9. (2025·南京校级月考)已知$y_{1}$,$y_{2}都是关于x$的一次函数,$y_{1}$的图象如图所示,若$y_{1} + 2y_{2} = 0$,下列哪一个大致是$y_{2}$的图象 ()

B 解析：由题意：设 $y_1 = k_1x + b_1$，$y_2 = k_2x + b_2$，由图象知 $k_1 ＜ 0$，$b_1 ＞ 0$，$\because y_1 + 2y_2 = 0$，$\therefore y_2 = -\frac{1}{2}y_1 = -\frac{1}{2}k_1x - \frac{1}{2}b_1$，$\therefore k_2 = -\frac{1}{2}k_1 ＞ 0$，$b_2 = -\frac{1}{2}b_1 ＜ 0$，$\therefore y_2$ 的图象经过第一、三、四象限。$\because |k_2| ＜ |k_1|$，$\therefore$ 一次函数 $y_2$ 的倾斜程度小，故选 B。

10. (2024·贵州期末)在平面直角坐标系中,点$O$是坐标原点,过点$A(1,2)的直线y = kx + b与x轴交于点B$,且$S_{\triangle AOB} = 4$,则$k$的值为 ()
A. $-\frac{2}{5}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $-\frac{2}{5}或\frac{2}{3}$
D. $\frac{2}{5}或-\frac{2}{3}$

D 解析：把 $y = 0$ 代入 $y = kx + b$，得 $kx + b = 0$，解得 $x = -\frac{b}{k}$，$\therefore$ 点 B 坐标为 $(-\frac{b}{k},0)$。把 $A(1,2)$ 代入 $y = kx + b$，得 $k + b = 2$，则 $b = 2 - k$。$\because S_{\triangle AOB} = 4$，$\therefore \frac{1}{2} \cdot |-\frac{b}{k}| \cdot 2 = 4$，即 $|\frac{b}{k}| = 4$，$\therefore |\frac{2 - k}{k}| = 4$，解得 $k = \frac{2}{5}$ 或 $-\frac{2}{3}$。故选 D。

11. (绍兴中考)已知$(x_{1},y_{1})$,$(x_{2},y_{2})$,$(x_{3},y_{3})为直线y = - 2x + 3$上的三个点,且$x_{1} ＜ x_{2} ＜ x_{3}$,则以下判断正确的是 ()
A. 若$x_{1}x_{2} ＞ 0$,则$y_{1}y_{3} ＞ 0$
B. 若$x_{1}x_{3} ＜ 0$,则$y_{1}y_{2} ＞ 0$
C. 若$x_{2}x_{3} ＞ 0$,则$y_{1}y_{3} ＞ 0$
D. 若$x_{2}x_{3} ＜ 0$,则$y_{1}y_{2} ＞ 0$

D 解析：$\because$ 直线 $y = -2x + 3$，$\therefore y$ 随 $x$ 增大而减小，当 $y = 0$ 时，$x = 1.5$。$\because (x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_3)$ 为直线 $y = -2x + 3$ 上的三个点，且 $x_1 ＜ x_2 ＜ x_3$，$\therefore$ 若 $x_1x_2 ＞ 0$，则 $x_1$，$x_2$ 同号，但不能确定 $y_1y_3$ 的正负，故选项 A 不符合题意；若 $x_1x_3 ＜ 0$，则 $x_1$，$x_3$ 异号，但不能确定 $y_1y_2$ 的正负，故选项 B 不符合题意；若 $x_2x_3 ＞ 0$，则 $x_2$，$x_3$ 同号，但不能确定 $y_1y_3$ 的正负，故选项 C 不符合题意；若 $x_2x_3 ＜ 0$，则 $x_2$，$x_3$ 异号，则 $x_1$，$x_2$ 同时为负，故 $y_1$，$y_2$ 同时为正，故 $y_1y_3 ＞ 0$，故选项 D 符合题意。故选 D。

12. 无论$a$取什么实数,点$P(a + 1,2a + 2)都在直线l$上,如果$Q(m,n)是直线l$上的点,那么$(2m - n - 1)^{2}$的值是____.

1 解析：$\because$ 无论 $a$ 取什么实数，点 $P(a + 1,2a + 2)$ 都在直线 $l$ 上，$\therefore$ 直线 $l$ 的表达式为 $y = 2x$。又 $\because Q(m,n)$ 是直线 $l$ 上的点，$\therefore n = 2m$，$\therefore (2m - n - 1)^2 = (2m - 2m - 1)^2 = 1$。

13. (桂林中考改编)如图,与图中直线$y = - x + 1关于x$轴对称的直线的函数表达式是____;与直线$y = - x + 1关于y$轴对称的直线的函数表达式是____.

$y = x - 1$ $y = x + 1$

14. 直线$y = kx - 2k + 3$恒过一定点,则该点的坐标是____.在平面直角坐标系中有三点$A(-1,0)$,$B(2,3)$,$C(5,0)$,若该直线$y = kx - 2k + 3将\triangle ABC分成左右面积之比为1:2$的两部分,则$k$的值是____.

$(2,3)$ 3 解析：$\because y = kx - 2k + 3 = k(x - 2) + 3$，$\therefore$ 当 $x = 2$ 时，$y = 3$，$\therefore$ 直线 $y = kx - 2k + 3$ 恒过点 $(2,3)$。如图，设直线 $y = kx - 2k + 3$ 与 $x$ 轴交于点 D。$\because$ 直线 $y = kx - 2k + 3$ 将 $\triangle ABC$ 分成左右面积之比为 $1:2$ 的两部分，$\therefore AD:CD = 1:2$。$\because A(-1,0)$，$B(2,3)$，$C(5,0)$，$\therefore AC = 5 + 1 = 6$，$\therefore AD = \frac{1}{3} \times 6 = 2$，$\therefore D(1,0)$。将点 $(1,0)$ 代入 $y = kx - 2k + 3$，得 $0 = k - 2k + 3$，解得 $k = 3$，故答案为 $(2,3)$；3。

归纳总结
含参数 $k$ 的一次函数的图象过定点时，可以把所有含 $k$ 的项进行整合，当 $k$ 的所有系数和为 0 时，$k$ 的取值就无法对式子造成影响。如本题中 $y = k(x - 2) + 3$，当 $x = 2$ 时，$k$ 的系数为 0，此时 $y = 3$，$\therefore k$ 无论取何值，都经过定点 $(2,3)$。再例如一次函数 $(2k - 1)x - (k + 3)y - (k - 11) = 0$ 可化简为 $(2x - 1 - y)k - x - 3y + 11 = 0$，当 $x,y$ 满足 $\begin{cases} 2x - 1 - y = 0 \\ -x - 3y + 11 = 0 \end{cases}$，即 $\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$ 时，无论 $k$ 取何值，等式一定成立，即该一次函数的图象过定点 $(2,3)$。

15. 如图,直线$y = x + 1交x$轴、$y轴分别于P$,$A$两点,直线$y = 2x + 2交y轴于B$点,过$B作x轴的平行线交直线PA于A_{1}$,过$A_{1}作y轴的平行线交直线PB于B_{1}$,过$B_{1}作x轴的平行线交直线PA于A_{2}$,…$$,如此反复,则$A_{6}$的坐标为____.

$(63,64)$ 解析：$\because$ 直线 $y = x + 1$ 交 $x$ 轴、$y$ 轴分别于 $P,A$ 两点，直线 $y = 2x + 2$ 交 $y$ 轴于 $B$ 点，$\therefore A(0,1)$，$B(0,2)$。$\because$ 过 $B$ 作 $x$ 轴的平行线交直线 $PA$ 于 $A_1$，$\therefore A_1(1,2)$。$\because$ 过 $A_1$ 作 $y$ 轴的平行线交直线 $PB$ 于 $B_1$，$\therefore B_1(1,4)$。$\because$ 过 $B_1$ 作 $x$ 轴的平行线交直线 $PA$ 于 $A_2$，$\therefore A_2(3,4)$，$\therefore A_1$ 的横坐标为 1，$A_2$ 的横坐标为 $1 + 2$，$A_3$ 的横坐标为 $1 + 2 + 4$，$A_4$ 的横坐标为 $1 + 2 + 4 + 8$，$A_5$ 的横坐标为 $1 + 2 + 4 + 8 + 16$，$A_6$ 的横坐标为 $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63$。$\because$ 点 $A_6$ 在直线 $y = x + 1$ 上，$\therefore$ 点 $A_6$ 的纵坐标为 64，$\therefore$ 点 $A_6(63,64)$。

16. (1)一次函数$y = ax - a + 1$($a$为常数,且$a \neq 0$),当$-1 \leq x \leq 2$时,函数有最大值2,求出$a$的值;
(2)一次函数$y = kx + b的自变量的取值范围是-3 \leq x \leq 6$,相应函数值的取值范围是$-5 \leq y \leq - 2$,求这个函数的表达式.

(1)分两种情况：①当 $a ＞ 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，则当 $x = 2$ 时，$y$ 有最大值 2。把 $x = 2$，$y = 2$ 代入函数表达式得 $2 = 2a - a + 1$，解得 $a = 1$。②当 $a ＜ 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，则当 $x = -1$ 时，$y$ 有最大值 2。把 $x = -1$，$y = 2$ 代入函数表达式得 $2 = -a - a + 1$，解得 $a = -\frac{1}{2}$。综上所述，$a = -\frac{1}{2}$ 或 $a = 1$。
(2)分两种情况：①当 $k ＞ 0$ 时，把 $x = -3$，$y = -5$；$x = 6$，$y = -2$ 代入一次函数的表达式 $y = kx + b$，得 $\begin{cases} -3k + b = -5 \\ 6k + b = -2 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} k = \frac{1}{3} \\ b = -4 \end{cases}$，则这个函数的表达式是 $y = \frac{1}{3}x - 4$。②当 $k ＜ 0$ 时，把 $x = -3$，$y = -2$；$x = 6$，$y = -5$ 代入一次函数的表达式 $y = kx + b$，得 $\begin{cases} -3k + b = -2 \\ 6k + b = -5 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} k = -\frac{1}{3} \\ b = -3 \end{cases}$，则这个函数的表达式是 $y = -\frac{1}{3}x - 3$。综上，这个函数的表达式是 $y = \frac{1}{3}x - 4$ 或 $y = -\frac{1}{3}x - 3$。