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1.下列各式中，一定是二次根式的是 （
A.$\sqrt{-8}$
B.$\sqrt[3]{n}$
C.$\sqrt{y^2 + 1}$
D.$\sqrt{5x}$
C
）A.$\sqrt{-8}$
B.$\sqrt[3]{n}$
C.$\sqrt{y^2 + 1}$
D.$\sqrt{5x}$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个式子是不是二次根式，首先要明确二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥ 0$）的式子叫做二次根式，需要同时满足两个条件：一是根指数为2，二是被开方数必须是非负数。解题时我们可以对照这两个条件，逐一分析每个选项，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
根据二次根式的定义，逐一分析选项：
1. 分析选项A：$\sqrt{-8}$的被开方数是$-8$，$-8＜0$，不满足被开方数为非负数的要求，因此不是二次根式；
2. 分析选项B：$\sqrt[3]{n}$的根指数是3，属于三次根式，不满足根指数为2的要求，因此不是二次根式；
3. 分析选项C：对任意实数$y$，都有$y^2≥ 0$，因此$y^2+1≥ 1＞0$，被开方数恒为非负数，且根指数为2，符合二次根式的定义，一定是二次根式；
4. 分析选项D：$\sqrt{5x}$的被开方数是$5x$，当$x＜0$时，$5x＜0$，此时$\sqrt{5x}$无意义，不属于二次根式，因此不一定是二次根式。
综上，只有C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的定义；非负数的性质
【点评】
本题是二次根式判定的基础题型，解题的核心是牢记二次根式的两个必备条件，注意区分根式的次数，同时要保证被开方数的取值使根式有意义，易错点是忽略被开方数必须为非负数的限制。
【难度系数】
0.8
要判断一个式子是不是二次根式，首先要明确二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥ 0$）的式子叫做二次根式，需要同时满足两个条件：一是根指数为2，二是被开方数必须是非负数。解题时我们可以对照这两个条件，逐一分析每个选项，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
根据二次根式的定义，逐一分析选项：
1. 分析选项A：$\sqrt{-8}$的被开方数是$-8$，$-8＜0$，不满足被开方数为非负数的要求，因此不是二次根式；
2. 分析选项B：$\sqrt[3]{n}$的根指数是3，属于三次根式，不满足根指数为2的要求，因此不是二次根式；
3. 分析选项C：对任意实数$y$，都有$y^2≥ 0$，因此$y^2+1≥ 1＞0$，被开方数恒为非负数，且根指数为2，符合二次根式的定义，一定是二次根式；
4. 分析选项D：$\sqrt{5x}$的被开方数是$5x$，当$x＜0$时，$5x＜0$，此时$\sqrt{5x}$无意义，不属于二次根式，因此不一定是二次根式。
综上，只有C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的定义；非负数的性质
【点评】
本题是二次根式判定的基础题型，解题的核心是牢记二次根式的两个必备条件，注意区分根式的次数，同时要保证被开方数的取值使根式有意义，易错点是忽略被开方数必须为非负数的限制。
【难度系数】
0.8
2.若$\frac{2}{\sqrt{2x - 1}}$有意义，则$x$的取值范围是（
A.$x≠0$
B.$x＞0$
C.$x≥\frac{1}{2}$
D.$x＞\frac{1}{2}$
D
）A.$x≠0$
B.$x＞0$
C.$x≥\frac{1}{2}$
D.$x＞\frac{1}{2}$
答案
2.D
解析
【分析】
要确定代数式有意义时x的取值范围，需分别考虑式子中涉及的二次根式、分式的有意义条件：首先回忆两个核心规则，一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0。本题中$\sqrt{2x-1}$同时是二次根式和分式的分母，因此要将两个条件结合，得到关于x的不等式，求解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
要使$\frac{2}{\sqrt{2x - 1}}$有意义，需同时满足：
1. 二次根式的被开方数非负：$2x-1≥0$；
2. 分式的分母不为0：$\sqrt{2x-1}≠0$，即$2x-1≠0$。
联立两个条件可得$2x-1＞0$，
解不等式：移项得$2x＞1$，
两边同时除以2得$x＞\frac{1}{2}$。
因此符合条件的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础常考题，解题时需注意区分二次根式单独存在和作为分式分母时的不同要求，容易遗漏分母不为0的条件误选C，解题时要将多个限制条件结合分析。
【难度系数】
0.8
要确定代数式有意义时x的取值范围，需分别考虑式子中涉及的二次根式、分式的有意义条件：首先回忆两个核心规则，一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0。本题中$\sqrt{2x-1}$同时是二次根式和分式的分母，因此要将两个条件结合，得到关于x的不等式，求解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
要使$\frac{2}{\sqrt{2x - 1}}$有意义，需同时满足：
1. 二次根式的被开方数非负：$2x-1≥0$；
2. 分式的分母不为0：$\sqrt{2x-1}≠0$，即$2x-1≠0$。
联立两个条件可得$2x-1＞0$，
解不等式：移项得$2x＞1$，
两边同时除以2得$x＞\frac{1}{2}$。
因此符合条件的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础常考题，解题时需注意区分二次根式单独存在和作为分式分母时的不同要求，容易遗漏分母不为0的条件误选C，解题时要将多个限制条件结合分析。
【难度系数】
0.8
3.当$x=3$时，二次根式$\sqrt{x+1}$的值为 （
A.2
B.$\pm 2$
C.4
D.$\pm 4$
A
）A.2
B.$\pm 2$
C.4
D.$\pm 4$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先要明确本题是求二次根式的值，步骤分为两步：第一步先将x=3代入二次根式的被开方部分，计算出被开方数的结果；第二步结合二次根式的性质（二次根式表示非负的算术平方根，结果一定大于等于0）化简求值，同时要注意区分算术平方根和平方根，避免误选带正负的选项。
【解析】
将x=3代入二次根式$\sqrt{x+1}$中：
第一步，计算被开方数：$x+1=3+1=4$；
第二步，根据二次根式的性质，$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示a的算术平方根，结果为非负数，因此$\sqrt{4}=2$。
综上，该二次根式的值为2。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质，代数式求值
【点评】
本题为基础类考题，主要考查二次根式的化简求值，解题核心是明确二次根式的结果是非负数，切勿混淆算术平方根和平方根的概念。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确本题是求二次根式的值，步骤分为两步：第一步先将x=3代入二次根式的被开方部分，计算出被开方数的结果；第二步结合二次根式的性质（二次根式表示非负的算术平方根，结果一定大于等于0）化简求值，同时要注意区分算术平方根和平方根，避免误选带正负的选项。
【解析】
将x=3代入二次根式$\sqrt{x+1}$中：
第一步，计算被开方数：$x+1=3+1=4$；
第二步，根据二次根式的性质，$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示a的算术平方根，结果为非负数，因此$\sqrt{4}=2$。
综上，该二次根式的值为2。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质，代数式求值
【点评】
本题为基础类考题，主要考查二次根式的化简求值，解题核心是明确二次根式的结果是非负数，切勿混淆算术平方根和平方根的概念。
【难度系数】
0.7
4.下列各式成立的是 （
A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$-\sqrt{(-5)^2}=5$
C.$\sqrt{x^2}=x$
D.$\sqrt{(-6)^2}=6$
D
）A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$-\sqrt{(-5)^2}=5$
C.$\sqrt{x^2}=x$
D.$\sqrt{(-6)^2}=6$
答案
4.D
解析
【分析】
本题考查二次根式的化简，核心解题依据是二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，即任意数的平方开算术平方根的结果为非负数，等于这个数的绝对值。解题时只需逐一将每个选项中的式子按照该性质化简，对比化简结果与选项给出的结果是否一致即可判断正误。
【解析】
根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2≠-2$，故A错误；
B选项：$-\sqrt{(-5)^2}=-|-5|=-5≠5$，故B错误；
C选项：$\sqrt{x^2}=|x|$，当$x＜0$时$\sqrt{x^2}=-x≠ x$，故C错误；
D选项：$\sqrt{(-6)^2}=|-6|=6$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的化简，绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查对二次根式非负性的理解，解题时要注意不能直接将根号与平方抵消，需先转化为绝对值再判断符号，尤其要注意含字母的式子和带负号的情况，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的化简，核心解题依据是二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，即任意数的平方开算术平方根的结果为非负数，等于这个数的绝对值。解题时只需逐一将每个选项中的式子按照该性质化简，对比化简结果与选项给出的结果是否一致即可判断正误。
【解析】
根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2≠-2$，故A错误；
B选项：$-\sqrt{(-5)^2}=-|-5|=-5≠5$，故B错误；
C选项：$\sqrt{x^2}=|x|$，当$x＜0$时$\sqrt{x^2}=-x≠ x$，故C错误；
D选项：$\sqrt{(-6)^2}=|-6|=6$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的化简，绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查对二次根式非负性的理解，解题时要注意不能直接将根号与平方抵消，需先转化为绝对值再判断符号，尤其要注意含字母的式子和带负号的情况，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
5.若二次根式$\sqrt{3a - 6}$有意义，则$a$的取值范围为
a≥2
；当$a=4$时，该二次根式的值为√6
。答案
5.a≥2 √6
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数（即大于等于0）。第一步，根据这个条件列出关于a的不等式，解不等式就能得到a的取值范围；第二步，求a=4时二次根式的值，只需将a=4代入二次根式的被开方部分计算，再开平方即可得到结果。
【解析】
1. 求a的取值范围：
二次根式$\sqrt{3a - 6}$有意义，则被开方数$3a - 6 ≥ 0$，
解不等式：移项得$3a ≥ 6$，两边同时除以3，得$a ≥ 2$。
2. 计算a=4时二次根式的值：
将$a=4$代入$\sqrt{3a - 6}$，得$\sqrt{3×4 - 6} = \sqrt{12 - 6} = \sqrt{6}$。
【答案】
$a≥2$；$\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；二次根式求值
【点评】
本题属于二次根式的基础题型，重点考查对二次根式核心性质的掌握和基本运算能力，牢记被开方数为非负数是解题的关键，整体运算量小，难度较低。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数（即大于等于0）。第一步，根据这个条件列出关于a的不等式，解不等式就能得到a的取值范围；第二步，求a=4时二次根式的值，只需将a=4代入二次根式的被开方部分计算，再开平方即可得到结果。
【解析】
1. 求a的取值范围：
二次根式$\sqrt{3a - 6}$有意义，则被开方数$3a - 6 ≥ 0$，
解不等式：移项得$3a ≥ 6$，两边同时除以3，得$a ≥ 2$。
2. 计算a=4时二次根式的值：
将$a=4$代入$\sqrt{3a - 6}$，得$\sqrt{3×4 - 6} = \sqrt{12 - 6} = \sqrt{6}$。
【答案】
$a≥2$；$\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；二次根式求值
【点评】
本题属于二次根式的基础题型，重点考查对二次根式核心性质的掌握和基本运算能力，牢记被开方数为非负数是解题的关键，整体运算量小，难度较低。
【难度系数】
0.9
6.若一个长方形的面积是90 cm²，它的长与宽的比为6:5，则它的长为
6√3
cm，宽为5√3
cm.答案
6.6√3 5√3
解析
【分析】
遇到已知两个量的比例关系求具体值的问题，可先根据比例设参数简化计算。本题已知长方形长和宽的比为6:5，可先设长为6x cm、宽为5x cm（x＞0），再结合长方形面积公式列方程求解x，最后代入参数计算长和宽的实际长度，注意边长为正数，需舍去方程的负根。
【解析】
设长方形的长为$6x\ \mathrm{cm}$，宽为$5x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$）。
根据长方形面积=长×宽，列方程得：
$6x · 5x = 90$
化简得：$30x^2=90$
两边同时除以30得：$x^2=3$
因为x表示长度，为正数，所以$x=\sqrt{3}$
则长为：$6x=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
宽为：$5x=5×\sqrt{3}=5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$6\sqrt{3}$；$5\sqrt{3}$
【知识点】
比例设元法；长方形面积计算；平方根的应用
【点评】
本题属于基础应用题，核心是掌握利用比例关系设参数的解题技巧，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.8
遇到已知两个量的比例关系求具体值的问题，可先根据比例设参数简化计算。本题已知长方形长和宽的比为6:5，可先设长为6x cm、宽为5x cm（x＞0），再结合长方形面积公式列方程求解x，最后代入参数计算长和宽的实际长度，注意边长为正数，需舍去方程的负根。
【解析】
设长方形的长为$6x\ \mathrm{cm}$，宽为$5x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$）。
根据长方形面积=长×宽，列方程得：
$6x · 5x = 90$
化简得：$30x^2=90$
两边同时除以30得：$x^2=3$
因为x表示长度，为正数，所以$x=\sqrt{3}$
则长为：$6x=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
宽为：$5x=5×\sqrt{3}=5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$6\sqrt{3}$；$5\sqrt{3}$
【知识点】
比例设元法；长方形面积计算；平方根的应用
【点评】
本题属于基础应用题，核心是掌握利用比例关系设参数的解题技巧，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.8
7.如果$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}-5$，那么$y^x$的值是
25
。答案
7.25
解析
【分析】
要计算$y^x$的值，需先确定$x$和$y$的取值。表达式中含有二次根式，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，因此可列出关于$x$的不等式组，求出$x$的取值后，代入原式即可得到$y$的值，最后计算$y^x$即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，可得：
$\begin{cases}x-2≥0 \\2-x≥0\end{cases}$
解不等式$x-2≥0$得$x≥2$，解不等式$2-x≥0$得$x≤2$，因此$x=2$。
将$x=2$代入$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}-5$中，得：
$y=\sqrt{2-2}+\sqrt{2-2}-5=0+0-5=-5$
则$y^x=(-5)^2=25$。
【答案】
25
【知识点】
二次根式有意义的条件；代数式求值；乘方运算
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题核心是利用二次根式被开方数的非负性确定未知参数的取值，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算$y^x$的值，需先确定$x$和$y$的取值。表达式中含有二次根式，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，因此可列出关于$x$的不等式组，求出$x$的取值后，代入原式即可得到$y$的值，最后计算$y^x$即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，可得：
$\begin{cases}x-2≥0 \\2-x≥0\end{cases}$
解不等式$x-2≥0$得$x≥2$，解不等式$2-x≥0$得$x≤2$，因此$x=2$。
将$x=2$代入$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}-5$中，得：
$y=\sqrt{2-2}+\sqrt{2-2}-5=0+0-5=-5$
则$y^x=(-5)^2=25$。
【答案】
25
【知识点】
二次根式有意义的条件；代数式求值；乘方运算
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题核心是利用二次根式被开方数的非负性确定未知参数的取值，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
8.计算:
(1)$(\sqrt{0.5})^2$；
(2)$(-\sqrt{\dfrac{3}{7}})^2$；
(3)$-(3\sqrt{2})^2$.
(1)$(\sqrt{0.5})^2$；
(2)$(-\sqrt{\dfrac{3}{7}})^2$；
(3)$-(3\sqrt{2})^2$.
答案
8.解:(1)原式=0.5;(2)原式=$\frac{3}{7}$;(3)原式=-18.
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘方运算，核心依据是二次根式的性质：对于非负数$a$，有$(\sqrt{a})^2=a$。解题时先观察式子结构，明确负号的位置：若负号在平方括号内，平方后负号消失；若负号在平方括号外，最终结果保留负号；带系数的二次根式平方，要依据积的乘方法则，分别给系数和二次根式平方后再相乘。具体解题思路：(1)直接套用二次根式平方性质计算；(2)先利用平方的性质消去负号，再套用二次根式性质计算；(3)先计算括号内的乘方，再添加括号外的负号。
【解析】
(1) 根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，$0.5≥0$，因此原式$=0.5$；
(2) 负数的平方为正数，因此$(-\sqrt{\dfrac{3}{7}})^2=(\sqrt{\dfrac{3}{7}})^2$，又$\dfrac{3}{7}≥0$，因此原式$=\dfrac{3}{7}$；
(3) 先根据积的乘方法则$(ab)^2=a^2b^2$计算括号内的乘方：$(3\sqrt{2})^2=3^2×(\sqrt{2})^2=9×2=18$，括号外带有负号，因此原式$=-18$。
【答案】
(1)$0.5$；(2)$\dfrac{3}{7}$；(3)$-18$
【知识点】
二次根式的性质，乘方运算，积的乘方
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，解题时要注意区分负号的位置，避免因符号判断错误失分，计算带系数的二次根式平方时，不要遗漏系数的平方运算。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的乘方运算，核心依据是二次根式的性质：对于非负数$a$，有$(\sqrt{a})^2=a$。解题时先观察式子结构，明确负号的位置：若负号在平方括号内，平方后负号消失；若负号在平方括号外，最终结果保留负号；带系数的二次根式平方，要依据积的乘方法则，分别给系数和二次根式平方后再相乘。具体解题思路：(1)直接套用二次根式平方性质计算；(2)先利用平方的性质消去负号，再套用二次根式性质计算；(3)先计算括号内的乘方，再添加括号外的负号。
【解析】
(1) 根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，$0.5≥0$，因此原式$=0.5$；
(2) 负数的平方为正数，因此$(-\sqrt{\dfrac{3}{7}})^2=(\sqrt{\dfrac{3}{7}})^2$，又$\dfrac{3}{7}≥0$，因此原式$=\dfrac{3}{7}$；
(3) 先根据积的乘方法则$(ab)^2=a^2b^2$计算括号内的乘方：$(3\sqrt{2})^2=3^2×(\sqrt{2})^2=9×2=18$，括号外带有负号，因此原式$=-18$。
【答案】
(1)$0.5$；(2)$\dfrac{3}{7}$；(3)$-18$
【知识点】
二次根式的性质，乘方运算，积的乘方
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，解题时要注意区分负号的位置，避免因符号判断错误失分，计算带系数的二次根式平方时，不要遗漏系数的平方运算。
【难度系数】
0.9
9.化简下列各式：
(1) $\sqrt{(-\dfrac{1}{9})^2}$；
(2) $-\sqrt{(-3.6)^2}$；
(3) $\sqrt{(3-π)^2}$。
(1) $\sqrt{(-\dfrac{1}{9})^2}$；
(2) $-\sqrt{(-3.6)^2}$；
(3) $\sqrt{(3-π)^2}$。
答案
9.解:(1)原式=$\frac{1}{9}$;(2)原式=-3.6;(3)原式=π-3.
解析
【分析】
本题考查二次根式的化简，核心依据是二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，解题分为两步：第一步先将根号内的平方项开方转化为绝对值形式，第二步根据绝对值内数或式子的正负性去掉绝对值符号得到结果。具体推导思路：(1)将原式转化为$\left|-\frac{1}{9}\right|$，根据负数的绝对值是它的相反数计算；(2)先计算根号部分得到$|-3.6|$，化简后保留原式前的负号即可；(3)先判断$3-π$的正负，$π\approx3.14＞3$，因此$3-π＜0$，再根据负数的绝对值是它的相反数化简。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$计算：
(1) 原式$=\left|-\dfrac{1}{9}\right|=\dfrac{1}{9}$；
(2) 原式$=-|-3.6|=-3.6$；
(3) 因为$π＞3$，所以$3-π＜0$，原式$=|3-π|=π-3$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{9}$；(2)$-3.6$；(3)$π-3$
【知识点】
1.二次根式的性质 2.绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题关键是牢记$\sqrt{a^2}=|a|$的性质，去绝对值时要先判断绝对值内表达式的正负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的化简，核心依据是二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，解题分为两步：第一步先将根号内的平方项开方转化为绝对值形式，第二步根据绝对值内数或式子的正负性去掉绝对值符号得到结果。具体推导思路：(1)将原式转化为$\left|-\frac{1}{9}\right|$，根据负数的绝对值是它的相反数计算；(2)先计算根号部分得到$|-3.6|$，化简后保留原式前的负号即可；(3)先判断$3-π$的正负，$π\approx3.14＞3$，因此$3-π＜0$，再根据负数的绝对值是它的相反数化简。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$计算：
(1) 原式$=\left|-\dfrac{1}{9}\right|=\dfrac{1}{9}$；
(2) 原式$=-|-3.6|=-3.6$；
(3) 因为$π＞3$，所以$3-π＜0$，原式$=|3-π|=π-3$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{9}$；(2)$-3.6$；(3)$π-3$
【知识点】
1.二次根式的性质 2.绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题关键是牢记$\sqrt{a^2}=|a|$的性质，去绝对值时要先判断绝对值内表达式的正负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
