1. 若$\alpha :x^{2}= 4,\beta :x= \pm 2$,则α是β的()
A. 充分不必要条件
B. 充要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件

1.B　“$x²=4$”$\Leftrightarrow$“$x=\pm 2$”,故$\alpha$是$\beta$的充要条件.

2. 已知$a∈R$,则“$a＞0$”是“$a＞1$”的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

2.B　显然由“$a＞0$”不能推出“$a＞1$”,即充分性不成立;
　由“$a＞1$”能推出“$a＞0$”,即必要性成立.
　故“$a＞0$”是“$a＞1$”的必要不充分条件.

3. (北京卷)(一题多解)若$xy≠0$,则“$x+y= 0$”是“$\frac {x}{y}+\frac {y}{x}= -2$”的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

3.(一题多解)C　方法1:充分性:因为$xy≠0$,且$x+y=0$,所以$x=-y$,所以$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{-y}{y}+\frac{y}{-y}=-1-1=-2$,所以充分性成立.
　必要性:因为$xy≠0$,且$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$,
　所以$x²+y²=-2xy$,即$(x+y)²=0$,所以$x+y=0$,所以必要性成立.
　综上,当$xy≠0$时,“$x+y=0$”是“$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$”的充要条件.
　方法2:充分性:因为$xy≠0$,且$x+y=0$,所以$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x²+y²}{xy}=\frac{x²+y²+2xy-2xy}{xy}=\frac{(x+y)²-2xy}{xy}=\frac{-2xy}{xy}=-2$,所以充分性成立.
　必要性:因为$xy≠0$,且$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$,
　所以$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x²+y²}{xy}=\frac{x²+y²+2xy-2xy}{xy}=\frac{(x+y)²-2xy}{xy}=\frac{(x+y)²}{xy}-2=-2$,
　所以$\frac{(x+y)²}{xy}=0$,即$x+y=0$,所以必要性成立.
　综上,当$xy≠0$时,“$x+y=0$”是“$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2$”的充要条件.

4. (多选)下列命题为真命题的是()
A. “$x＞4$”是“$x＜5$”的既不充分也不必要条件
B. “三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件
C. “一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$有实数根”的充要条件是“$\Delta =b^{2}-4ac≥0$”
D. 若集合$A\subseteq B$,则“$x∈A$”是“$x∈B$”的充分不必要条件

4.AC　对于A,$x＞4\nRightarrow x＜5$,且$x＜5\nRightarrow x＞4$,所以“$x＞4$”是“$x＜5$”的既不充分也不必要条件，故A正确.
　对于B,正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形,所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误.
　对于C,一元二次方程有实数根，则$\Delta ≥0$,反之亦然，故C 正确.
　对于D,当集合$A=B$时，应为充要条件，故D错误.

5. 若命题$p:x＜1是命题q:x＜2m-1,m∈R$的充要条件,则m的值是____。

5.1　$\because p$是$q$的充要条件，$\therefore 2m−1=1$,解得$m=1$.

6. 已知$a,b∈R$,则“$ab= 0$”是“$a^{2}+b^{2}= 0$”的____。(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)

6.必要不充分条件　　因为$ab=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} a=0,\\ b=0\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} a=0,\\ b≠0\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} a≠0,\\ b=0;\end{array}\right. $$a^{2}+b^{2}=0\Rightarrow a=b=0$,所以“$ab=0$”是“$a²+b²=0$”的必要不充分条件.

7. 设集合$A= \{ x|x^{2}+2x-3= 0\} ,B= \{ x|x^{2}+(m-1)x-m= 0\}$。若“$x∈B$”是“$x∈A$”的充要条件,求实数m的值。

7.解:集合$A=\{ x|x²+2x−3=0\} =\{ 1,-3\} $,即$A=\{ 1,-3\} $,$B=\{ x|x²+(m−1)x−m=0\} =\{ x|(x−1)(x+m)=0\} $,即$B=\{ 1,-m\} $.若“$x∈B$”是“$x∈A$”的充要条件,则$A =B$,
　$\therefore -m=-3,\therefore m=3$,
　$\therefore$实数$m$的值为3.

8. (教材改编题)求证：“关于x的方程$ax^{2}+bx+c= 0$有一个根为2”的充要条件是“$4a+2b+c= 0$”。

8.证明:充分性:若$4a+2b+c=0$,则$a\cdot 2^{2}+b\cdot 2+c=0$,即$x=2$满足方程$ax²+bx+c=0$,则关于$x$的方程$ax²+bx+c=0$有一个根为2.
　必要性:若关于$x$的方程$ax²+bx+c=0$有一个根为2,则$x=2$满足方程,代入,得$4a+2b+c=0$.
　综上,“关于$x$的方程$ax²+bx+c=0$有一个根为2”的充要条件是“$4a+2b+c=0$”.

9. (多选)对任意实数a,b,c,下列命题为真命题的是()
A. “$a= b$”是“$ac= bc$”的充要条件
B. “$a+5$是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C. “$a＞b$”是“$a^{2}＞b^{2}$”的充要条件
D. “$a＜5$”是“$a＜3$”的必要不充分条件

9.BD　若$a=b$,则$ac=bc$,但当$c=0$时,由“$ac=bc$”推不出“$a=b$”,所以“$a=b$”是“$ac=bc$”的充分不必要条件，故A 为假命题.因为“$a+5$是无理数”$\Rightarrow$“$a$是无理数”,且“$a$是无理数”$\Rightarrow$“$a+5$是无理数”,所以“$a+5$是无理数”是“$a$是无理数”的充要条件，故B为真命题.因为由“$a＞b$”(如$1＞ - 1$)不一定得到“$a²＞b²$”,且由“$a²＞b²$”(如$(-2)²＞1²$)也不一定得到“$a＞b$”,所以“$a＞b$”是“$a²＞b²$”的既不充分也不必要条件,故C为假命题.因为$\{ a|a＜3\} \subsetneqq \{ a|a＜5\} $,所以“$a＜5$”是“$a＜3$”的必要不充分条件，故D为真命题.

10. 将下列三个条件依次填到下面横线上,判断是否成立,并说明理由。
①充要 ②充分不必要 ③必要不充分
已知集合$P= \{ x|-1≤x≤5\} ,S= \{ x|2-m≤x≤3+2m\}$,存在实数m,使得“$x∈P$”是“$x∈S$”的____条件。
(提示：分别根据①②③三个条件,得出集合P和S间的关系,进而列出不等式(组)求解。同时注意判断③时,因为集合S中含参,需要讨论$S= \varnothing$的情况)

10.解:①不成立.理由:若“$x∈P$”是“$x∈S$”的充要条件,则$2−m=-1,3+2m=5$,此时无解，故①不成立.
　②成立.理由:若“$x∈P$”是“$x∈S$”的充分不必要条件,则$2−m≤-1,3+2m≥5$(等号不同时成立),$2−m≤3+2m$,解得$m≥3$,故②成立.
　③成立.理由:若“$x∈P$”是“$x∈S$”的必要不充分条件,则当$S=\varnothing $时,$2−m＞3+2m$,解得$m＜-\frac{1}{3}$;当$S≠\varnothing $时,需满足$2−m≤3+2m,2−m≥-1,3+2m≤5$(等号不同时成立),解得$-\frac{1}{3}≤m≤1$.综上,$m≤1$.故③成立.