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1. (2024·杭州市钱塘区期末)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边AB上,将△BCE沿CE翻折,使点B恰好与AD边上的点F重合。若△AEF与△CDF的周长分别为12和42,则DF的长为 (
A.12
B.15
C.24
D.30
B
)A.12
B.15
C.24
D.30
答案
由折叠的性质,得BE=EF,CF=BC。因为四边形ABCD为平行四边形,所以AD=BC,AB=CD,所以AD=CF,AB=AE+BE=AE+EF,AF=AD-DF=CF-DF。因为△AEF的周长为12,所以AE+EF+AF=AB+CF-DF=12。又因为△CDF的周长为42,所以CD+DF+CF=AB+DF+CF=42,所以AB+DF+CF-(AB+CF-DF)=42-12,即2DF=30,解得DF=15。
解析
【分析】
要解决本题，需结合折叠的性质与平行四边形的性质：首先利用折叠后对应边相等的特点，得到BE=EF、CF=BC；再利用平行四边形对边相等的性质，将两个三角形的周长转化为含AB、CF、DF的表达式，通过两个周长的差建立关于DF的方程，进而求出DF的长度。
【解析】
1. 由折叠的性质可知，△BCE沿CE翻折后点B与F重合，因此对应边相等：BE=EF，CF=BC。
2. 因为四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，得AD=BC，AB=CD，由此可得AD=CF，且AB=AE+BE=AE+EF。
3. 已知△AEF的周长为12，即：
AE + EF + AF = 12
将AF=AD - DF=CF - DF，以及AE+EF=AB代入上式，可得：
AB + (CF - DF) = 12 ①
4. 已知△CDF的周长为42，即：
CD + DF + CF = 42
又因为CD=AB，代入得：
AB + DF + CF = 42 ②
5. 用②式减去①式：
(AB + DF + CF) - (AB + CF - DF) = 42 - 12
化简得：2DF = 30，解得DF=15。
【答案】
15
【知识点】
平行四边形性质、折叠性质、三角形周长计算
【点评】
本题综合考查折叠的性质和平行四边形的性质，解题核心是将两个三角形的周长转化为与平行四边形边长相关的表达式，通过代数运算求解未知边，是一道中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合折叠的性质与平行四边形的性质：首先利用折叠后对应边相等的特点，得到BE=EF、CF=BC；再利用平行四边形对边相等的性质，将两个三角形的周长转化为含AB、CF、DF的表达式，通过两个周长的差建立关于DF的方程，进而求出DF的长度。
【解析】
1. 由折叠的性质可知，△BCE沿CE翻折后点B与F重合，因此对应边相等：BE=EF，CF=BC。
2. 因为四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，得AD=BC，AB=CD，由此可得AD=CF，且AB=AE+BE=AE+EF。
3. 已知△AEF的周长为12，即：
AE + EF + AF = 12
将AF=AD - DF=CF - DF，以及AE+EF=AB代入上式，可得：
AB + (CF - DF) = 12 ①
4. 已知△CDF的周长为42，即：
CD + DF + CF = 42
又因为CD=AB，代入得：
AB + DF + CF = 42 ②
5. 用②式减去①式：
(AB + DF + CF) - (AB + CF - DF) = 42 - 12
化简得：2DF = 30，解得DF=15。
【答案】
15
【知识点】
平行四边形性质、折叠性质、三角形周长计算
【点评】
本题综合考查折叠的性质和平行四边形的性质，解题核心是将两个三角形的周长转化为与平行四边形边长相关的表达式，通过代数运算求解未知边，是一道中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
2. 如图，在$□ ABCD$中，$E$为边$CD$上一点，将$△ ADE$沿$AE$折叠至$△ AD'E$处，$AD'$与$CE$交于点$F$。若$∠ B=50°$，$∠ DAE=20°$，则$∠ FED'$的大小为$\underline{\hspace{3em}}°$。
答案
40
解析
【分析】首先利用平行四边形对角相等的性质得到∠D的度数，再根据折叠的性质得出对应角相等，结合三角形内角和求出∠AED的度数，最后通过平角的性质和角的差计算出∠FED'的大小。
【解析】在平行四边形$ABCD$中，$∠ D = ∠ B = 50°$。由折叠的性质可知，$△ ADE ≌ △ AD'E$，因此$∠ D' = ∠ D = 50°$，$∠ DAE = ∠ D'AE = 20°$，$∠ AED = ∠ AED'$。在$△ ADE$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ AED = 180° - ∠ D - ∠ DAE = 180° - 50° - 20° = 110°$，故$∠ AED' = 110°$。因为$CD$为直线，所以$∠ AED + ∠ AEC = 180°$，则$∠ AEC = 180° - 110° = 70°$。因此，$∠ FED' = ∠ AED' - ∠ AEC = 110° - 70° = 40°$。
【答案】40
【知识点】平行四边形性质、折叠性质、三角形内角和
【点评】本题综合考查平行四边形与折叠的性质，关键是找准折叠前后的对应角相等，结合三角形内角和与平角的关系推导所求角度，属于基础几何角度计算问题。
【难度系数】0.5
【解析】在平行四边形$ABCD$中，$∠ D = ∠ B = 50°$。由折叠的性质可知，$△ ADE ≌ △ AD'E$，因此$∠ D' = ∠ D = 50°$，$∠ DAE = ∠ D'AE = 20°$，$∠ AED = ∠ AED'$。在$△ ADE$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ AED = 180° - ∠ D - ∠ DAE = 180° - 50° - 20° = 110°$，故$∠ AED' = 110°$。因为$CD$为直线，所以$∠ AED + ∠ AEC = 180°$，则$∠ AEC = 180° - 110° = 70°$。因此，$∠ FED' = ∠ AED' - ∠ AEC = 110° - 70° = 40°$。
【答案】40
【知识点】平行四边形性质、折叠性质、三角形内角和
【点评】本题综合考查平行四边形与折叠的性质，关键是找准折叠前后的对应角相等，结合三角形内角和与平角的关系推导所求角度，属于基础几何角度计算问题。
【难度系数】0.5
3. (2025·金华市兰溪市期末)如图，O是$□ ABCD$对角线AC的中点，沿过点O的直线MN将$□ ABCD$折叠，使点A，B分别落在$A'$，$B'$处，$NB'$交CD与点E，若E是CD的中点，$NC=3$，$NB=7$，则$EB'=$
2
。答案
如图，联结OE。在□ABCD中，因为NC=3，NB=7，所以BC=NC+NB=AD=10。又因为O是AC的中点，E是CD的中点，所以AD//OE//BC，所以∠EON=∠ONB，OE=1/2 AD=5。由折叠的性质，得NB=NB'=7，∠ONB=∠ONE，所以∠EON=∠ONE，所以NE=OE=5，所以EB'=NB'-NE=7-5=2。
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的性质、三角形中位线定理和折叠的性质逐步推导：首先利用平行四边形对边相等求出BC的长度；再根据O、E分别为AC、CD的中点，得到OE是△ACD的中位线，进而求出OE的长度；接着利用折叠的性质得到NB=NB'及角相等，结合平行线的内错角相等，推出△ONE为等腰三角形，得到NE=OE；最后通过NB'与NE的差求出EB'。
【解析】
1. 求BC的长度：在平行四边形ABCD中，BC = NB + NC = 7 + 3 = 10，由平行四边形对边相等得AD = BC = 10。
2. 求OE的长度：因为O是AC的中点，E是CD的中点，所以OE是△ACD的中位线，根据三角形中位线定理，OE // AD，且OE = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$×10 = 5。又因为AD // BC，所以OE // BC，故∠EON = ∠ONB。
3. 利用折叠性质推导NE的长度：由折叠的性质可知，NB = NB' = 7，且∠ONB = ∠ONE，因此∠EON = ∠ONE，即△ONE为等腰三角形，所以NE = OE = 5。
4. 计算EB'：EB' = NB' - NE = 7 - 5 = 2。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形性质、三角形中位线定理、折叠的性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、三角形中位线及折叠的性质，关键是利用中位线定理得到OE的长度，再结合角的关系判定等腰三角形，难度适中，需熟练掌握相关几何性质的应用。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需结合平行四边形的性质、三角形中位线定理和折叠的性质逐步推导：首先利用平行四边形对边相等求出BC的长度；再根据O、E分别为AC、CD的中点，得到OE是△ACD的中位线，进而求出OE的长度；接着利用折叠的性质得到NB=NB'及角相等，结合平行线的内错角相等，推出△ONE为等腰三角形，得到NE=OE；最后通过NB'与NE的差求出EB'。
【解析】
1. 求BC的长度：在平行四边形ABCD中，BC = NB + NC = 7 + 3 = 10，由平行四边形对边相等得AD = BC = 10。
2. 求OE的长度：因为O是AC的中点，E是CD的中点，所以OE是△ACD的中位线，根据三角形中位线定理，OE // AD，且OE = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$×10 = 5。又因为AD // BC，所以OE // BC，故∠EON = ∠ONB。
3. 利用折叠性质推导NE的长度：由折叠的性质可知，NB = NB' = 7，且∠ONB = ∠ONE，因此∠EON = ∠ONE，即△ONE为等腰三角形，所以NE = OE = 5。
4. 计算EB'：EB' = NB' - NE = 7 - 5 = 2。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形性质、三角形中位线定理、折叠的性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、三角形中位线及折叠的性质，关键是利用中位线定理得到OE的长度，再结合角的关系判定等腰三角形，难度适中，需熟练掌握相关几何性质的应用。
【难度系数】
0.4
4.(2025·杭州市钱塘区期末)如图,在$□ ABCD$中,点E在AB上,点F在CD上,将$□ ABCD$沿EF折叠,使得点A与点C重合,得到四边形ECGF,点D的对应点为点G。若$∠B=60°,AB=9,BC=6$,则DF的长是
15/4
。答案
如图,联结AC交EF于点O,过点E作EH⊥BC于点H,所以∠EHB=∠EHC=90°。因为四边形ABCD是平行四边形,AB=9,BC=6,所以CD=AB=9,AB//CD。在Rt△EBH中,∠B=60°,设BH=a,则CH=6-a,所以∠BEH=90°-∠B=30°,所以BE=2BH=2a,所以AE=AB-BE=9-2a。由勾股定理,得EH=√(BE²-BH²)=√((2a)²-a²)=√3 a。由折叠的性质,得AE=CE=9-2a,EF⊥AC,OA=OC。在Rt△ECH中,由勾股定理,得CE²=EH²+CH²,所以(9-2a)²=(√3 a)²+(6-a)²,解得a=15/8。所以AE=9-2a=21/4。因为EF⊥AC,所以∠AOE=∠COF=90°。因为AB//CD,所以∠OAE=∠OCF。在△OAE和△OCF中,因为{∠AOE=∠COF=90°, OA=OC, ∠OAE=∠OCF, 所以△OAE≌△OCF(ASA),所以AE=CF=21/4,所以DF=CD-CF=9-21/4=15/4。
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的性质、折叠的性质，通过设未知数建立方程求解，再利用全等三角形转化线段长度。具体思路：①连接AC交EF于O，作EH⊥BC于H，利用平行四边形对边相等、平行的性质；②在Rt△EBH中，结合∠B=60°设BH=a，表示BE、AE，由折叠性质得AE=CE；③在Rt△ECH中用勾股定理列方程求出a，进而得到AE的长度；④证明△OAE≌△OCF，得到CF=AE，最后用CD减去CF即可得到DF的长度。
【解析】
解：连接AC交EF于点O，过点E作EH⊥BC于点H，
∴∠EHB=∠EHC=90°。
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=9，BC=6，
∴CD=AB=9，AB//CD。
在Rt△EBH中，∠B=60°，设BH=a，则CH=6 - a，∠BEH=90° - 60°=30°，
∴BE=2BH=2a，
∴AE=AB - BE=9 - 2a。
由勾股定理得：EH=√(BE² - BH²)=√((2a)² - a²)=√3 a。
根据折叠的性质，得AE=CE=9 - 2a，EF⊥AC，OA=OC。
在Rt△ECH中，由勾股定理得：CE²=EH² + CH²，即(9 - 2a)²=(√3 a)² + (6 - a)²，
展开化简：81 - 36a + 4a²=3a² + 36 -12a +a² → 45=24a → a=15/8。
∴AE=9 - 2×(15/8)=21/4。
∵EF⊥AC，
∴∠AOE=∠COF=90°，又AB//CD，
∴∠OAE=∠OCF。
在△OAE和△OCF中：
$\{\begin{array}{l}∠AOE=∠COF\\ OA=OC\\ ∠OAE=∠OCF\end{array} $
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴CF=AE=21/4。
∴DF=CD - CF=9 - 21/4=15/4。
【答案】
15/4
【知识点】
平行四边形性质、折叠性质、勾股定理、全等三角形判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、折叠、勾股定理及全等三角形的知识，通过作辅助线建立方程求解线段，利用全等转化线段长度，需要学生具备几何推理和方程思想的应用能力，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合平行四边形的性质、折叠的性质，通过设未知数建立方程求解，再利用全等三角形转化线段长度。具体思路：①连接AC交EF于O，作EH⊥BC于H，利用平行四边形对边相等、平行的性质；②在Rt△EBH中，结合∠B=60°设BH=a，表示BE、AE，由折叠性质得AE=CE；③在Rt△ECH中用勾股定理列方程求出a，进而得到AE的长度；④证明△OAE≌△OCF，得到CF=AE，最后用CD减去CF即可得到DF的长度。
【解析】
解：连接AC交EF于点O，过点E作EH⊥BC于点H，
∴∠EHB=∠EHC=90°。
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=9，BC=6，
∴CD=AB=9，AB//CD。
在Rt△EBH中，∠B=60°，设BH=a，则CH=6 - a，∠BEH=90° - 60°=30°，
∴BE=2BH=2a，
∴AE=AB - BE=9 - 2a。
由勾股定理得：EH=√(BE² - BH²)=√((2a)² - a²)=√3 a。
根据折叠的性质，得AE=CE=9 - 2a，EF⊥AC，OA=OC。
在Rt△ECH中，由勾股定理得：CE²=EH² + CH²，即(9 - 2a)²=(√3 a)² + (6 - a)²，
展开化简：81 - 36a + 4a²=3a² + 36 -12a +a² → 45=24a → a=15/8。
∴AE=9 - 2×(15/8)=21/4。
∵EF⊥AC，
∴∠AOE=∠COF=90°，又AB//CD，
∴∠OAE=∠OCF。
在△OAE和△OCF中：
$\{\begin{array}{l}∠AOE=∠COF\\ OA=OC\\ ∠OAE=∠OCF\end{array} $
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴CF=AE=21/4。
∴DF=CD - CF=9 - 21/4=15/4。
【答案】
15/4
【知识点】
平行四边形性质、折叠性质、勾股定理、全等三角形判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、折叠、勾股定理及全等三角形的知识，通过作辅助线建立方程求解线段，利用全等转化线段长度，需要学生具备几何推理和方程思想的应用能力，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
5. 如图, 在 $□ ABCD$ 中, 将 $△ ADC$ 沿 $AC$ 折叠后, 点 $D$ 恰好落在 $DC$ 的延长线上的点 $E$ 处, 若 $∠ B = 60°, AB = 3$, 求:
(1)$△ ADE$ 的周长。
(2)$△ ACO$ 的面积。
(1)$△ ADE$ 的周长。
(2)$△ ACO$ 的面积。
答案
(1)解:因为将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处,所以AD=AE,CD=CE。因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD=3=CE,∠B=∠D=60°,所以△ADE是等边三角形,DE=CD+CE=6,所以△ADE的周长为6×3=18。
(2)解:因为将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处,所以∠ACD=∠ACE=90°。在Rt△ACD中,AD=DE=6,CD=3,由勾股定理,得AC=√(AD²-CD²)=√(6²-3²)=3√3。因为AB//CD,CD=CE,所以AB//CE,AB=CE,所以四边形ABEC是平行四边形,所以OA=OE,所以S△ACO=1/2 S△ACE=1/2·1/2 AC·CE=1/2×1/2×3√3×3=9√3/4。
(2)解:因为将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处,所以∠ACD=∠ACE=90°。在Rt△ACD中,AD=DE=6,CD=3,由勾股定理,得AC=√(AD²-CD²)=√(6²-3²)=3√3。因为AB//CD,CD=CE,所以AB//CE,AB=CE,所以四边形ABEC是平行四边形,所以OA=OE,所以S△ACO=1/2 S△ACE=1/2·1/2 AC·CE=1/2×1/2×3√3×3=9√3/4。
解析
【分析】
本题需结合平行四边形性质、折叠的性质逐步推导：第(1)问利用折叠得到对应边相等，结合平行四边形对边相等、对角相等，判断△ADE为等边三角形，进而计算周长；第(2)问由折叠得出直角，用勾股定理求AC，再通过平行四边形判定得到ABEC为平行四边形，利用对角线平分的性质计算△ACO的面积。
【解析】
(1) 由折叠性质得：AD=AE，CD=CE。
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD=3，∠B=∠D=60°，
因此CE=CD=3，AD=AE，又∠D=60°，故△ADE是等边三角形，
则DE=CD+CE=3+3=6，
所以△ADE的周长=3×6=18。
(2) 由折叠性质得：∠ACD=∠ACE，
因为点E在DC的延长线上，所以∠ACD+∠ACE=180°，
故∠ACD=∠ACE=90°，即△ACD是直角三角形。
在Rt△ACD中，AD=DE=6，CD=3，根据勾股定理：
AC=√(AD² - CD²)=√(6² - 3²)=3√3。
因为AB//CD，CD=CE，所以AB//CE且AB=CE，四边形ABEC是平行四边形，
因此对角线AE与BC互相平分，O为AE中点，
则S△ACE=1/2×AC×CE=1/2×3√3×3=9√3/2，
所以S△ACO=1/2 S△ACE=1/2×9√3/2=9√3/4。
【答案】
(1) 18；(2) 9√3/4
【知识点】
平行四边形性质、折叠性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、折叠的几何性质，需熟练运用折叠前后边、角的等量关系，结合平行四边形的判定与性质解题，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
本题需结合平行四边形性质、折叠的性质逐步推导：第(1)问利用折叠得到对应边相等，结合平行四边形对边相等、对角相等，判断△ADE为等边三角形，进而计算周长；第(2)问由折叠得出直角，用勾股定理求AC，再通过平行四边形判定得到ABEC为平行四边形，利用对角线平分的性质计算△ACO的面积。
【解析】
(1) 由折叠性质得：AD=AE，CD=CE。
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD=3，∠B=∠D=60°，
因此CE=CD=3，AD=AE，又∠D=60°，故△ADE是等边三角形，
则DE=CD+CE=3+3=6，
所以△ADE的周长=3×6=18。
(2) 由折叠性质得：∠ACD=∠ACE，
因为点E在DC的延长线上，所以∠ACD+∠ACE=180°，
故∠ACD=∠ACE=90°，即△ACD是直角三角形。
在Rt△ACD中，AD=DE=6，CD=3，根据勾股定理：
AC=√(AD² - CD²)=√(6² - 3²)=3√3。
因为AB//CD，CD=CE，所以AB//CE且AB=CE，四边形ABEC是平行四边形，
因此对角线AE与BC互相平分，O为AE中点，
则S△ACE=1/2×AC×CE=1/2×3√3×3=9√3/2，
所以S△ACO=1/2 S△ACE=1/2×9√3/2=9√3/4。
【答案】
(1) 18；(2) 9√3/4
【知识点】
平行四边形性质、折叠性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、折叠的几何性质，需熟练运用折叠前后边、角的等量关系，结合平行四边形的判定与性质解题，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
