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11. (2024·滨州中考)如图，四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，若四边形 $OABC$ 是菱形，则 $∠ D =$
60°
。答案
11.60°
12. 如图，已知锐角三角形 $ABC$ 内接于半径为 $2$ 的 $\odot O$，$OD ⊥ BC$ 于点 $D$，$∠ BAC = 60^{\circ}$，则 $OD$ =
1
。答案
12.1
13. (2023·浙江金华中考)如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC = 6cm$，$∠ BAC = 50^{\circ}$，以 $AB$ 为直径作半圆，交 $BC$ 于点 $D$，交 $AC$ 于点 $E$，则弧 $DE$ 的长为
$\frac{5}{6}$π
$cm$。答案
13.$\frac{5}{6}$π
14. 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$PA$ 切 $\odot O$ 于点 $A$，线段 $PO$ 交 $\odot O$ 于点 $C$，连接 $BC$，若 $∠ P = 36^{\circ}$，则 $∠ B =$
27°
。答案
14.27°
15. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，以 $AB$ 为直径的半圆 $O$ 经过点 $C$，$D$，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $E$，$CD^{2} = CE · CA$，分别延长 $AB$，$DC$ 相交于点 $P$，$PB = BO$，$CD = 2\sqrt{2}$，则 $BO$ 的长是
4
。答案
15.4
16. (2023·重庆中考)如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 2$，$BC = 4$，$E$ 为 $BC$ 的中点，连接 $AE$，$DE$。以 $E$ 为圆心，$EB$ 长为半径画弧，分别与 $AE$，$DE$ 交于点 $M$，$N$，则图中阴影部分的面积为
4−π
。(结果保留 $π$)答案
16.4−π
17. (8 分)如图，以 $△ ABC$ 的边 $BC$ 为直径作 $\odot O$，点 $A$ 在 $\odot O$ 上，点 $D$ 在线段 $BC$ 的延长线上，$AD = AB$，$∠ D = 30^{\circ}$。
(1) 求证：直线 $AD$ 是 $\odot O$ 的切线；
(2) 若直径 $BC = 4$，求图中阴影部分的面积。
(1) 求证：直线 $AD$ 是 $\odot O$ 的切线；
(2) 若直径 $BC = 4$，求图中阴影部分的面积。
答案
17.(1)证明:连接OA,则∠COA=2∠B.
∵AD=AB,
∴∠B=∠D=30°.
∴∠COA=60°.
∴∠OAD=180°−60°−30°=90°.
∴OA⊥AD,
即AD是⊙O的切线.
(2)解:
∵BC=4,
∴OA=OC=2.
在Rt△OAD中,OA=2,∠D=30°,
∴OD=2OA=4,AD=2$\sqrt{3}$.
∴S△OAD=$\frac{1}{2}$OA·AD=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$
∵∠COA=60°,
∴S扇形COA=$\frac{60π· 2^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}$π.
∴S阴影=S△OAD−S扇形COA=2$\sqrt{3}$−$\frac{2π}{3}$.
