9. 新题型 新定义 在平面直角坐标系$xOy$中,直线$l$为第一、三象限角平分线,点$P$关于$y$轴的对称点称为点$P$的一次反射点,记作$P_1$;$P_1$关于直线$l$的对称点称为点$P$的二次反射点,记作$P_2$.例如,点$(-2,5)$的一次反射点为$(2,5)$,二次反射点为$(5,2)$.根据定义,回答下列问题:

(1)点$(3,4)$的一次反射点为,二次反射点为;
(2)当点$A$在第三象限时,点$M(-4,1)$、$N(3,-1)$,$Q(-1,-5)$中可以是点$A$的二次反射点的是;
(3)若点$A$在第二象限,点$A_1,A_2$分别是点$A$的一次、二次反射点,$∠ A_1OA_2=50°$,求射线$OA$与$x$轴所夹锐角的度数.

9. (1)(-3,4) (4,-3) 解析:点(3,4)的一次反射点为(-3,4),二次反射点横、纵坐标互换,为(4,-3).
(2)M(-4,1) 解析:
∵点A在第三象限,
∴点A的一次反射点在第四象限,二次反射点在第二象限,
∴点M(-4,1),N(3,-1),Q(-1,-5)中可以是点A的二次反射点的是M(-4,1).
(3)如图,
∵∠A₁OA₂=50°,
∴OA₁与x轴的夹角为20°或70°,根据对称性可知,OA与x轴所夹锐角的度数为20°或70°.

10. (2025·兰州期末)在平面直角坐标系$xOy$中,已知点$M(m,n)$,过点$(m,0)$且垂直于$x$轴的直线记为直线$x=m$,过点$(0,n)$且垂直于$y$轴的直线记为直线$y=n$.给出如下定义:将图形$G$关于直线$x=m$对称得到图形$G_1$,再将图形$G_1$关于直线$y=n$对称得到图形$G_2$,则称图形$G_2$是图形$G$关于点$M$的双对称图形.
(1)已知点$M$的坐标为$(0,1)$,点$N(2,3)$关于点$M$的双对称图形点$N_2$的坐标为.
(2)如图,$△ ABC$的顶点坐标是$A(-2,3)$,$B(-4,1)$,$C(0,1)$.
①已知点$M$的坐标是$(1,-1)$,写出点$A,B$,$C$关于$M$的双对称图形点的坐标$A_2$,$B_2$,$C_2$;
②已知点$M$的坐标为$(1,-1)$,点$P(4,n)$,点$Q(4,n+1)$,线段$PQ$关于点$M$的双对称图形线段$P_2Q_2$位于$△ ABC$内部(不含三角形的边),求$n$的取值范围.

10. (1)(-2,-1) 解析:由题意可知,点N(2,3)关于直线x=0的对称点是N₁(-2,3),点N₁(-2,3)关于直线y=1对称的点是N₂(-2,-1),
∴点N(2,3)关于点M的双对称图形点N₂的坐标是(-2,-1).
(2)①(4,-5) (6,-3) (2,-3) 解析:
∵点M的坐标是(1,-1),
∴两条对称轴分别为直线x=1和直线y=-1,
∴点A(-2,3),B(-4,1),C(0,1)关于直线x=1的对称点分别为A₁(4,3),B₁(6,1),C₁(2,1),
∴点A₁(4,3),B₁(6,1),C₁(2,1)关于直线y=-1的对称点分别为A₂(4,-5),B₂(6,-3),C₂(2,-3),
∴点A,B,C关于M的双对称图形点的坐标A₂(4,-5),B₂(6,-3),C₂(2,-3).
②如图,
∵M(1,-1),
∴两条对称轴分别为直线x=1和直线y=-1,点P(4,n),Q(4,n+1)关于直线x=1的对称点分别为P₁(-2,n),Q₁(-2,n+1),
∴点P₁(-2,n),Q₁(-2,n+1)关于直线y=-1的对称点分别为P₂(-2,-2-n),Q₂(-2,-3-n),
∴P₂Q₂在直线x=-2上,若P₂Q₂位于
△ABC内部(不含三角形的边),则需要满足$\begin{cases} -2-n$＜3, \\ -3-n＞$1, \end{cases}$
∴-5＜n＜-4.