1.(2024·泰州期中)下列各组数中是勾股数的是()
A. $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$
B. 1,2,3
C. 0.3,0.4,0.5
D. 9,40,41

D
技法点拨
常见的勾股数有 $3,4,5;5,12,13;7,24,25$ 等. 一组勾股数中各数的相同的正整数倍是一组新的勾股数, 如 $6,8,10;10,24,26$ 等.

2.(2025·郑州期中)$\triangle ABC$的三边长分别为a,b,c.下列条件能判断$\triangle ABC$是直角三角形的个数是()
①$∠A= ∠B-∠C;$
②$a^{2}= (b+c)(b-c);$
③$∠A:∠B:∠C= 3:4:5;$
④$a:b:c= 5:12:13.$
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

C

3.已知$\triangle ABC$的三边长为a,b,c,满足$a+b= 10,$$ab= 18,c= 8$,则此三角形为____三角形.

直角

4.(2025·滨州月考)已知A,B,C是海上的三座小岛,岛A在岛C的北偏东$38^{\circ}$方向上,距离为5海里,岛B到岛A和岛C的距离分别是13海里和12海里,则岛B在岛C的____方向上.

南偏东 $52^{\circ}$ 或北偏西 $52^{\circ}$

5.如图,四边形ABCD中,$∠A= 90^{\circ},AB= 3,BC= $13,$CD= 12,AD= 4$,则四边形ABCD的面

积为____.

36 解析: 连接 $BD$, 则有 $BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}=3^{2}+4^{2}=5^{2}$, $\because 5^{2}+12^{2}=169=13^{2}$, 即 $BD^{2}+CD^{2}=BC^{2}$, $\therefore \triangle BCD$ 为直角三角形, $\therefore$ 四边形 $ABCD$ 的面积 $=S_{\triangle ADB}+S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD+\frac{1}{2}BD\cdot CD=\frac{1}{2}\times3\times4+\frac{1}{2}\times5\times12=36$.

6.教材变式(2024·南京校级月考)张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表:


(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系,并用含自然数$n(n＞1)$的代数式表示:
$a= $____;$b= $____;$c= $____.
(2)猜想:以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形? 为什么?

(1) $n^{2}-1$ $2n$ $n^{2}+1$
(2)以 $a,b,c$ 为边长的三角形是直角三角形.
理由: $\because a^{2}+b^{2}=(n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}=n^{4}+2n^{2}+1$, $c^{2}=(n^{2}+1)^{2}=n^{4}+2n^{2}+1$, $\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$, $\therefore$ 以 $a,b,c$ 为边长的三角形是直角三角形.

7.(益阳中考)已知M,N是线段AB上的两点,$AM= MN= 2,NB= 1$,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则$\triangle ABC$一定是()
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形

B 解析: 如图, $AC=AN=4$, $BC=BM=3$, $AB=2+2+1=5$, $\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$, $\therefore \triangle ABC$ 是直角三角形且 $\angle ACB=90^{\circ}$. 故选 B.

8.(2024·长沙模拟)如图,在$5×5$的正方形网格中,以AB为边画直角三角形ABC,使点C在格点上,满足这样条件的点C的个数是()

A. 4
B. 6
C. 8
D. 10

C 解析: ①当 $\angle BAC=90^{\circ}$ 时, 如图 ①, 可作出 2 个点 $C$, $\because AB^{2}=2^{2}+2^{2}=8$, $AC_{1}^{2}=AC_{2}^{2}=1^{2}+1^{2}=2$, $BC_{1}^{2}=BC_{2}^{2}=1^{2}+3^{2}=10$, $\therefore AC_{1}^{2}+AB^{2}=BC_{1}^{2}$, $AC_{2}^{2}+AB^{2}=BC_{2}^{2}$, $\therefore \triangle ABC_{1}$, $\triangle ABC_{2}$ 为直角三角形.

②当 $\angle ABC=90^{\circ}$ 时, 如图 ②, 可作出 4 个点 $C$, $\because AB^{2}=2^{2}+2^{2}=8$, $AC_{4}^{2}=AC_{5}^{2}=1^{2}+3^{2}=10$, $BC_{4}^{2}=BC_{5}^{2}=1^{2}+1^{2}=2$, $\therefore BC_{4}^{2}+AB^{2}=AC_{4}^{2}$, $BC_{5}^{2}+AB^{2}=AC_{5}^{2}$, $\therefore \triangle ABC_{4}$, $\triangle ABC_{5}$ 为直角三角形; $\because AB^{2}=2^{2}+2^{2}=8$, $AC_{3}^{2}=AC_{6}^{2}=4^{2}=16$, $BC_{3}^{2}=BC_{6}^{2}=2^{2}+2^{2}=8$, $\therefore BC_{3}^{2}+AB^{2}=AC_{3}^{2}$, $BC_{6}^{2}+AB^{2}=AC_{6}^{2}$, $\therefore \triangle ABC_{3}$, $\triangle ABC_{6}$ 为直角三角形.
③当 $\angle ACB=90^{\circ}$ 时, 如图 ③, 可作出 2 个点 $C$, $\because AB^{2}=2^{2}+2^{2}=8$, $AC_{7}^{2}=AC_{8}^{2}=BC_{7}^{2}=BC_{8}^{2}=2^{2}=4$, $\therefore BC_{7}^{2}+AC_{7}^{2}=AB^{2}$, $BC_{8}^{2}+AC_{8}^{2}=AB^{2}$, $\therefore \triangle ABC_{7}$, $\triangle ABC_{8}$ 为直角三角形.
综上, 以 $AB$ 为边画直角三角形 $ABC$, 使点 $C$ 在格点上, 满足这样条件的点 $C$ 共 8 个. 故选 C.