18. 如图,在菱形 ABCD 中,$∠A与∠B的度数比为1:2$,周长是 48 cm.
(1)求两条对角线的长度.
(2)求菱形的面积.

- （1）$AC = 12\sqrt{3}cm$，$BD = 12cm$。
（2）$72\sqrt{3}cm^{2}$。

19. 如图,在矩形 ABCD 中,$AB= 4cm,BC= 8cm$,点 P 从点 D 出发向点 A 运动,运动到点 A 即停止；同时点 Q 从点 B 出发向点 C 运动,运动到点 C 即停止. 点 P,Q 的速度都是$1cm/s$,连接 PQ,AQ,CP. 设点 P,Q 运动的时间为$t(s)$.
(1)当 t 为何值时,四边形 ABQP 是矩形？
(2)当运动时间 t 为 3 时,请判断四边形 AQCP 的形状,并说明理由.

(1) 当$t = 4$时，四边形$ABQP$是矩形。
(2) 四边形$AQCP$是菱形。理由：当$t = 3$时，$AP = CQ$且$AP// CQ$，所以四边形$AQCP$是平行四边形，又因为$AQ = CQ = 5$，所以平行四边形$AQCP$是菱形。

20. 如图,在矩形 ABCD 中,$AB= 12cm,BC= 6cm$,点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以$2cm/s$的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以$1cm/s$的速度移动,如果 P,Q 同时出发,用 t(秒)表示移动的时间$(0＜t＜6)$,那么：
(1)当 t 为何值时,$△QAP$为等腰直角三角形？
(2)求四边形 QAPC 的面积,提出一个与计算结果有关的结论.

(1) 当$t = 2$时，$\triangle QAP$为等腰直角三角形。
(2) 四边形$QAPC$的面积是$36cm^{2}$，结论：在点$P$、$Q$的移动过程中，四边形$QAPC$的面积始终保持不变，等于矩形$ABCD$面积的一半。

21. 如图,$//ogram ABCD$各角的平分线分别相交于点 E,F,G,H,求证：四边形 EFGH 是矩形.

因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$\angle DAB+\angle ABC = 180^{\circ}$。
又因为$AH$，$BH$分别平分$\angle DAB$与$\angle ABC$，所以$\angle HAB=\frac{1}{2}\angle DAB$，$\angle HBA=\frac{1}{2}\angle ABC$，则$\angle HAB+\angle HBA=\frac{1}{2}(\angle DAB+\angle ABC)=90^{\circ}$，所以$\angle H = 90^{\circ}$。
同理可证$\angle HEF=\angle F = 90^{\circ}$。
因为四边形$EFGH$有三个角是直角，所以四边形$EFGH$是矩形。