10. 王爷爷要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子,则图中他所作的线段AD应该是△ABC的 ()

A.角平分线
B.中线
C.高线
D.以上都不是

10.B

【分析】
解题首先明确核心需求：将三角形土地平均分配，也就是要把△ABC分成面积相等的两部分。观察线段AD把△ABC分成△ABD和△ACD两个三角形，这两个三角形有公共的高（点A到BC边的垂线段长度），根据三角形面积公式，高相等时，要让面积相等，只需两个三角形的底相等，也就是BD=DC，此时D为BC的中点，对应三角形的中线即可满足要求。
【解析】
要平均分配三角形土地，即需AD将△ABC分为面积相等的两部分。
线段AD把△ABC分成△ABD和△ACD，两个三角形以BD、DC为底时，高都是点A到BC边的距离，二者高相等。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，高相等时，若要面积相等，需底相等，即$BD=CD$，因此D是BC的中点。
三角形的中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，因此AD是△ABC的中线，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线定义，三角形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查三角形的相关线段性质，解题关键是理解同高的两个三角形面积相等的条件是底相等，进而结合中线的定义判断，灵活运用基础性质即可解题。
【难度系数】
0.8

11.如图,AD,AE,AF分别是$△ ABC$的中线、角平分线、高线,下列结论中错误的是 ()

A.$CD=\dfrac{1}{2}BC$
B.$2∠ BAE=∠ BAC$
C.$∠ C + ∠ CAF=90°$
D.$AE=AC$

11.D

【分析】
解题时首先回忆三角形中线、角平分线、高线的定义及相关性质，再逐一对应每个选项判断正误，最终选出错误的结论即可。首先明确三类线段的核心性质：①三角形中线是连接顶点与对边中点的线段，会将对边分为相等的两段；②三角形角平分线是将对应顶角平分为两个相等小角的线段，每个小角为原角的一半；③三角形高线是过顶点作对边的垂线，顶点与垂足的连线为高线，高线与对边的夹角为90°，对应的直角三角形中两锐角互余。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：AD是$△ ABC$的中线，说明D是BC的中点，因此$CD=\frac{1}{2}BC$，该结论正确，不符合题意；
B选项：AE是$△ ABC$的角平分线，说明AE平分$∠ BAC$，即$∠ BAE=∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC$，变形可得$2∠ BAE=∠ BAC$，该结论正确，不符合题意；
C选项：AF是$△ ABC$的高线，因此$AF⊥ BC$，$∠ AFC=90°$，在$Rt△ AFC$中，两个锐角互余，故$∠ C + ∠ CAF=90°$，该结论正确，不符合题意；
D选项：题干仅说明AE是角平分线，没有给出能证明$AE=AC$的相关条件，该结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题侧重考查三角形三类特殊线段的基础性质，属于概念类基础题，只要准确记忆各线段的定义和对应的性质，就能快速判断出正误。
【难度系数】
0.9

12.如图,已知AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,若∠ABC = 50°,∠ADC = 80°,求∠ACE的度数.

12.解:
∵ ∠ADC 是△ABD 的外角,∠ABC = 50°,∠ADC = 80°,
∴ ∠ADC = ∠ABC + ∠BAD,
∴ ∠BAD = ∠ADC - ∠ABC = 80° - 50° = 30°,
∵ AD 是△ABC 的角平分线,
∴ ∠BAC = 2∠BAD = 60°,
∵ CE 是△ABC 的高,
∴ ∠AEC = 90°,
∴ ∠ACE = 180° - 90° - 60° = 30°.

【分析】
解题时可按以下步骤思考：首先，观察到∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，可利用已知的∠ABC和∠ADC的度数求出∠BAD的大小；其次，AD是△ABC的角平分线，由角平分线的定义可推出∠BAC的度数；最后，CE是△ABC的高，可得∠AEC=90°，结合三角形内角和即可求出∠ACE的度数。
【解析】
∵ ∠ADC 是△ABD 的外角，∠ABC = 50°，∠ADC = 80°，
∴ ∠ADC = ∠ABC + ∠BAD，
∴ ∠BAD = ∠ADC - ∠ABC = 80° - 50° = 30°，
∵ AD 是△ABC 的角平分线，
∴ ∠BAC = 2∠BAD = 60°，
∵ CE 是△ABC 的高，
∴ ∠AEC = 90°，
∴ ∠ACE = 180° - 90° - 60° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，三角形高的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础综合题，解题核心是理清已知角和未知角的关系，依次运用相关性质逐步推导，只要熟练掌握三角形的基础概念和性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7

13. 已知AD是△ABC的高，∠BAD=70°,∠CAD=20°,求∠BAC的度数.
解:如图,∵ ∠BAD=70°,∠CAD=20°,∴ ∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.
以上解答过程正确吗？如果不正确,请说明理由,并改正.

13.解:解答过程不正确.理由:解答过程只考虑高在△ABC 内部的情况,忽略了高在△ABC 外部的情况.
正确的解答过程如下:
如图1,当高 AD 在△ABC 的内部时,∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 70° + 20° = 90°.
如图2,当高 AD 在△ABC 的外部时,∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 70° - 20° = 50°.
综上所述,∠BAC 的度数为90°或50°.

【分析】
解答本题首先要回忆三角形高的位置特点：锐角三角形的三条高都在三角形内部，钝角三角形有两条高在三角形外部，本题没有给出△ABC的具体形状，也未明确高AD的位置，因此需要分情况讨论。原解答默认高在三角形内部，忽略了高在外部的情况，会出现漏解。解题时先分高在内部、高在外部两种情况，再结合角度的和差关系计算∠BAC即可。
【解析】
原解答过程不正确，理由是仅考虑了高AD在△ABC内部的情况，忽略了高在△ABC外部的可能，分情况计算如下：
1. 当高AD在△ABC内部时（对应图1），∠BAC由∠BAD和∠CAD共同组成，因此$∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = 70° + 20° = 90°$；
2. 当高AD在△ABC外部时（对应图2），此时∠CAD在∠BAD的外侧，因此$∠ BAC = ∠ BAD - ∠ CAD = 70° - 20° = 50°$。
综上，需要将两种情况的结果都列出。
【答案】
解答过程不正确.理由:解答过程只考虑高在△ABC 内部的情况,忽略了高在△ABC 外部的情况.
正确的解答过程如下:
如图1,当高 AD 在△ABC 的内部时,∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 70° + 20° = 90°.
如图2,当高 AD 在△ABC 的外部时,∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 70° - 20° = 50°.
综上所述,∠BAC 的度数为90°或50°.
【知识点】
三角形的高；角度计算；分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略三角形高的位置的多种可能性，仅考虑高在三角形内部的情况导致漏解，在解决没有给出明确图形的几何题时，要注意分析所有可能的情况，全面思考问题。
【难度系数】
0.5