1. 已知点P为$∠CAB$内一点,且点P到AB,AC的距离$PE= PF$,则$△PEA\cong △PFA$的理由是()
A. HL
B. SSS
C. ASA
D. SAS

A

2. (2025·扬州月考)下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是()
A. 一组锐角和斜边分别对应相等
B. 两个锐角分别对应相等
C. 两组直角边分别对应相等
D. 斜边和一组直角边分别对应相等

B
归纳总结
判定两个三角形全等的一般方法有SAS、ASA、AAS、SSS、HL，需要注意的是AAA和SSA不能判定两个三角形全等。

3. 如图,已知$AC⊥BD$于点P,$AP= CP$,请增加一个条件,使$△ABP\cong △CDP$(不能添加辅助线).
(1) 若以“SAS”为依据,则可添加条件______;
(2) 若以“HL”为依据,则可添加条件______;
(3) 若以“ASA”为依据,则可添加条件______;
(4) 若以“AAS”为依据,则可添加条件

______.

(1)$BP=DP$ (2)$AB=CD$ (3)$∠A=∠C$ (4)$∠B=∠D$（部分答案不唯一）

4. (2024·赣州期中)如图,幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子($BC= EF$),且$AC= DF$,已知$AC⊥BF,ED⊥BF$,则$∠B+∠F= $______°.

90

5. 如图,在$△ABC$中,$∠A= 90^{\circ }$,D为BC上一点且$CD= CA,DE⊥BC$.若$AB= 5cm,DE= 2cm$,则$BE= $______cm.

3 解析：连接$CE$，$\because DE⊥BC$，$\therefore ∠CDE=90^{\circ }$。在$Rt△CDE$和$Rt△CAE$中，$\left\{\begin{array}{l} CD=CA,\\ CE=CE,\end{array}\right. $$\therefore Rt△CDE\cong Rt△CAE(HL)$，$\therefore DE=AE=2cm$，$\therefore BE=AB - AE=5 - 2=3(cm)$。

6. (2024·盘锦月考)如图,已知$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },CA= CB$,D是AC上一点,E在BC的延长线上,且$AE= BD$,BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并说明你猜想的正确性.

猜想：$BF⊥AE$。理由：$\because ∠ACB=90^{\circ }$，$\therefore ∠ACE=∠BCD=90^{\circ }$。在$Rt△BDC$和$Rt△AEC$中，$\left\{\begin{array}{l} BC=AC,\\ BD=AE,\end{array}\right. $$\therefore Rt△BDC\cong Rt△AEC(HL)$，$\therefore ∠CBD=∠CAE$。又$\because ∠CAE+∠E=90^{\circ }$，$\therefore ∠EBF+∠E=90^{\circ }$，$\therefore ∠BFE=90^{\circ }$，$\therefore BF⊥AE$。

7. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },∠B= 50^{\circ }$,D,F分别是BC,AC上的点,$DE⊥AB$,垂足为E,$CF= BE,DF= DB$,则$∠ADE$的度数为()

A. $40^{\circ }$
B. $50^{\circ }$
C. $70^{\circ }$
D. $71^{\circ }$

C 解析：根据题意，在$Rt△ABC$中，$∠CAB=90^{\circ }-∠B=40^{\circ }$。在$Rt△CDF$和$Rt△EDB$中，$\left\{\begin{array}{l} FC=BE,\\ DF=DB,\end{array}\right. $$\therefore Rt△CDF\cong Rt△EDB(HL)$，$\therefore CD=DE$。在$Rt△ACD$和$Rt△AED$中，$\left\{\begin{array}{l} CD=ED,\\ AD=AD,\end{array}\right. $$\therefore Rt△ACD\cong Rt△AED(HL)$，$\therefore ∠CAD=∠EAD=\frac {1}{2}∠CAB=20^{\circ }$，$\therefore$ 在$Rt△ADE$中，$∠ADE=90^{\circ }-∠EAD=70^{\circ }$，故选C。

8. (2024·徐州校级期中)如图,正方形ABCD的顶点B在直线l上,将直线l向上平移线段AB的长得到直线m,直线m分别交AD,CD于点E,F.若求$△DEF$的周长,则只需知道()

A. AB的长
B. FE的长
C. DE的长
D. DF的长

A 解析：过点B作$BH⊥$直线m于点H，连接BE，BF，$\because$ 直线l向上平移线段AB的长得到直线m，$\therefore BH=AB$。又$∠A=∠BHE=90^{\circ }$，$EB=EB$，$\therefore Rt△AEB\cong Rt△HEB(HL)$，$\therefore AE=EH$。同理$Rt△FCB\cong Rt△FHB(HL)$，$\therefore HF=CF$，$\therefore △DEF$的周长为$DE+EF+DF=DE+EH+HF+DF=DE+AE+DF+CF=AD+CD=2AB$，$\therefore$ 若求$△DEF$的周长，则只需知道AB的长。故选A。

9. 在$△ABC和△DEF$中,$AB= DE,AC= DF,∠C= 50^{\circ },AM,DN$分别为BC,EF边上的高,且$AM= DN$,则$∠F$的度数为______.

$50^{\circ }$或$130^{\circ }$ 解析：如图①所示，$\because AM$，$DN$分别为$BC$，$EF$边上的高，$\therefore △ACM$和$△DFN$均为直角三角形。$\because$ 在$Rt△ACM$和$Rt△DFN$中，$\left\{\begin{array}{l} AC=DF,\\ AM=DN,\end{array}\right. $$\therefore Rt△ACM\cong Rt△DFN(HL)$，$\therefore ∠DFE=∠ACB=50^{\circ }$。如图②所示，$\because AM$，$DN$分别为$BC$，$EF$边上的高，$\therefore △ACM$和$△DFN$均为直角三角形。$\because$ 在$Rt△ACM$和$Rt△DFN$中，$\left\{\begin{array}{l} AC=DF,\\ AM=DN,\end{array}\right. $$\therefore Rt△ACM\cong Rt△DFN(HL)$，$\therefore ∠DFN=∠ACB=50^{\circ }$。$\therefore ∠DFE=130^{\circ }$。综上，$∠F$的度数为$50^{\circ }$或$130^{\circ }$。