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13. 已知二次函数$y=x^2+bx+c$（$b,c$为常数）的图象经过点$A(-2,3)$，对称轴为直线$x=-1$。
（1）求二次函数的表达式。
（2）若点$B(1,8)$向上平移3个单位长度，向左平移$m(m＞0)$个单位长度后，恰好落在$y=x^2+bx+c$的图象上，求$m$的值。
（3）当$n≤x≤n+1$时，二次函数$y=x^2+bx+c$的最大值与最小值的差为3，求$n$的值。
（1）求二次函数的表达式。
（2）若点$B(1,8)$向上平移3个单位长度，向左平移$m(m＞0)$个单位长度后，恰好落在$y=x^2+bx+c$的图象上，求$m$的值。
（3）当$n≤x≤n+1$时，二次函数$y=x^2+bx+c$的最大值与最小值的差为3，求$n$的值。
答案
(1) 当$x=-2$时,$y=3$,所以$4-2b+c=3$,即$-2b+c=-1$。因为$-\frac{b}{2}=-1$,所以$b=2$,得$c=3$。所以二次函数的表达式为$y=x^2+2x+3$。
(2) 点B平移后的坐标为$(1-m,11)$,它在二次函数的图象上,所以$(1-m)^2+2(1-m)+3=11$,解得$m_1=5,m_2=-1$。因为$m＞0$,所以$m=5$。
(3) $y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2$,所以该二次函数图象的对称轴为直线$x=-1$,$y$的最小值为2。
当$x=n$时,$y=n^2+2n+3$；
当$x=n+1$时,$y=(n+1)^2+2(n+1)+3=n^2+4n+6$。
①若$n+1≤-1$,即$n≤-2$。
当$x=n$时,$y_{最大值}=n^2+2n+3$；当$x=n+1$时,$y_{最小值}=n^2+4n+6$。
因为最大值与最小值的差为3,
所以$(n^2+2n+3)-(n^2+4n+6)=3$,解得$n=-3$,符合题意。
②若$\begin{cases}n＜-1,\\n+1＞-1,\\-1-n≥n+1-(-1),\end{cases}$即$-2＜n≤-\frac{3}{2}$。
当$x=n$时,$y_{最大值}=n^2+2n+3$；当$x=-1$时,$y_{最小值}=2$。
因为最大值与最小值的差为3,
所以$(n^2+2n+3)-2=3$,得$n^2+2n-2=0$,解得$n_1=\sqrt{3}-1,n_2=-\sqrt{3}-1$,都不符合题意,舍去。
③若$\begin{cases}n≤-1,\\n+1＞-1,\\-1-n＜n+1-(-1),\end{cases}$即$-\frac{3}{2}＜n≤-1$。
当$x=n+1$时,$y_{最大值}=n^2+4n+6$；当$x=-1$时,$y_{最小值}=2$。
因为最大值与最小值的差为3,
所以$(n^2+4n+6)-2=3$,得$n^2+4n+1=0$,解得$n_1=\sqrt{3}-2,n_2=-\sqrt{3}-2$,都不符合题意,舍去。
④若$n＞-1$,当$x=n$时,$y_{最小值}=n^2+2n+3$；当$x=n+1$时,$y_{最大值}=n^2+4n+6$。
因为最大值与最小值的差为3,
所以$(n^2+4n+6)-(n^2+2n+3)=3$,解得$n=0$,符合题意。
综上所述,$n$的值为$-3$或$0$。
(2) 点B平移后的坐标为$(1-m,11)$,它在二次函数的图象上,所以$(1-m)^2+2(1-m)+3=11$,解得$m_1=5,m_2=-1$。因为$m＞0$,所以$m=5$。
(3) $y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2$,所以该二次函数图象的对称轴为直线$x=-1$,$y$的最小值为2。
当$x=n$时,$y=n^2+2n+3$；
当$x=n+1$时,$y=(n+1)^2+2(n+1)+3=n^2+4n+6$。
①若$n+1≤-1$,即$n≤-2$。
当$x=n$时,$y_{最大值}=n^2+2n+3$；当$x=n+1$时,$y_{最小值}=n^2+4n+6$。
因为最大值与最小值的差为3,
所以$(n^2+2n+3)-(n^2+4n+6)=3$,解得$n=-3$,符合题意。
②若$\begin{cases}n＜-1,\\n+1＞-1,\\-1-n≥n+1-(-1),\end{cases}$即$-2＜n≤-\frac{3}{2}$。
当$x=n$时,$y_{最大值}=n^2+2n+3$；当$x=-1$时,$y_{最小值}=2$。
因为最大值与最小值的差为3,
所以$(n^2+2n+3)-2=3$,得$n^2+2n-2=0$,解得$n_1=\sqrt{3}-1,n_2=-\sqrt{3}-1$,都不符合题意,舍去。
③若$\begin{cases}n≤-1,\\n+1＞-1,\\-1-n＜n+1-(-1),\end{cases}$即$-\frac{3}{2}＜n≤-1$。
当$x=n+1$时,$y_{最大值}=n^2+4n+6$；当$x=-1$时,$y_{最小值}=2$。
因为最大值与最小值的差为3,
所以$(n^2+4n+6)-2=3$,得$n^2+4n+1=0$,解得$n_1=\sqrt{3}-2,n_2=-\sqrt{3}-2$,都不符合题意,舍去。
④若$n＞-1$,当$x=n$时,$y_{最小值}=n^2+2n+3$；当$x=n+1$时,$y_{最大值}=n^2+4n+6$。
因为最大值与最小值的差为3,
所以$(n^2+4n+6)-(n^2+2n+3)=3$,解得$n=0$,符合题意。
综上所述,$n$的值为$-3$或$0$。
解析
【分析】
（1）求二次函数表达式时，已知二次项系数a=1，且给出了对称轴和图象上的点A，先利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求出b的值，再将点A的坐标代入函数表达式求出c的值即可得到解析式。
（2）先根据点平移的规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”得到点B平移后的坐标，再将平移后的坐标代入已求出的二次函数表达式，解方程得到m的可能值，结合m＞0的条件舍去不符合要求的解即可。
（3）先将二次函数化为顶点式，确定对称轴和函数最小值，再分情况讨论区间$[n,n+1]$与对称轴$x=-1$的位置关系：①区间完全在对称轴左侧；②区间跨对称轴且左端点距离对称轴更远；③区间跨对称轴且右端点距离对称轴更远；④区间完全在对称轴右侧。分别求出每种情况下的最大值和最小值，根据最值差为3列方程求解，最后舍去不符合对应区间范围的解即可。
【解析】
(1) 当$x=-2$时,$y=3$,所以$4-2b+c=3$,即$-2b+c=-1$。因为$-\frac{b}{2}=-1$,所以$b=2$,代入$-2b+c=-1$得$c=3$。所以二次函数的表达式为$y=x^2+2x+3$。
(2) 点B向上平移3个单位长度，向左平移$m$个单位长度后的坐标为$(1-m,8+3)=(1-m,11)$,它在二次函数的图象上,所以$(1-m)^2+2(1-m)+3=11$,整理得$m^2-4m-5=0$,解得$m_1=5,m_2=-1$。因为$m＞0$,所以$m=5$。
(3) $y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2$,所以该二次函数图象的对称轴为直线$x=-1$，函数的最小值为2。
当$x=n$时,$y=n^2+2n+3$；
当$x=n+1$时,$y=(n+1)^2+2(n+1)+3=n^2+4n+6$。
①若$n+1≤-1$,即$n≤-2$，函数在区间内单调递减：
当$x=n$时,$y_{最大值}=n^2+2n+3$；当$x=n+1$时,$y_{最小值}=n^2+4n+6$。
因为最大值与最小值的差为3,
所以$(n^2+2n+3)-(n^2+4n+6)=3$,解得$n=-3$,符合题意。
②若$\begin{cases}n＜-1,\\n+1＞-1,\\-1-n≥n+1-(-1),\end{cases}$即$-2＜n≤-\frac{3}{2}$：
当$x=n$时,$y_{最大值}=n^2+2n+3$；当$x=-1$时,$y_{最小值}=2$。
因为最大值与最小值的差为3,
所以$(n^2+2n+3)-2=3$,得$n^2+2n-2=0$,解得$n_1=\sqrt{3}-1,n_2=-\sqrt{3}-1$,都不符合$-2＜n≤-\frac{3}{2}$的范围，舍去。
③若$\begin{cases}n≤-1,\\n+1＞-1,\\-1-n＜n+1-(-1),\end{cases}$即$-\frac{3}{2}＜n≤-1$：
当$x=n+1$时,$y_{最大值}=n^2+4n+6$；当$x=-1$时,$y_{最小值}=2$。
因为最大值与最小值的差为3,
所以$(n^2+4n+6)-2=3$,得$n^2+4n+1=0$,解得$n_1=\sqrt{3}-2,n_2=-\sqrt{3}-2$,都不符合$-\frac{3}{2}＜n≤-1$的范围，舍去。
④若$n＞-1$,函数在区间内单调递增：当$x=n$时,$y_{最小值}=n^2+2n+3$；当$x=n+1$时,$y_{最大值}=n^2+4n+6$。
因为最大值与最小值的差为3,
所以$(n^2+4n+6)-(n^2+2n+3)=3$,解得$n=0$,符合题意。
综上所述,$n$的值为$-3$或$0$。
【答案】
(1) $y=x^2+2x+3$；(2) $m=5$；(3) $n=-3$或$n=0$
【知识点】
二次函数解析式求解；点的平移规律；二次函数区间最值
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，前两问为基础题型，难度较低，第三问需要结合二次函数的单调性，根据区间与对称轴的位置关系分类讨论，解题时注意解要符合对应区间的取值范围，避免出现多解错解。
【难度系数】
0.4
（1）求二次函数表达式时，已知二次项系数a=1，且给出了对称轴和图象上的点A，先利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求出b的值，再将点A的坐标代入函数表达式求出c的值即可得到解析式。
（2）先根据点平移的规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”得到点B平移后的坐标，再将平移后的坐标代入已求出的二次函数表达式，解方程得到m的可能值，结合m＞0的条件舍去不符合要求的解即可。
（3）先将二次函数化为顶点式，确定对称轴和函数最小值，再分情况讨论区间$[n,n+1]$与对称轴$x=-1$的位置关系：①区间完全在对称轴左侧；②区间跨对称轴且左端点距离对称轴更远；③区间跨对称轴且右端点距离对称轴更远；④区间完全在对称轴右侧。分别求出每种情况下的最大值和最小值，根据最值差为3列方程求解，最后舍去不符合对应区间范围的解即可。
【解析】
(1) 当$x=-2$时,$y=3$,所以$4-2b+c=3$,即$-2b+c=-1$。因为$-\frac{b}{2}=-1$,所以$b=2$,代入$-2b+c=-1$得$c=3$。所以二次函数的表达式为$y=x^2+2x+3$。
(2) 点B向上平移3个单位长度，向左平移$m$个单位长度后的坐标为$(1-m,8+3)=(1-m,11)$,它在二次函数的图象上,所以$(1-m)^2+2(1-m)+3=11$,整理得$m^2-4m-5=0$,解得$m_1=5,m_2=-1$。因为$m＞0$,所以$m=5$。
(3) $y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2$,所以该二次函数图象的对称轴为直线$x=-1$，函数的最小值为2。
当$x=n$时,$y=n^2+2n+3$；
当$x=n+1$时,$y=(n+1)^2+2(n+1)+3=n^2+4n+6$。
①若$n+1≤-1$,即$n≤-2$，函数在区间内单调递减：
当$x=n$时,$y_{最大值}=n^2+2n+3$；当$x=n+1$时,$y_{最小值}=n^2+4n+6$。
因为最大值与最小值的差为3,
所以$(n^2+2n+3)-(n^2+4n+6)=3$,解得$n=-3$,符合题意。
②若$\begin{cases}n＜-1,\\n+1＞-1,\\-1-n≥n+1-(-1),\end{cases}$即$-2＜n≤-\frac{3}{2}$：
当$x=n$时,$y_{最大值}=n^2+2n+3$；当$x=-1$时,$y_{最小值}=2$。
因为最大值与最小值的差为3,
所以$(n^2+2n+3)-2=3$,得$n^2+2n-2=0$,解得$n_1=\sqrt{3}-1,n_2=-\sqrt{3}-1$,都不符合$-2＜n≤-\frac{3}{2}$的范围，舍去。
③若$\begin{cases}n≤-1,\\n+1＞-1,\\-1-n＜n+1-(-1),\end{cases}$即$-\frac{3}{2}＜n≤-1$：
当$x=n+1$时,$y_{最大值}=n^2+4n+6$；当$x=-1$时,$y_{最小值}=2$。
因为最大值与最小值的差为3,
所以$(n^2+4n+6)-2=3$,得$n^2+4n+1=0$,解得$n_1=\sqrt{3}-2,n_2=-\sqrt{3}-2$,都不符合$-\frac{3}{2}＜n≤-1$的范围，舍去。
④若$n＞-1$,函数在区间内单调递增：当$x=n$时,$y_{最小值}=n^2+2n+3$；当$x=n+1$时,$y_{最大值}=n^2+4n+6$。
因为最大值与最小值的差为3,
所以$(n^2+4n+6)-(n^2+2n+3)=3$,解得$n=0$,符合题意。
综上所述,$n$的值为$-3$或$0$。
【答案】
(1) $y=x^2+2x+3$；(2) $m=5$；(3) $n=-3$或$n=0$
【知识点】
二次函数解析式求解；点的平移规律；二次函数区间最值
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，前两问为基础题型，难度较低，第三问需要结合二次函数的单调性，根据区间与对称轴的位置关系分类讨论，解题时注意解要符合对应区间的取值范围，避免出现多解错解。
【难度系数】
0.4
14. 已知二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2 -4x + t^2 -12t$（$t$ 为常数）。
（1）求该函数图象的对称轴。
（2）若二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2 -4x + t^2 -12t$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $(0,-20)$。
①求 $t$ 的值。
②设 $t-4≤ m≤ t≤ n$，二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2 -4x + t^2 -12t$（$m≤ x≤ n$）的图象的一部分夹在两条均与 $x$ 轴平行的直线 $l_1,l_2$ 之间。若 $l_1,l_2$ 之间的距离为常数 $d$，$n-m$ 有最大值 8，求 $d$ 的值。
（1）求该函数图象的对称轴。
（2）若二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2 -4x + t^2 -12t$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $(0,-20)$。
①求 $t$ 的值。
②设 $t-4≤ m≤ t≤ n$，二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2 -4x + t^2 -12t$（$m≤ x≤ n$）的图象的一部分夹在两条均与 $x$ 轴平行的直线 $l_1,l_2$ 之间。若 $l_1,l_2$ 之间的距离为常数 $d$，$n-m$ 有最大值 8，求 $d$ 的值。
答案
(1) 该函数图象的对称轴为直线$x=4$。
(2) ①当$x=0$时,$y=-20$,所以$t^2-12t=-20$,即$t^2-12t+20=0$,解得$t_1=2,t_2=10$。
②二次函数$y=\frac{1}{2}x^2-4x-20=\frac{1}{2}(x-4)^2-28$,顶点坐标为$(4,-28)$。令$l_1$为上方的平行线,$l_2$为下方的平行线。
当$t=2$时,$-2≤m≤2≤n$。如果$n≤4$,则$(n-m)_{最大值}=4-(-2)=6$,不等于8,所以必定有$m≤2＜4≤n$。因为抛物线的一段$y=\frac{1}{2}x^2-4x+t^2-12t(m≤x≤n)$夹在两条均与$x$轴平行的直线$l_1,l_2$之间,且$n-m$的最大值为8,所以$l_2$不能在顶点坐标$(4,-28)$的上方,要使$n-m$取得最大值为8,则$l_2$过顶点坐标$(4,-28)$,此时$l_1$与抛物线的两交点的横坐标分别为0与8,即两交点的坐标为$(0,-20)$与$(8,-20)$,所以$d=-20-(-28)=8$。
当$t=10$时,$6≤m≤10≤n$,所以$(m,y_1)$与$(n,y_2)$都在对称轴的右边。因为抛物线的一段$y=\frac{1}{2}x^2-4x+t^2-12t(m≤x≤n)$夹在两条均与$x$轴平行的直线$l_1,l_2$之间,且$6≤m≤10≤n$,所以$l_2$在顶点$(4,-28)$的上方。要使$n-m$取得最大值8,则$l_1,l_2$与对称轴右侧的抛物线交点横坐标$m$,$n$尽可能靠近对称轴,所以$m=6,n=14$,即$l_1,l_2$与抛物线的两交点坐标分别为$(6,-26)$与$(14,22)$,所以$d=22-(-26)=48$。
综上所述,$d$的值为8或48。
(2) ①当$x=0$时,$y=-20$,所以$t^2-12t=-20$,即$t^2-12t+20=0$,解得$t_1=2,t_2=10$。
②二次函数$y=\frac{1}{2}x^2-4x-20=\frac{1}{2}(x-4)^2-28$,顶点坐标为$(4,-28)$。令$l_1$为上方的平行线,$l_2$为下方的平行线。
当$t=2$时,$-2≤m≤2≤n$。如果$n≤4$,则$(n-m)_{最大值}=4-(-2)=6$,不等于8,所以必定有$m≤2＜4≤n$。因为抛物线的一段$y=\frac{1}{2}x^2-4x+t^2-12t(m≤x≤n)$夹在两条均与$x$轴平行的直线$l_1,l_2$之间,且$n-m$的最大值为8,所以$l_2$不能在顶点坐标$(4,-28)$的上方,要使$n-m$取得最大值为8,则$l_2$过顶点坐标$(4,-28)$,此时$l_1$与抛物线的两交点的横坐标分别为0与8,即两交点的坐标为$(0,-20)$与$(8,-20)$,所以$d=-20-(-28)=8$。
当$t=10$时,$6≤m≤10≤n$,所以$(m,y_1)$与$(n,y_2)$都在对称轴的右边。因为抛物线的一段$y=\frac{1}{2}x^2-4x+t^2-12t(m≤x≤n)$夹在两条均与$x$轴平行的直线$l_1,l_2$之间,且$6≤m≤10≤n$,所以$l_2$在顶点$(4,-28)$的上方。要使$n-m$取得最大值8,则$l_1,l_2$与对称轴右侧的抛物线交点横坐标$m$,$n$尽可能靠近对称轴,所以$m=6,n=14$,即$l_1,l_2$与抛物线的两交点坐标分别为$(6,-26)$与$(14,22)$,所以$d=22-(-26)=48$。
综上所述,$d$的值为8或48。
解析
【分析】
（1）求二次函数对称轴可直接利用公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入对应系数即可求解。
（2）①二次函数与y轴交点的横坐标为0，将$x=0、y=-20$代入解析式即可得到关于t的一元二次方程，解方程即可得t的值。
②先将二次函数化为顶点式确定顶点坐标和开口方向，再分$t=2$和$t=10$两种情况讨论：结合m、n的取值范围，根据抛物线的对称性和增减性，找到$n-m$取最大值8时对应区间端点的函数值，两函数值的差即为d。
【解析】
(1) 二次函数$y=\frac{1}{2}x^2 -4x + t^2 -12t$中，$a=\frac{1}{2}$，$b=-4$，根据对称轴公式：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×\frac{1}{2}}=4$
即函数图象的对称轴为直线$x=4$。
(2) ①将$x=0$，$y=-20$代入函数解析式得：
$t^2-12t=-20$
整理为$t^2-12t+20=0$，因式分解得$(t-2)(t-10)=0$，解得$t_1=2$，$t_2=10$。
②将函数解析式化为顶点式：
$y=\frac{1}{2}x^2-4x-20=\frac{1}{2}(x-4)^2-28$
可知抛物线开口向上，顶点坐标为$(4,-28)$，分两种情况讨论：
当$t=2$时，$m$的取值范围为$-2≤m≤2$，$n≥2$。若$n≤4$，则$n-m$的最大值为$4-(-2)=6＜8$，不符合题意，因此必有$m≤2＜4≤n$。要使$n-m$最大值为8，下方直线$l_2$需过顶点$(4,-28)$，此时上方直线$l_1$与抛物线的两个交点关于$x=4$对称，横坐标差为8，即交点为$(0,-20)$和$(8,-20)$，因此$d=-20-(-28)=8$。
当$t=10$时，$m$的取值范围为$6≤m≤10$，$n≥10$，所有取值均在对称轴右侧，抛物线右侧y随x增大而增大。要使$n-m$最大值为8，取最小$m=6$，则$n=6+8=14$，代入得$x=6$时$y=-26$，$x=14$时$y=22$，因此$d=22-(-26)=48$。
【答案】
(1) 直线$x=4$；(2) ①$t=2$或$t=10$；②$d=8$或$48$
【知识点】
二次函数的性质，一元二次方程的解法，二次函数区间最值
【点评】
本题综合考查二次函数的基础性质与区间应用，需要结合分类讨论思想，利用抛物线的对称性、增减性分析区间取值特征，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
（1）求二次函数对称轴可直接利用公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入对应系数即可求解。
（2）①二次函数与y轴交点的横坐标为0，将$x=0、y=-20$代入解析式即可得到关于t的一元二次方程，解方程即可得t的值。
②先将二次函数化为顶点式确定顶点坐标和开口方向，再分$t=2$和$t=10$两种情况讨论：结合m、n的取值范围，根据抛物线的对称性和增减性，找到$n-m$取最大值8时对应区间端点的函数值，两函数值的差即为d。
【解析】
(1) 二次函数$y=\frac{1}{2}x^2 -4x + t^2 -12t$中，$a=\frac{1}{2}$，$b=-4$，根据对称轴公式：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×\frac{1}{2}}=4$
即函数图象的对称轴为直线$x=4$。
(2) ①将$x=0$，$y=-20$代入函数解析式得：
$t^2-12t=-20$
整理为$t^2-12t+20=0$，因式分解得$(t-2)(t-10)=0$，解得$t_1=2$，$t_2=10$。
②将函数解析式化为顶点式：
$y=\frac{1}{2}x^2-4x-20=\frac{1}{2}(x-4)^2-28$
可知抛物线开口向上，顶点坐标为$(4,-28)$，分两种情况讨论：
当$t=2$时，$m$的取值范围为$-2≤m≤2$，$n≥2$。若$n≤4$，则$n-m$的最大值为$4-(-2)=6＜8$，不符合题意，因此必有$m≤2＜4≤n$。要使$n-m$最大值为8，下方直线$l_2$需过顶点$(4,-28)$，此时上方直线$l_1$与抛物线的两个交点关于$x=4$对称，横坐标差为8，即交点为$(0,-20)$和$(8,-20)$，因此$d=-20-(-28)=8$。
当$t=10$时，$m$的取值范围为$6≤m≤10$，$n≥10$，所有取值均在对称轴右侧，抛物线右侧y随x增大而增大。要使$n-m$最大值为8，取最小$m=6$，则$n=6+8=14$，代入得$x=6$时$y=-26$，$x=14$时$y=22$，因此$d=22-(-26)=48$。
【答案】
(1) 直线$x=4$；(2) ①$t=2$或$t=10$；②$d=8$或$48$
【知识点】
二次函数的性质，一元二次方程的解法，二次函数区间最值
【点评】
本题综合考查二次函数的基础性质与区间应用，需要结合分类讨论思想，利用抛物线的对称性、增减性分析区间取值特征，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
