9 (2024 广安)如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC=10,∠C=70°,以 AB 为直径作半圆,与AC,BC 分别相交于点 D,E,则$\overset{\frown}{DE}$的长度为 （ ）
A. $\frac{π}{9}$
B. $\frac{5π}{9}$
C. $\frac{10π}{9}$
D. $\frac{25π}{9}$

C

10 (2024 西宁)如图,在$△ ABC$中,$∠ A=70°$,$BC=12$,$D$是$BC$的中点,分别以点$B,C$为圆心,$BD$长为半径作弧,交$AB$于点$E$,交$AC$于点$F$,则图中阴影部分的面积是$\underline{\hspace{5em}}$.

$11\pi$

11（2024甘南州）如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，$∠ B=58°$，$∠ ACD=40°$。若$\odot O$的半径为5，则弧CD的长为______。

$\pi$

12（2024资阳）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2. 以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与$\overset{\frown}{DE}$交于点F，则图中阴影部分的面积为$\underline{\hspace{5cm}}$．

$\sqrt{3}+\frac{2\pi}{3}$

13 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$E$在$AC$上,经过$A,B,E$三点的$\odot O$交$BC$于点$D$,且$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DE}$.
(1) 求证:$AB$为$\odot O$的直径;
(2) 若$AB=8$,$∠ BAC=45°$,求阴影部分的面积.

​$ (1) $​证明：连接​$AD$​∵​$\widehat {BD}=\widehat {DE}，$​∴​$∠BAD = ∠CAD$​ 又∵​$AB = AC$​∴​$AD\perp BC，$​∴​$∠ADB = 90°$​∴​$AB$​为​$\odot O$​的直径​$ (2) $​解：∵​$AB$​为​$\odot O$​的直径∴点​$O$​在​$AB$​上，连接​$OE$​ 由圆周角定理，得​$∠AOE = ∠BOE = 90°$​∴阴影部分的面积为​$\frac 12×4×4+\frac {90\pi ×4^2}{360}=8 + 4\pi$​ ;

14 如图，$\odot O$的直径为10，$P$是弦$AB$所对优弧上一动点，连接$AP$，$BP$，过点$A$作$AH⊥ BP$，垂足为$H$.
(1) 若$∠ P=45°$，求$AB$的长及$\overset{\frown}{AB}$的长；
(2) 若$AB=5$，求点$H$到$AP$的距离的最大值.

解：​$(1) $​连接​$OA，$​​$OB$​∵​$\odot O$​的直径为​$10，$​∴​$OA = OB = 5$​∵​$∠P = 45°，$​∴​$∠AOB = 2∠P = 90°$​∴​$AB = \sqrt {OA^2+OB^2} = 5\sqrt 2，$​​$\widehat {AB}$​的长为​$\frac {90\pi ×5}{180}=\frac {5\pi }2$​​$ (2)$​∵​$AB = OA = OB = 5，$​∴​$\triangle AOB$​为等边三角形∴​$∠AOB = 60°，$​∴​$∠P=\frac 12∠AOB = 30°$​∵​$AH\perp BP，$​∴​$AH = \frac 12\ \mathrm {AP}，$​​$PH = \frac {\sqrt 3}2\ \mathrm {AP}$​​$ $​设点​$H$​到​$AP $​的距离为​$h$​​$ $​则​$\frac 12\ \mathrm {A}H·PH=\frac 12\ \mathrm {AP·h}，$​∴​$h = \frac {\sqrt 3}4\ \mathrm {AP}$​​$ $​若要​$h{最大}，$​则​$AP $​最大即可​$ $​故当​$AP $​为直径时，​$h{最大}，$​​$h $​的最大值为​$\frac {\sqrt 3}4×10=\frac {5\sqrt 3}2$​ ;