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1. (2024·广安中考)某小区物管中心计划采购A,B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元;购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元.
(1)求A,B两种花卉的单价.
(2)该物管中心计划采购A,B两种花卉共计10000株,其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍,当A,B两种花卉分别采购多少株时,总费用最少?并求出最少总费用.
(1)求A,B两种花卉的单价.
(2)该物管中心计划采购A,B两种花卉共计10000株,其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍,当A,B两种花卉分别采购多少株时,总费用最少?并求出最少总费用.
答案
(1) 设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株，由题意得 $\begin{cases}2x + 3y = 21 \\ 4x + 5y = 37\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x = 3 \\ y = 5\end{cases}$。
答：A种花卉的单价为3元/株，B种花卉的单价为5元/株。
(2) 设采购A种花卉m株，则采购B种花卉 $(10000 - m)$ 株，总费用为W元，由题意得 $W = 3m + 5(10000 - m) = -2m + 50000$。由 $m\leqslant4(10000 - m)$，解得 $m\leqslant8000$，在 $W = -2m + 50000$ 中，$\because -2 ＜ 0$，$\therefore W$ 随m的增大而减小，$\therefore$ 当 $m = 8000$ 时W的值最小，$W_{最小} = -2\times8000 + 50000 = 34000$，此时 $10000 - m = 2000$。
答：当采购A种花卉8000株，B种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元。
答：A种花卉的单价为3元/株，B种花卉的单价为5元/株。
(2) 设采购A种花卉m株，则采购B种花卉 $(10000 - m)$ 株，总费用为W元，由题意得 $W = 3m + 5(10000 - m) = -2m + 50000$。由 $m\leqslant4(10000 - m)$，解得 $m\leqslant8000$，在 $W = -2m + 50000$ 中，$\because -2 ＜ 0$，$\therefore W$ 随m的增大而减小，$\therefore$ 当 $m = 8000$ 时W的值最小，$W_{最小} = -2\times8000 + 50000 = 34000$，此时 $10000 - m = 2000$。
答：当采购A种花卉8000株，B种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元。
2. (2024·云南中考)A,B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意,深受大家喜欢.某超市销售A,B两种型号的吉祥物,有关信息见下表:
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物,则一共需要670元;购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物,则一共需要410元.
(1)求a,b的值;
(2)若某公司计划从该超市购买A,B两种型号的吉祥物共90个,且购买A种型号吉祥物的数量x(单位:个)不少于B种型号吉祥物数量的$\frac{4}{3},$又不超过B种型号吉祥物数量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元,求y的最大值.
注:该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与成本的差.
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物,则一共需要670元;购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物,则一共需要410元.
(1)求a,b的值;
(2)若某公司计划从该超市购买A,B两种型号的吉祥物共90个,且购买A种型号吉祥物的数量x(单位:个)不少于B种型号吉祥物数量的$\frac{4}{3},$又不超过B种型号吉祥物数量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元,求y的最大值.
注:该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与成本的差.
答案
(1) 由题知，$\begin{cases}8a + 7b = 670 \\ 4a + 5b = 410\end{cases}$，解得 $\begin{cases}a = 40 \\ b = 50\end{cases}$。
(2) $\because$ 购买A种型号吉祥物x个，$\therefore$ 购买B种型号吉祥物 $(90 - x)$ 个。$\because$ 购买A种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的 $\frac{4}{3}$，$\therefore x\geqslant\frac{4}{3}(90 - x)$，解得 $x\geqslant\frac{360}{7}$。又 $\because$ 购买A种型号吉祥物的数量不超过B种型号吉祥物数量的2倍，$\therefore x\leqslant2(90 - x)$，解得 $x\leqslant60$，$\therefore\frac{360}{7}\leqslant x\leqslant60$。由题知，$y = (40 - 35)x + (50 - 42)(90 - x)$，整理得 $y = -3x + 720$，$\because -3 ＜ 0$，$\therefore y$ 随x的增大而减小，$\therefore$ 当 $x = 52$ 时，y最大，最大值为 $y = -3\times52 + 720 = 564$。
(2) $\because$ 购买A种型号吉祥物x个，$\therefore$ 购买B种型号吉祥物 $(90 - x)$ 个。$\because$ 购买A种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的 $\frac{4}{3}$，$\therefore x\geqslant\frac{4}{3}(90 - x)$，解得 $x\geqslant\frac{360}{7}$。又 $\because$ 购买A种型号吉祥物的数量不超过B种型号吉祥物数量的2倍，$\therefore x\leqslant2(90 - x)$，解得 $x\leqslant60$，$\therefore\frac{360}{7}\leqslant x\leqslant60$。由题知，$y = (40 - 35)x + (50 - 42)(90 - x)$，整理得 $y = -3x + 720$，$\because -3 ＜ 0$，$\therefore y$ 随x的增大而减小，$\therefore$ 当 $x = 52$ 时，y最大，最大值为 $y = -3\times52 + 720 = 564$。
3. (牡丹江中考)某书店现有资金7700元,计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套,其中甲种图书每套500元,乙种图书每套400元,丙种图书每套250元.书店将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套550元、430元、310元.设书店购进甲种图书x套,乙种图书y套,请解答下列问题:
(1)请求出y与x的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围).
(2)若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套,则该书店有几种进货方案?
(3)在(1)和(2)的条件下,根据市场调查,书店决定将三种图书的售价作如下调整:甲种图书的售价不变,乙种图书的售价上调a(a为正整数)元,丙种图书的售价下调a元,这样三种图书全部售出后,所获得的利润比(2)中某方案的利润多出20元,请直接写出书店是按哪种方案进的货及a的值.
(1)请求出y与x的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围).
(2)若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套,则该书店有几种进货方案?
(3)在(1)和(2)的条件下,根据市场调查,书店决定将三种图书的售价作如下调整:甲种图书的售价不变,乙种图书的售价上调a(a为正整数)元,丙种图书的售价下调a元,这样三种图书全部售出后,所获得的利润比(2)中某方案的利润多出20元,请直接写出书店是按哪种方案进的货及a的值.
答案
(1) 根据题意得，购进丙种图书 $(20 - x - y)$ 套，则有 $500x + 400y + 250\times(20 - x - y) = 7700$，$\therefore$ 函数表达式为 $y = -\frac{5}{3}x + 18$。
(2) 根据题意，得 $-\frac{5}{3}x + 18\geqslant1$，解得 $x\leqslant10\frac{1}{5}$，又 $\because x\geqslant1$，$\therefore1\leqslant x\leqslant10\frac{1}{5}$。$\because x$，$y$，$(20 - x - y)$ 为正整数，$\therefore x = 3$，6，9，即有三种进货方案：①甲、乙、丙三种图书分别为3套，13套，4套；②甲、乙、丙三种图书分别为6套，8套，6套；③甲、乙、丙三种图书分别为9套，3套，8套。
(3) 进货方案是甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套，$a = 10$。
解析：若按方案一，则有 $13a - 4a = 20$，解得 $a = \frac{20}{9}$（不是正整数，不符合题意，舍去）；若按方案二，则有 $8a - 6a = 20$，解得 $a = 10$（符合题意）；若按方案三，则有 $3a - 8a = 20$，解得 $a = -4$（不是正整数，不符合题意，舍去）。$\therefore$ 进货方案是甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套，$a = 10$。
(2) 根据题意，得 $-\frac{5}{3}x + 18\geqslant1$，解得 $x\leqslant10\frac{1}{5}$，又 $\because x\geqslant1$，$\therefore1\leqslant x\leqslant10\frac{1}{5}$。$\because x$，$y$，$(20 - x - y)$ 为正整数，$\therefore x = 3$，6，9，即有三种进货方案：①甲、乙、丙三种图书分别为3套，13套，4套；②甲、乙、丙三种图书分别为6套，8套，6套；③甲、乙、丙三种图书分别为9套，3套，8套。
(3) 进货方案是甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套，$a = 10$。
解析：若按方案一，则有 $13a - 4a = 20$，解得 $a = \frac{20}{9}$（不是正整数，不符合题意，舍去）；若按方案二，则有 $8a - 6a = 20$，解得 $a = 10$（符合题意）；若按方案三，则有 $3a - 8a = 20$，解得 $a = -4$（不是正整数，不符合题意，舍去）。$\therefore$ 进货方案是甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套，$a = 10$。
