10. 如图,在$△ADE和△ABC$中,$∠E= ∠C,DE= BC,EA= CA$,过A作$AF⊥DE$,垂足为F,DE交CB的延长线于点G,连接AG.四边形DGBA的面积为12,$AF= 4$,则FG的长是______.

3 解析：过点A作$AH⊥BC$于H，如图所示，在$△ABC$与$△ADE$中，$\left\{\begin{array}{l} BC=DE,\\ ∠C=∠E,\\ CA=EA,\end{array}\right. $$\therefore △ABC\cong △ADE(SAS)$，$\therefore AD=AB$，$S_{△ABC}=S_{△ADE}$。又$\because AF⊥DE$，$\therefore \frac {1}{2}×DE×AF=\frac {1}{2}×BC×AH$，$\therefore AF=AH$。又$\because AF⊥DE$，$AH⊥BC$，$\therefore$ 在$Rt△AFG$和$Rt△AHG$中，$\left\{\begin{array}{l} AG=AG,\\ AF=AH,\end{array}\right. $$\therefore Rt△AFG\cong Rt△AHG(HL)$。同理，$Rt△ADF\cong Rt△ABH(HL)$，$\therefore S_{四边形DGBA}=S_{四边形AFGH}=12$。$\because Rt△AFG\cong Rt△AHG$，$\therefore Rt△AFG$的面积为6。$\because AF=4$，$\therefore \frac {1}{2}×FG×4=6$，解得$FG=3$。

11. 新趋势 尺规作图 求证:一条直角边相等且这条边相邻锐角的平分线也相等的两个直角三角形全等.
要求:根据给出的$Rt△ABC和Rt△A'B'C'(∠C= ∠C'= 90^{\circ },AC= A'C')$,在此图形上用尺规作出$∠CAB和∠C'A'B'$的平分线,不写作法,保留作图痕迹,并据此写出已知、求证和证明过程.

如图，$AD$，$A'D'$即为所求作。
已知：如图，$∠C=∠C'=90^{\circ }$，$AC=A'C'$，$AD$平分$∠BAC$，$A'D'$平分$∠B'A'C'$，$AD=A'D'$，求证：$△ABC\cong △A'B'C'$。
证明：在$Rt△ACD$和$Rt△A'C'D'$中，$\left\{\begin{array}{l} AC=A'C',\\ AD=A'D',\end{array}\right. $$\therefore Rt△ACD\cong Rt△A'C'D'(HL)$，$\therefore ∠CAD=∠C'A'D'$。$\because AD$平分$∠BAC$，$A'D'$平分$∠B'A'C'$，$\therefore ∠CAB=2∠CAD$，$∠C'A'B'=2∠C'A'D'$，$\therefore ∠CAB=∠C'A'B'$。在$△ABC$与$△A'B'C'$中，$\left\{\begin{array}{l} ∠CAB=∠C'A'B',\\ AC=A'C',\\ ∠C=∠C',\end{array}\right. $$\therefore △ABC\cong △A'B'C'(ASA)$。
　

12. (南京中考)【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示:在$△ABC和△DEF$中,$AC= DF,BC= EF,∠B= ∠E$,然后对$∠B$进行分类,可分为“$∠B$是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】
第一种情况:当$∠B$是直角时,$△ABC\cong △DEF$.
(1) 如图①,在$△ABC和△DEF$中,$AC= DF,BC= EF,∠B= ∠E= 90^{\circ }$,根据______,可以知道$Rt△ABC\cong Rt△DEF$.

第二种情况:当$∠B$是钝角时,$△ABC\cong △DEF$.
(2) 如图②,在$△ABC和△DEF$中,$AC= DF,BC= EF,∠B= ∠E$,且$∠B,∠E$都是钝角,求证:$△ABC\cong △DEF$.

第三种情况:当$∠B$是锐角时,$△ABC和△DEF$不一定全等.
(3) 在$△ABC和△DEF$中,$AC= DF,BC= EF,∠B= ∠E$,且$∠B,∠E$都是锐角,请你用尺规在图③中作出$△DEF$,使$△DEF和△ABC$不全等.(不写作法,保留作图痕迹)
(4) $∠B$还要满足什么条件,就可以使$△ABC\cong △DEF$? 请直接写出结论:在$△ABC和△DEF$中,$AC= DF,BC= EF,∠B= ∠E$,且$∠B,∠E$都是锐角,若______,则$△ABC\cong △DEF$.

(1) HL
(2) 如图①，过点C作$CG⊥AB$交AB的延长线于点G，过点F作$FH⊥DE$交DE的延长线于点H，$\because ∠ABC=∠DEF$，且$∠ABC$，$∠DEF$都是钝角，$\therefore 180^{\circ }-∠ABC=180^{\circ }-∠DEF$，即$∠CBG=∠FEH$。在$△CBG$和$△FEH$中，$\left\{\begin{array}{l} ∠G=∠H=90^{\circ },\\ ∠CBG=∠FEH,\\ BC=EF,\end{array}\right. $$\therefore △CBG\cong △FEH(AAS)$，$\therefore CG=FH$。在$Rt△ACG$和$Rt△DFH$中，$\left\{\begin{array}{l} AC=DF,\\ CG=FH,\end{array}\right. $$\therefore Rt△ACG\cong Rt△DFH(HL)$，$\therefore ∠A=∠D$。在$△ABC$和$△DEF$中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ABC=∠DEF,\\ ∠A=∠D,\\ AC=DF,\end{array}\right. $$\therefore △ABC\cong △DEF(AAS)$。
　　　　
(3) 如图②所示。
(4)$∠B≥∠A$或$∠B+∠C=90^{\circ }$