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3.一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10元，求标价多少元.小明同学在解此题的时候，设标价为x元，列出如下方程：$0.8x - 20 = 0.6x + 10$.
(1)小明同学列方程的依据是 (
A.商品的利润不变
B.商品的售价不变
C.商品的成本不变
D.商品的销售量不变
(2)商品的标价为
(1)小明同学列方程的依据是 (
C
)A.商品的利润不变
B.商品的售价不变
C.商品的成本不变
D.商品的销售量不变
(2)商品的标价为
150
元.答案
3. (1)C [解析] 由题意可知,标价为x元,则$0.8x-20=$成本价,$0.6x+10=$成本价,所以小明同学列方程的依据是商品的成本不变.
(2)150
(2)150
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先要回忆销售问题中售价、成本、利润的关系：利润=售价-成本，变形可得成本=售价-利润。不管按几折销售，同一件商品的成本是固定的，我们分别用两种打折情况表示出成本，就能找到列方程的依据。
(2) 第二问是求解一元一次方程，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算即可得到标价。
【解析】
(1) 已知标价设为x元：
按八折销售时，售价为0.8x，盈利20元，根据“成本=售价-盈利”，可得成本为$0.8x - 20$；
按六折销售时，售价为0.6x，亏损10元，根据“成本=售价+亏损”，可得成本为$0.6x + 10$。
因为商品的成本固定不变，所以两个表示成本的式子相等，因此列方程的依据是商品的成本不变，答案选C。
(2) 解方程$0.8x - 20 = 0.6x + 10$：
第一步移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边，得：$0.8x - 0.6x = 10 + 20$；
第二步合并同类项，得：$0.2x = 30$；
第三步系数化为1，两边同时除以0.2，得：$x = 30 ÷ 0.2 = 150$。
【答案】
(1)C；(2)150
【知识点】
一元一次方程应用，销售盈亏问题，等式的性质
【点评】
本题核心是抓住销售问题中“成本不变”这一隐含等量关系，只要熟练掌握售价、成本、利润三者的换算关系，就能快速列对方程并求解，是销售类应用题的典型基础题。
【难度系数】
0.75
(1) 解决第一问首先要回忆销售问题中售价、成本、利润的关系：利润=售价-成本，变形可得成本=售价-利润。不管按几折销售，同一件商品的成本是固定的，我们分别用两种打折情况表示出成本，就能找到列方程的依据。
(2) 第二问是求解一元一次方程，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算即可得到标价。
【解析】
(1) 已知标价设为x元：
按八折销售时，售价为0.8x，盈利20元，根据“成本=售价-盈利”，可得成本为$0.8x - 20$；
按六折销售时，售价为0.6x，亏损10元，根据“成本=售价+亏损”，可得成本为$0.6x + 10$。
因为商品的成本固定不变，所以两个表示成本的式子相等，因此列方程的依据是商品的成本不变，答案选C。
(2) 解方程$0.8x - 20 = 0.6x + 10$：
第一步移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边，得：$0.8x - 0.6x = 10 + 20$；
第二步合并同类项，得：$0.2x = 30$；
第三步系数化为1，两边同时除以0.2，得：$x = 30 ÷ 0.2 = 150$。
【答案】
(1)C；(2)150
【知识点】
一元一次方程应用，销售盈亏问题，等式的性质
【点评】
本题核心是抓住销售问题中“成本不变”这一隐含等量关系，只要熟练掌握售价、成本、利润三者的换算关系，就能快速列对方程并求解，是销售类应用题的典型基础题。
【难度系数】
0.75
4.一外卖骑手在送餐的过程中,需要在规定时间内将餐品送到目的地,若骑手每分钟骑行0.5 km,则早到3 min;若骑手每分钟骑行0.4 km,则要迟到2 min.试求出骑手将餐品送到目的地的规定时间以及骑手所骑行的总路程.
小明和小东在解答时先设出未知数,然后分别列出方程如下:
小明列出的方程:$\frac{x}{0.5}+3=\frac{x}{0.4}-2$,
小东列出的方程:$0.5(y-3)=0.4(y+2)$.
(1)小明所列方程中的x表示
小东所列方程中的y表示
(2)请选择小明或小东的方法写出完整的解答过程.
小明和小东在解答时先设出未知数,然后分别列出方程如下:
小明列出的方程:$\frac{x}{0.5}+3=\frac{x}{0.4}-2$,
小东列出的方程:$0.5(y-3)=0.4(y+2)$.
(1)小明所列方程中的x表示
骑手所骑行的总路程
;小东所列方程中的y表示
骑手将餐品送到目的地的规定时间
.(2)请选择小明或小东的方法写出完整的解答过程.
答案
4.解:(1)骑手所骑行的总路程 骑手将餐品送到目的地的规定时间
(2)选小明的方法:设骑手所骑行的总路程为x km.
根据题意,得$\frac{x}{0.5}+3=\frac{x}{0.4}-2$,解得$x=10$,
$\frac{x}{0.5}+3=20+3=23$.
答:骑手将餐品送到目的地的规定时间为23 min,骑手所骑行的总路程为10 km.
选小东的方法:设骑手将餐品送到目的地的规定时间为y min.
根据题意,得$0.5(y-3)=0.4(y+2)$,解得$y=23$,
$0.5(y-3)=0.5×20=10$.
答:骑手将餐品送到目的地的规定时间为23 min,骑手所骑行的总路程为10 km.
(2)选小明的方法:设骑手所骑行的总路程为x km.
根据题意,得$\frac{x}{0.5}+3=\frac{x}{0.4}-2$,解得$x=10$,
$\frac{x}{0.5}+3=20+3=23$.
答:骑手将餐品送到目的地的规定时间为23 min,骑手所骑行的总路程为10 km.
选小东的方法:设骑手将餐品送到目的地的规定时间为y min.
根据题意,得$0.5(y-3)=0.4(y+2)$,解得$y=23$,
$0.5(y-3)=0.5×20=10$.
答:骑手将餐品送到目的地的规定时间为23 min,骑手所骑行的总路程为10 km.
解析
【分析】
(1) 结合行程问题核心公式：时间=路程÷速度、路程=速度×时间分析：小明所列方程左右两边均表示规定时间，x除以速度得到对应骑行时间，因此x代表总路程；小东所列方程左右两边均表示总路程，y加减时间得到对应骑行时间，因此y代表规定时间。
(2) 解题时可任选一种方法：若选小明的方法，以“两种行驶情况的规定时间相等”为等量关系列方程，先解出总路程，再计算规定时间；若选小东的方法，以“两种行驶情况的总路程相等”为等量关系列方程，先解出规定时间，再计算总路程即可。
【解析】
(1) 小明的方程中，$\frac{x}{0.5}$是每分钟骑0.5km时的实际骑行时间，加上早到的3min等于规定时间；$\frac{x}{0.4}$是每分钟骑0.4km时的实际骑行时间，减去迟到的2min也等于规定时间，因此x表示骑手骑行的总路程。
小东的方程中，$y-3$是每分钟骑0.5km时的实际骑行时间，乘速度得到总路程；$y+2$是每分钟骑0.4km时的实际骑行时间，乘速度也得到总路程，因此y表示骑手送餐的规定时间。
(2) 选小明的方法解答：
解：设骑手所骑行的总路程为x km。
根据规定时间不变列方程：$\frac{x}{0.5}+3=\frac{x}{0.4}-2$
化简得：$2x + 3 = 2.5x - 2$
移项计算得：$0.5x = 5$，解得$x=10$
规定时间为：$\frac{10}{0.5}+3=23$（min）
若选小东的方法解答：
解：设骑手送餐的规定时间为y min。
根据总路程不变列方程：$0.5(y-3)=0.4(y+2)$
去括号得：$0.5y - 1.5 = 0.4y + 0.8$
移项计算得：$0.1y=2.3$，解得$y=23$
总路程为：$0.5×(23-3)=10$（km）
【答案】
(1) 骑手所骑行的总路程；骑手将餐品送到目的地的规定时间
(2) 骑手将餐品送到目的地的规定时间为23 min，骑行的总路程为10 km。
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题；等量关系建立
【点评】
本题是行程类方程应用的基础题，核心是抓住“总路程”和“规定时间”两个不变量建立等量关系，两种设未知数的思路可帮助学生理解一题多解的逻辑，提升灵活分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 结合行程问题核心公式：时间=路程÷速度、路程=速度×时间分析：小明所列方程左右两边均表示规定时间，x除以速度得到对应骑行时间，因此x代表总路程；小东所列方程左右两边均表示总路程，y加减时间得到对应骑行时间，因此y代表规定时间。
(2) 解题时可任选一种方法：若选小明的方法，以“两种行驶情况的规定时间相等”为等量关系列方程，先解出总路程，再计算规定时间；若选小东的方法，以“两种行驶情况的总路程相等”为等量关系列方程，先解出规定时间，再计算总路程即可。
【解析】
(1) 小明的方程中，$\frac{x}{0.5}$是每分钟骑0.5km时的实际骑行时间，加上早到的3min等于规定时间；$\frac{x}{0.4}$是每分钟骑0.4km时的实际骑行时间，减去迟到的2min也等于规定时间，因此x表示骑手骑行的总路程。
小东的方程中，$y-3$是每分钟骑0.5km时的实际骑行时间，乘速度得到总路程；$y+2$是每分钟骑0.4km时的实际骑行时间，乘速度也得到总路程，因此y表示骑手送餐的规定时间。
(2) 选小明的方法解答：
解：设骑手所骑行的总路程为x km。
根据规定时间不变列方程：$\frac{x}{0.5}+3=\frac{x}{0.4}-2$
化简得：$2x + 3 = 2.5x - 2$
移项计算得：$0.5x = 5$，解得$x=10$
规定时间为：$\frac{10}{0.5}+3=23$（min）
若选小东的方法解答：
解：设骑手送餐的规定时间为y min。
根据总路程不变列方程：$0.5(y-3)=0.4(y+2)$
去括号得：$0.5y - 1.5 = 0.4y + 0.8$
移项计算得：$0.1y=2.3$，解得$y=23$
总路程为：$0.5×(23-3)=10$（km）
【答案】
(1) 骑手所骑行的总路程；骑手将餐品送到目的地的规定时间
(2) 骑手将餐品送到目的地的规定时间为23 min，骑行的总路程为10 km。
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题；等量关系建立
【点评】
本题是行程类方程应用的基础题，核心是抓住“总路程”和“规定时间”两个不变量建立等量关系，两种设未知数的思路可帮助学生理解一题多解的逻辑，提升灵活分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
5.(福建三明期末)国庆期间，某超市进行换季打折活动.小明以八折的优惠购买了一件运动服，节省了16元，那么他购买这件衣服实际用了
64
元.答案
5. 64 [解析] 设这件衣服的原价为x元.
由题意,得$(1-80\%)x=16$,解得$x=80$.
$80-16=64$(元),
所以他购买这件衣服实际用了64元.
由题意,得$(1-80\%)x=16$,解得$x=80$.
$80-16=64$(元),
所以他购买这件衣服实际用了64元.
解析
【分析】
解题首先要理解“八折优惠”的含义：八折就是实际付款为原价的80%，节省的钱对应原价的（1-80%）。我们可以先设衣服原价为未知数，根据“节省的金额=原价×节省的占比”这个等量关系先算出原价，再用原价减去节省的16元，就能得到实际花费的金额。
【解析】
设这件衣服的原价为x元。
八折即按原价的80%付款，因此节省的金额占原价的（1-80%），根据题意列方程：
$(1-80\%)x=16$
$20\%x=16$
$x=16÷20\%$
$x=80$
实际花费的金额=原价-节省的金额=$80-16=64$（元）
【答案】
64
【知识点】
折扣问题、百分数应用、列方程解应用题
【点评】
本题结合生活中的打折促销场景命题，解题的核心是准确理解折扣的含义，找到节省金额对应的占原价的分率，建立等量关系即可顺利求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.85
解题首先要理解“八折优惠”的含义：八折就是实际付款为原价的80%，节省的钱对应原价的（1-80%）。我们可以先设衣服原价为未知数，根据“节省的金额=原价×节省的占比”这个等量关系先算出原价，再用原价减去节省的16元，就能得到实际花费的金额。
【解析】
设这件衣服的原价为x元。
八折即按原价的80%付款，因此节省的金额占原价的（1-80%），根据题意列方程：
$(1-80\%)x=16$
$20\%x=16$
$x=16÷20\%$
$x=80$
实际花费的金额=原价-节省的金额=$80-16=64$（元）
【答案】
64
【知识点】
折扣问题、百分数应用、列方程解应用题
【点评】
本题结合生活中的打折促销场景命题，解题的核心是准确理解折扣的含义，找到节省金额对应的占原价的分率，建立等量关系即可顺利求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.85
6.练思维·分类讨论 如图，数轴上点A表示的数为－5，点B表示的数为－1，点C表示的数为3.点A，B，C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴同时向负半轴运动，运动时间为
2.4或12
s时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点。答案
6. 2.4或12 [解析] 因为数轴上点A表示的数为－5，点B表示的数为－1，点A、点B分别以每秒2个单位长度、1个单位长度的速度沿数轴同时向负半轴运动，所以点A一定在点B的左边.
设运动时间为t s,此时点A表示的数为$-5-2t$,点B表示的数为$-1-t$,点C表示的数为$3-4t$.
①当点B为点A和点C的中点时,$-1-t-(-5-2t)=(3-4t)-(-1-t)$,解得$t=0$(舍去);
②当点C为点A和点B的中点时,$3-4t-(-5-2t)=(-1-t)-(3-4t)$,解得$t=2.4$;
③当点A为点B和点C的中点时,$-5-2t-(3-4t)=(-1-t)-(-5-2t)$,解得$t=12$.
综上,运动时间为2.4 s或12 s.
设运动时间为t s,此时点A表示的数为$-5-2t$,点B表示的数为$-1-t$,点C表示的数为$3-4t$.
①当点B为点A和点C的中点时,$-1-t-(-5-2t)=(3-4t)-(-1-t)$,解得$t=0$(舍去);
②当点C为点A和点B的中点时,$3-4t-(-5-2t)=(-1-t)-(3-4t)$,解得$t=2.4$;
③当点A为点B和点C的中点时,$-5-2t-(3-4t)=(-1-t)-(-5-2t)$,解得$t=12$.
综上,运动时间为2.4 s或12 s.
解析
【分析】
首先明确三个点的运动规律：沿数轴向负半轴运动t秒后，每个点表示的数等于原数减去速度乘运动时间。“一点是另外两点的中点”意味着中点到另外两个点的距离相等，即右侧点的数减中点的数等于中点的数减左侧点的数。因为点A向左运动的速度比点B快，所以运动过程中点A始终在点B左侧，无需考虑A在B右侧的情况。接下来分三种情况讨论：分别为B是A、C的中点，C是A、B的中点，A是B、C的中点，分别列方程求解后舍去不符合题意的解即可。
【解析】
设运动时间为t s。
运动t秒后，点A表示的数为：$-5-2t$
点B表示的数为：$-1-t$
点C表示的数为：$3-4t$
分三种情况讨论：
① 当点B为A、C的中点时，B到A的距离等于C到B的距离：
$(-1-t)-(-5-2t)=(3-4t)-(-1-t)$
化简得：$t+4=4-3t$
解得$t=0$，为初始状态，不符合运动要求，舍去。
② 当点C为A、B的中点时，C到A的距离等于B到C的距离：
$(3-4t)-(-5-2t)=(-1-t)-(3-4t)$
化简得：$8-2t=3t-4$
移项计算得$5t=12$，解得$t=2.4$。
③ 当点A为B、C的中点时，A到C的距离等于B到A的距离：
$(-5-2t)-(3-4t)=(-1-t)-(-5-2t)$
化简得：$2t-8=t+4$
解得$t=12$。
综上，符合要求的运动时间为2.4s或12s。
【答案】
2.4或12
【知识点】
数轴动点问题；中点的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是数轴动点与中点性质的结合题，解题核心是准确表示运动后各点对应的数，再根据中点的距离关系分情况列方程，同时要注意舍去不符合题意的解，能有效锻炼分类讨论的逻辑思维。
【难度系数】
0.4
首先明确三个点的运动规律：沿数轴向负半轴运动t秒后，每个点表示的数等于原数减去速度乘运动时间。“一点是另外两点的中点”意味着中点到另外两个点的距离相等，即右侧点的数减中点的数等于中点的数减左侧点的数。因为点A向左运动的速度比点B快，所以运动过程中点A始终在点B左侧，无需考虑A在B右侧的情况。接下来分三种情况讨论：分别为B是A、C的中点，C是A、B的中点，A是B、C的中点，分别列方程求解后舍去不符合题意的解即可。
【解析】
设运动时间为t s。
运动t秒后，点A表示的数为：$-5-2t$
点B表示的数为：$-1-t$
点C表示的数为：$3-4t$
分三种情况讨论：
① 当点B为A、C的中点时，B到A的距离等于C到B的距离：
$(-1-t)-(-5-2t)=(3-4t)-(-1-t)$
化简得：$t+4=4-3t$
解得$t=0$，为初始状态，不符合运动要求，舍去。
② 当点C为A、B的中点时，C到A的距离等于B到C的距离：
$(3-4t)-(-5-2t)=(-1-t)-(3-4t)$
化简得：$8-2t=3t-4$
移项计算得$5t=12$，解得$t=2.4$。
③ 当点A为B、C的中点时，A到C的距离等于B到A的距离：
$(-5-2t)-(3-4t)=(-1-t)-(-5-2t)$
化简得：$2t-8=t+4$
解得$t=12$。
综上，符合要求的运动时间为2.4s或12s。
【答案】
2.4或12
【知识点】
数轴动点问题；中点的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是数轴动点与中点性质的结合题，解题核心是准确表示运动后各点对应的数，再根据中点的距离关系分情况列方程，同时要注意舍去不符合题意的解，能有效锻炼分类讨论的逻辑思维。
【难度系数】
0.4
7.(山东潍坊高密月考)一队学生去校外进行军事野营训练,他们以5 km/h的速度行进,走了18 min的时候,学校要将一个紧急通知传给队长.通讯员从学校出发,骑自行车以14 km/h的速度按原路追上去,通讯员用多长时间可以追上学生队伍？
答案
7. 解:设通信员用x h可以追上学生队伍.
由题意,得$5×\frac{18}{60}+5x=14x$,解得$x=\frac{1}{6}$.
答:通信员用$\frac{1}{6}$h可以追上学生队伍.
【易错点拨】注意单位换算.
由题意,得$5×\frac{18}{60}+5x=14x$,解得$x=\frac{1}{6}$.
答:通信员用$\frac{1}{6}$h可以追上学生队伍.
【易错点拨】注意单位换算.
解析
【分析】
这是典型的行程追及问题，解题核心是找准等量关系：通讯员追上学生队伍时，两者走的总路程相等。思考步骤如下：①先统一单位，学生提前走的18分钟要换算成以小时为单位的量，避免和速度单位不匹配；②设通讯员追上队伍的时间为x h，分别表示出学生走的总路程（提前走的路程 + x小时走的路程）和通讯员x小时走的路程；③根据路程相等列方程求解即可。
【解析】
解：设通讯员用x h可以追上学生队伍。
先统一时间单位：$18\ \mathrm{min}=\frac{18}{60}\ \mathrm{h}$
学生走的总路程为提前走的路程加追及时段走的路程：$5×\frac{18}{60}+5x$
通讯员走的路程为速度乘追及时间：$14x$
追上时两者路程相等，列方程：
$5×\frac{18}{60}+5x=14x$
计算得：$9x=\frac{3}{2}$
解得$x=\frac{1}{6}$
【答案】
通讯员用$\frac{1}{6}$h可以追上学生队伍。
【知识点】
一元一次方程应用，追及问题，单位换算
【点评】
本题是行程类基础追及题型，解题关键是抓住“追上时路程相等”的核心等量关系，易错点是容易忽略时间单位的统一，做题时要先确认各量单位匹配再列式计算。
【难度系数】
0.7
这是典型的行程追及问题，解题核心是找准等量关系：通讯员追上学生队伍时，两者走的总路程相等。思考步骤如下：①先统一单位，学生提前走的18分钟要换算成以小时为单位的量，避免和速度单位不匹配；②设通讯员追上队伍的时间为x h，分别表示出学生走的总路程（提前走的路程 + x小时走的路程）和通讯员x小时走的路程；③根据路程相等列方程求解即可。
【解析】
解：设通讯员用x h可以追上学生队伍。
先统一时间单位：$18\ \mathrm{min}=\frac{18}{60}\ \mathrm{h}$
学生走的总路程为提前走的路程加追及时段走的路程：$5×\frac{18}{60}+5x$
通讯员走的路程为速度乘追及时间：$14x$
追上时两者路程相等，列方程：
$5×\frac{18}{60}+5x=14x$
计算得：$9x=\frac{3}{2}$
解得$x=\frac{1}{6}$
【答案】
通讯员用$\frac{1}{6}$h可以追上学生队伍。
【知识点】
一元一次方程应用，追及问题，单位换算
【点评】
本题是行程类基础追及题型，解题关键是抓住“追上时路程相等”的核心等量关系，易错点是容易忽略时间单位的统一，做题时要先确认各量单位匹配再列式计算。
【难度系数】
0.7
8.(四川绵阳)我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问：良马几何日追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问：快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（里：古代长度单位）
（
A.5
B.10
C.15
D.20
答案 P21
（
D
）A.5
B.10
C.15
D.20
答案 P21
答案
8. D [解析] 设快马追上慢马的天数是x,依题意,得$240x=150(x+12)$,解得$x=20$.
解析
【分析】这是典型的行程追及问题，解题核心是找准等量关系：快马追上慢马时，两匹马行驶的总路程相等。首先明确两匹马的行驶时间关系：慢马先走12天，所以慢马的总行驶时间=快马的行驶时间+12天，再结合“路程=速度×时间”分别表示出两匹马的总路程，列等式求解即可。
【解析】解：设快马追上慢马的天数是x天。
快马x天行驶的路程为：240x 里
慢马总共行驶的天数为(x+12)天，行驶的总路程为：150(x+12) 里
追上时两匹马的路程相等，可列方程：
$240x = 150(x+12)$
展开右侧得：$240x = 150x + 1800$
移项计算：$240x - 150x = 1800$
$90x = 1800$
解得：$x=20$
【答案】D
【知识点】1. 追及问题 2. 一元一次方程应用 3. 行程基本公式
【点评】本题以我国古代数学典籍中的问题为背景，考查追及问题的解题方法，解题关键是抓住“追上时两者路程相等”的核心等量关系，既考查了数学知识的实际应用，也能让学生感受我国古代数学的发展成就。
【难度系数】0.8
【解析】解：设快马追上慢马的天数是x天。
快马x天行驶的路程为：240x 里
慢马总共行驶的天数为(x+12)天，行驶的总路程为：150(x+12) 里
追上时两匹马的路程相等，可列方程：
$240x = 150(x+12)$
展开右侧得：$240x = 150x + 1800$
移项计算：$240x - 150x = 1800$
$90x = 1800$
解得：$x=20$
【答案】D
【知识点】1. 追及问题 2. 一元一次方程应用 3. 行程基本公式
【点评】本题以我国古代数学典籍中的问题为背景，考查追及问题的解题方法，解题关键是抓住“追上时两者路程相等”的核心等量关系，既考查了数学知识的实际应用，也能让学生感受我国古代数学的发展成就。
【难度系数】0.8
