9.(2023·南通中考)勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数,世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a,b,c,其中a,b均小于c,$a= \frac{1}{2}m^{2}-\frac{1}{2},c= \frac{1}{2}m^{2}+\frac{1}{2}$,m是大于1的奇数,则$b= $____(用含m的式子表示).

$m$ 解析: $\because a,b,c$ 是勾股数, 且 $a,b$ 均小于 $c$, $\therefore b^{2}=c^{2}-a^{2}=(\frac{1}{2}m^{2}+\frac{1}{2})^{2}-(\frac{1}{2}m^{2}-\frac{1}{2})^{2}=m^{2}$. $\because m$ 是大于 1 的奇数, $\therefore b=m$.

10.已知等腰直角$\triangle ABC,∠ABC= 90^{\circ},AB= BC= $4,平面内有一点D,连接CD,AD,若$CD= 2,$$AD= 6$,则$∠BCD= $____.

$135^{\circ}$ 或 $45^{\circ}$ 解析: $\because \angle ABC=90^{\circ}$, $AB=BC=4$, $\therefore AC^{2}=4^{2}+4^{2}=32$. 而 $CD^{2}=4$, $AD^{2}=6^{2}=36$, $\therefore AD^{2}=AC^{2}+CD^{2}$, $\therefore \triangle ACD$ 为直角三角形, $\angle ACD=90^{\circ}$. $\because \triangle ABC$ 为等腰直角三角形, $\therefore \angle ACB=45^{\circ}$, 如图 ①, $\angle BCD=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$; 如图 ②, $\angle BCD=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$. 故 $\angle BCD=135^{\circ}$ 或 $45^{\circ}$.

11.一题多变(1)(2025·泉州月考)如图①是由4个边长为1的正方形组成的图形,则$∠ABC$的度数为____$^{\circ}$.

(2)(2025·郑州月考)如图②,单位长度为1的$3×3$的正方形网格中,A,B,C,D四点都在小正方形的顶点上,连接AB,CD,则AB,CD所夹的锐角度数为____$^{\circ}$.
(3)如图③,在正方形网格中,A,B,C,D,E均为格点,则$∠BAC-∠DAE= $____$^{\circ}$.

(1)45 解析: 如图 ①, 连接 $AC$, 由图可知, $AC=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$, $BC=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$, $AB=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$, $\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$, $AC=BC$, $\therefore \triangle ABC$ 是等腰直角三角形, $\therefore \angle ABC=45^{\circ}$.



(2)45 解析: 如图 ②, 取格点 $F$, 连接 $AF$, $BF$, 设 $AB$, $CD$ 相交于点 $P$, 则 $AF^{2}=1^{2}+2^{2}=5$, $BF^{2}=1^{2}+2^{2}=5$, $AB^{2}=1^{2}+3^{2}=10$, $\therefore AF^{2}+BF^{2}=AB^{2}$, $\therefore \triangle ABF$ 是直角三角形且 $\angle AFB=90^{\circ}$. $\because AF=BF=\sqrt{5}$, $\therefore \triangle ABF$ 是等腰直角三角形, $\therefore \angle FAB=\angle FBA=45^{\circ}$. $\because CD// BF$, $\therefore \angle APD=\angle ABF=45^{\circ}$, 即 $AB$, $CD$ 所夹的锐角度数为 $45^{\circ}$.
(3)45 解析: 如图 ③, 取格点 $F$, 连接 $AF$, $EF$, 易得 $\angle CAB=\angle FAD$. $\because \angle FAD-\angle DAE=\angle FAE$, $\therefore \angle BAC-\angle DAE=\angle FAE$. 设小正方形的边长为 1, 由勾股定理易得 $AF^{2}=5$, $EF^{2}=5$, $AE^{2}=10$, $\therefore AF^{2}+EF^{2}=AE^{2}$, $\therefore \triangle AFE$ 是等腰直角三角形, $\therefore \angle FAE=45^{\circ}$, 即 $\angle BAC-\angle DAE=45^{\circ}$.

12.如图,在$\triangle ABC$中,D是BC的中点,$DE⊥$$BC$,垂足为点D,交AB于点E,且$BE^{2}-$$EA^{2}= AC^{2}$.
(1)求证:$∠A= 90^{\circ};$
(2)若$DE= 3,BD= 4$,求AE的长.

(1) 连接 $CE$, $\because D$ 是 $BC$ 的中点, 且 $DE\perp BC$, $\therefore CE=BE$. $\because BE^{2}-EA^{2}=AC^{2}$, $\therefore CE^{2}-EA^{2}=AC^{2}$, $\therefore EA^{2}+AC^{2}=CE^{2}$, $\therefore \triangle ACE$ 是直角三角形, $\therefore \angle A=90^{\circ}$.
(2) $\because DE=3$, $BD=4$, $\therefore BE^{2}=DE^{2}+BD^{2}=3^{2}+4^{2}=25=5^{2}$, $\therefore BE=CE=5$, $\therefore AC^{2}=EC^{2}-AE^{2}=25-AE^{2}$. $\because BC=2BD=8$, $\therefore$ 在 $Rt\triangle BAC$ 中, 由勾股定理得 $BC^{2}-BA^{2}=64-(5+AE)^{2}=AC^{2}$, $\therefore 64-(5+AE)^{2}=25-AE^{2}$, 解得 $AE=\frac{7}{5}$.

13.新趋势 新定义 我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.
(1)如图①,已知格点(小正方形的顶点)O,A,B,若M为格点,请直接画出所有以OA,OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB;
(2)如图②,将$\triangle ABC$绕顶点B按顺时针方向旋转$60^{\circ}$,得到$\triangle DBE$,连接AD,DC,$∠DCB= 30^{\circ}$,求证:$DC^{2}+BC^{2}= AC^{2}$,即四边形ABCD是勾股四边形;
(3)如图③,在四边形ABCD中,$\triangle BCD$为等边三角形,$AB= 6,AD= 8,∠DAB= 30^{\circ}$,求AC的长.

(1) 如图.

(2) 连接 $CE$, 如图 ①. $\because \triangle ABC$ 绕顶点 $B$ 按顺时针方向旋转 $60^{\circ}$, 得到 $\triangle DBE$, $\therefore AC=DE$, $BC=BE$, $\angle CBE=60^{\circ}$, $\therefore \triangle BCE$ 是等边三角形, $\therefore EC=BC$, $\angle BCE=60^{\circ}$. $\because \angle DCB=30^{\circ}$, $\therefore \angle DCE=90^{\circ}$, $\therefore DC^{2}+EC^{2}=DE^{2}$, $\therefore DC^{2}+BC^{2}=AC^{2}$, $\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是勾股四边形.


(3) 如图 ②, 将 $\triangle ABC$ 绕顶点 $B$ 按逆时针方向旋转 $60^{\circ}$, 使点 $C$ 与点 $D$ 重合, 得到 $\triangle EBD$, 连接 $AE$, $\therefore AB=BE$, $AC=DE$, $\angle ABE=60^{\circ}$, $\therefore \triangle ABE$ 是等边三角形, $\therefore AE=AB$, $\angle EAB=60^{\circ}$. $\because \angle DAB=30^{\circ}$, $\therefore \angle DAE=\angle DAB+\angle BAE=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$, $\therefore \triangle DAE$ 为直角三角形, $\therefore DE^{2}=AD^{2}+AE^{2}$, 即 $AC^{2}=AD^{2}+AB^{2}$, $\therefore AC^{2}=8^{2}+6^{2}=10^{2}$, 即 $AC=10$.