数的意义考查平均数的应用，核心是理解“身高与平均身高的差值总和为0”，属于基础应用题，难度较低。
【难度系数】0.6
【解析】因为6名学生的平均身高为$a\ \mathrm{cm}$，所以他们身高与平均身高的差值总和为0，据此列方程：
$(+2) + x + (+3) + (-1) + (-4) + (-1) = 0$
计算左边的数值：$2 + 3 -1 -4 -1 + x = -1 + x$
则$-1 + x = 0$，解得$x=1$
因此2号学生的身高为$a + x = a + 1\ (\mathrm{cm})$
【答案】$(a+1)$
【知识点】有理数的加减运算、平均数的应用
【点评】本题结合正负数的意义考查平均数的应用，核心是理解“身高与平均身高的差值总和为0”，属于基础应用题，难度较低。
【难度系数】0.6
14.【新情境】在一座环形岛屿边上有五个按顺时针排列的港口 A、B、C、D、E，它们分别有货运船 20 艘、16 艘、8 艘、12 艘、19 艘. 只允许相邻港口间调动货运船，最少调动
16
艘货运船，可以使每个港口货运船数量相同.答案
14. 16 解析:$\frac{20+16+8+12+19}{5}=15$(艘),故从A港调5艘到B港,从B港调6艘到C港,从E港调4艘到D港,从D港调1艘到C港,
∴5+6+4+1=16(艘),即最少调动16艘货运船,可以使每个港口货运船数量相同.
∴5+6+4+1=16(艘),即最少调动16艘货运船,可以使每个港口货运船数量相同.
解析
【分析】首先计算五个港口货运船的平均数量，确定每个港口需达到的目标数量；再通过分析相邻港口间的调动关系，转化为绝对值求和的最小值问题，找到总调动数量最少的方案。
【解析】先计算平均每个港口的货运船数量：$\frac{20+16+8+12+19}{5}=15$（艘），即每个港口最终需有15艘船。根据相邻港口仅能互相调动的规则，设计调动方案：A港调5艘到B港，B港调6艘到C港，E港调4艘到D港，D港调1艘到C港，此时总调动数量为$5+6+4+1=16$艘，该方案为最少调动量。
【答案】16
【知识点】环形物资调配、绝对值求和最小值
【点评】本题为新情境下的环形物资调配问题，核心是通过计算平均量确定目标值，利用相邻调动的关系转化为绝对值求和的最小值问题，关键在于理清调动方向与数量的平衡关系。
【难度系数】0.5
【解析】先计算平均每个港口的货运船数量：$\frac{20+16+8+12+19}{5}=15$（艘），即每个港口最终需有15艘船。根据相邻港口仅能互相调动的规则，设计调动方案：A港调5艘到B港，B港调6艘到C港，E港调4艘到D港，D港调1艘到C港，此时总调动数量为$5+6+4+1=16$艘，该方案为最少调动量。
【答案】16
【知识点】环形物资调配、绝对值求和最小值
【点评】本题为新情境下的环形物资调配问题，核心是通过计算平均量确定目标值，利用相邻调动的关系转化为绝对值求和的最小值问题，关键在于理清调动方向与数量的平衡关系。
【难度系数】0.5
15. 某学校为响应“双减”政策，向学生提供晚餐服务. 已知该校共有 500 名学生，为了做好学生们的取餐、用餐工作，学校首先调查了全体学生的晚餐意向，调查结果如图 1 所示. 为避免就餐拥堵，随机邀请了 100 名有意向在食堂就餐的学生进行用餐模拟演练，用餐时间（包含回收餐具所用时间）如图 2 所示.
(1)学校食堂每天需要准备多少份晚餐？
(2)请你根据图 2 估计该校学生在食堂就餐时间不超过 17 min 的人数.
(3)根据图 2 的用餐时间统计图，请你估计该校学生在食堂就餐的平均用餐时间.
(1)学校食堂每天需要准备多少份晚餐？
(2)请你根据图 2 估计该校学生在食堂就餐时间不超过 17 min 的人数.
(3)根据图 2 的用餐时间统计图，请你估计该校学生在食堂就餐的平均用餐时间.
答案
15. (1)$500×62\%=310$(份).答:学校食堂每天需要准备310份晚餐.
(2)$310×\frac{20+40}{100}=186$(人).答:估计该校学生在食堂就餐时间不超过17 min的有186人.
(3)$\frac{1}{100}×(14×20+16×40+18×14+20×22+22×4)=17$(min).答:估计该校学生在食堂就餐的平均用餐时间为17 min.
(2)$310×\frac{20+40}{100}=186$(人).答:估计该校学生在食堂就餐时间不超过17 min的有186人.
(3)$\frac{1}{100}×(14×20+16×40+18×14+20×22+22×4)=17$(min).答:估计该校学生在食堂就餐的平均用餐时间为17 min.
解析
【分析】
本题需结合扇形统计图和条形统计图的信息解决三个实际问题：
1. 求食堂晚餐份数，利用扇形图中食堂就餐学生占比乘以总学生数；
2. 估计食堂就餐时间不超过17min的人数，先从100名模拟学生中算出该时间段的人数占比，再乘以食堂总人数；
3. 计算平均用餐时间，采用加权平均数的方法，用每组组中值乘以对应人数，求和后除以总模拟人数，体现样本估计总体的思想。
【解析】
(1) 由图1可知，在食堂就餐的学生占总人数的62%，该校共有500名学生，因此食堂需要准备的晚餐份数为：
$500×62\% = 310$（份）；
(2) 由图2可知，随机邀请的100名食堂就餐学生中，用餐时间不超过17min的人数为$20 + 40 = 60$（人），占比为$\frac{60}{100}$，因此该校食堂就餐学生中用餐时间不超过17min的人数约为：
$310×\frac{20 + 40}{100} = 186$（人）；
(3) 计算平均用餐时间时，每组取组中值：13min组中值为14，15min组中值为16，17min组中值为18，19min组中值为20，21min组中值为22，因此平均用餐时间为：
$\frac{1}{100}×(14×20 + 16×40 + 18×14 + 20×22 + 22×4)$
$=\frac{1}{100}×(280 + 640 + 252 + 440 + 88)$
$=\frac{1}{100}×1700 = 17$（min）；
【答案】
(1) 310份；(2) 186人；(3) 17min
【知识点】
扇形统计图、条形统计图、加权平均数
【点评】
本题考查统计图表的实际应用，核心是从两种统计图中提取有效数据，结合百分比和加权平均数的计算方法解决问题，需掌握样本估计总体的统计思想，属于基础统计应用题。
【难度系数】
0.6
本题需结合扇形统计图和条形统计图的信息解决三个实际问题：
1. 求食堂晚餐份数，利用扇形图中食堂就餐学生占比乘以总学生数；
2. 估计食堂就餐时间不超过17min的人数，先从100名模拟学生中算出该时间段的人数占比，再乘以食堂总人数；
3. 计算平均用餐时间，采用加权平均数的方法，用每组组中值乘以对应人数，求和后除以总模拟人数，体现样本估计总体的思想。
【解析】
(1) 由图1可知，在食堂就餐的学生占总人数的62%，该校共有500名学生，因此食堂需要准备的晚餐份数为：
$500×62\% = 310$（份）；
(2) 由图2可知，随机邀请的100名食堂就餐学生中，用餐时间不超过17min的人数为$20 + 40 = 60$（人），占比为$\frac{60}{100}$，因此该校食堂就餐学生中用餐时间不超过17min的人数约为：
$310×\frac{20 + 40}{100} = 186$（人）；
(3) 计算平均用餐时间时，每组取组中值：13min组中值为14，15min组中值为16，17min组中值为18，19min组中值为20，21min组中值为22，因此平均用餐时间为：
$\frac{1}{100}×(14×20 + 16×40 + 18×14 + 20×22 + 22×4)$
$=\frac{1}{100}×(280 + 640 + 252 + 440 + 88)$
$=\frac{1}{100}×1700 = 17$（min）；
【答案】
(1) 310份；(2) 186人；(3) 17min
【知识点】
扇形统计图、条形统计图、加权平均数
【点评】
本题考查统计图表的实际应用，核心是从两种统计图中提取有效数据，结合百分比和加权平均数的计算方法解决问题，需掌握样本估计总体的统计思想，属于基础统计应用题。
【难度系数】
0.6
