8. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 $ MNKT $、正方形 $ EFGH $ 和正方形 $ ABCD $ 的面积分别为 $ S_1, S_2, S_3 $。若已知图中阴影部分的面积，且不分别求 $ S_1, S_2, S_3 $ 的值，则下列能求出的值为（ ）
A. $ S_1 + 2S_3 $
B. $ S_3 - \frac{1}{2}S_1 $
C. $ S_1 + S_2 + S_3 $
D. $ S_1 + S_3 - 2S_2 $

D

9. 在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理. 如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理. 图②是由图①放入长方形内得到的. 已知$∠ BAC = 90°$，$AB = 3$，$AC=4$，且$D,E,F,G,H,I$六点都在长方形$KLMJ$的边上，那么长方形$KLMJ$的面积为______.

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10. 新素养运算能力 图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若$AC=6,BC=5$，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的周长是______．

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11. 如图,在四边形ABCD中,$BD ⊥ CD$,
$AE ⊥ BD$,且$△ ABE ≌ △ BCD$. 求证:
$AB^2 = AE^2 + BE^2$.

; 证明：连接​$AC$​∵​$\triangle ABE≌\triangle BCD$​∴​$AB = BC，$​​$AE = BD，$​​$BE = CD，$​​$∠BAE=∠CBD$​又​$AE\perp BD$​∴​$∠ABE+∠BAE = 90°，$​即​$∠ABE+∠CBD = 90°$​∴​$∠ABC = 90°$​又​$BD\perp CD，$​∴​$AE//CD，$​即​$\triangle ACD$​的底边​$CD$​上的高等于​$DE$​的长∴​$S_{\triangle ACD}=\frac 12CD·DE$​又​$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}$​∴​$\frac 12\ \mathrm {A}E·BD+\frac 12BD·CD=\frac 12\ \mathrm {A}B·BC+\frac 12CD·DE，$​即​$AE^2+BD·CD = AB^2+CD·DE$​∴​$AB^2=AE^2+CD·(BD - DE)$​即​$AB^2=AE^2+BE^2$​

12. 如图,正方形ABCD的边长为2,其面积记为$S_1$,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积记为$S_2$……按照此规律继续下去,则$S_9$的值为（ ）
A. $(\dfrac{1}{2})^6$
B. $(\dfrac{1}{2})^7$
C. $(\dfrac{3}{2})^6$
D. $(\dfrac{3}{2})^7$

A

13. 已知在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ ABC = 90°$，$AB = 3$，$BC = 4$，过点 $B$ 的直线把 $△ ABC$ 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积为$\underline{\hspace{8cm}}$．

3.6或4.32或4.8