登录
思维导图·发展创新意识
因式分解
{
因式分解的概念
{
定义:把一个多项式化成几个整式的的形式
因式分解与整式乘法是的变形
}
因式分解的方法
{
提公因式法
{
公因式:多项式各项都有的公共的因式
将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式
}
公式法
{
$a^2 - b^2 = \_\_\_\_\_\_$
$a^2 \pm 2ab + b^2 = \_\_\_\_\_\_$
}
}
}
因式分解
{
因式分解的概念
{
定义:把一个多项式化成几个整式的的形式
因式分解与整式乘法是的变形
}
因式分解的方法
{
提公因式法
{
公因式:多项式各项都有的公共的因式
将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式
}
公式法
{
$a^2 - b^2 = \_\_\_\_\_\_$
$a^2 \pm 2ab + b^2 = \_\_\_\_\_\_$
}
}
}
答案
解：
1. 因式分解定义处横线填写：积
2. 因式分解与整式乘法关系处横线填写：互逆
3. 平方差公式处横线填写：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)}$
4. 完全平方公式处横线填写：$\boldsymbol{(a\pm b)^2}$
1. 因式分解定义处横线填写：积
2. 因式分解与整式乘法关系处横线填写：互逆
3. 平方差公式处横线填写：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)}$
4. 完全平方公式处横线填写：$\boldsymbol{(a\pm b)^2}$
解析
【分析】
这道题考查因式分解的相关基础概念与常用公式，解题时可依次回忆对应知识点填空：①回忆因式分解的定义，明确其变形结果的形式；②对比因式分解和整式乘法的变形方向，判断二者的关系；③回忆乘法公式中的平方差公式、完全平方公式，直接写出因式分解形式的结果即可。
【解析】
1. 根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因此第一个空填“积”；
2. 因式分解是将多项式拆成多个整式的乘积，整式乘法是将多个整式的乘积计算为多项式，二者变形过程相反，因此是互逆的变形，第二个空填“互逆”；
3. 根据平方差公式，因式分解形式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，因此第三个空填$(a+b)(a-b)$；
4. 根据完全平方公式，因式分解形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，因此第四个空填$(a\pm b)^2$。
【答案】
积；互逆；$\boldsymbol{(a+b)(a-b)}$；$\boldsymbol{(a\pm b)^2}$
【知识点】
因式分解的定义；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题属于基础概念类题目，考查的都是因式分解模块最核心的基础知识点，熟练掌握这些概念和公式是后续解决复杂因式分解问题的前提，需要牢记并能灵活运用。
【难度系数】
0.9
这道题考查因式分解的相关基础概念与常用公式，解题时可依次回忆对应知识点填空：①回忆因式分解的定义，明确其变形结果的形式；②对比因式分解和整式乘法的变形方向，判断二者的关系；③回忆乘法公式中的平方差公式、完全平方公式，直接写出因式分解形式的结果即可。
【解析】
1. 根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因此第一个空填“积”；
2. 因式分解是将多项式拆成多个整式的乘积，整式乘法是将多个整式的乘积计算为多项式，二者变形过程相反，因此是互逆的变形，第二个空填“互逆”；
3. 根据平方差公式，因式分解形式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，因此第三个空填$(a+b)(a-b)$；
4. 根据完全平方公式，因式分解形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，因此第四个空填$(a\pm b)^2$。
【答案】
积；互逆；$\boldsymbol{(a+b)(a-b)}$；$\boldsymbol{(a\pm b)^2}$
【知识点】
因式分解的定义；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题属于基础概念类题目，考查的都是因式分解模块最核心的基础知识点，熟练掌握这些概念和公式是后续解决复杂因式分解问题的前提，需要牢记并能灵活运用。
【难度系数】
0.9
1. 下列各式从左到右的变形中,分解因式正确的是().
A.$(a+3)^2 = a^2 +6a +9$
B.$a^2 -4a +4 = a(a-4)+4$
C.$a^2 -b^2 = (a+b)(a-b)$
D.$a^2 -2a -1 = (a-1)^2$
A.$(a+3)^2 = a^2 +6a +9$
B.$a^2 -4a +4 = a(a-4)+4$
C.$a^2 -b^2 = (a+b)(a-b)$
D.$a^2 -2a -1 = (a-1)^2$
答案
C
解析
【分析】
要判断哪个是正确的因式分解，首先明确因式分解的核心要求：①变形的对象是多项式；②变形后的结果是几个整式的乘积形式；③变形前后等式恒成立。解题时我们按照这三个标准逐一排查每个选项即可。
【解析】
首先回忆因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做因式分解。
选项A：左边是整式乘积的形式，右边是展开后的多项式，属于整式的乘法运算，不是因式分解，不符合要求；
选项B：变形后的结果是$a(a-4)+4$，是整式乘积与常数的和，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，排除；
选项C：利用平方差公式将$a^2-b^2$分解为$(a+b)(a-b)$，结果是两个整式的乘积，且左右两边相等，是正确的因式分解；
选项D：将右边$(a-1)^2$展开得$a^2-2a+1$，和左边的$a^2-2a-1$不相等，分解错误，排除。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础判断题，解题时要先判断变形是否符合因式分解的形式要求，再验证等式是否成立，避免因公式记错或概念理解不清出错。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是正确的因式分解，首先明确因式分解的核心要求：①变形的对象是多项式；②变形后的结果是几个整式的乘积形式；③变形前后等式恒成立。解题时我们按照这三个标准逐一排查每个选项即可。
【解析】
首先回忆因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做因式分解。
选项A：左边是整式乘积的形式，右边是展开后的多项式，属于整式的乘法运算，不是因式分解，不符合要求；
选项B：变形后的结果是$a(a-4)+4$，是整式乘积与常数的和，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，排除；
选项C：利用平方差公式将$a^2-b^2$分解为$(a+b)(a-b)$，结果是两个整式的乘积，且左右两边相等，是正确的因式分解；
选项D：将右边$(a-1)^2$展开得$a^2-2a+1$，和左边的$a^2-2a-1$不相等，分解错误，排除。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础判断题，解题时要先判断变形是否符合因式分解的形式要求，再验证等式是否成立，避免因公式记错或概念理解不清出错。
【难度系数】
0.8
2. 下列各组中的两个代数式,没有公因式的一组是().
A.$5xy$ 和 $xy^5$
B.$5x-y$ 和 $x+5y$
C.$5x-5y$ 和 $6x-6y$
D.$5x$ 和 $15y$
A.$5xy$ 和 $xy^5$
B.$5x-y$ 和 $x+5y$
C.$5x-5y$ 和 $6x-6y$
D.$5x$ 和 $15y$
答案
B
解析
【分析】
要判断两个代数式有没有公因式，首先明确公因式的定义：几个代数式都含有的公共的因式叫做它们的公因式。解题时逐个分析每个选项的两个代数式，先找系数的最大公约数，再看是否有共同的字母因式或多项式因式，排除存在公因式的选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：$5xy$ 和 $xy^5$，两个代数式都含有因式$xy$，公因式为$xy$，不符合题意；
B选项：$5x-y$ 和 $x+5y$，两个一次二项式没有公共的系数公约数，也没有相同的字母因式或多项式因式，不存在公因式，符合题意；
C选项：先对两个代数式因式分解，$5x-5y=5(x-y)$，$6x-6y=6(x-y)$，两个式子都含有多项式因式$(x-y)$，公因式为$x-y$，不符合题意；
D选项：$5x$ 和 $15y$，系数5和15的最大公约数是5，公因式为5，不符合题意。
综上，没有公因式的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
公因式的定义，提公因式法因式分解
【点评】
本题考查公因式的识别，掌握公因式的判定步骤是解题的关键，先确定系数的最大公约数，再确定相同的字母或多项式因式，属于基础巩固类习题。
【难度系数】
0.9
要判断两个代数式有没有公因式，首先明确公因式的定义：几个代数式都含有的公共的因式叫做它们的公因式。解题时逐个分析每个选项的两个代数式，先找系数的最大公约数，再看是否有共同的字母因式或多项式因式，排除存在公因式的选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：$5xy$ 和 $xy^5$，两个代数式都含有因式$xy$，公因式为$xy$，不符合题意；
B选项：$5x-y$ 和 $x+5y$，两个一次二项式没有公共的系数公约数，也没有相同的字母因式或多项式因式，不存在公因式，符合题意；
C选项：先对两个代数式因式分解，$5x-5y=5(x-y)$，$6x-6y=6(x-y)$，两个式子都含有多项式因式$(x-y)$，公因式为$x-y$，不符合题意；
D选项：$5x$ 和 $15y$，系数5和15的最大公约数是5，公因式为5，不符合题意。
综上，没有公因式的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
公因式的定义，提公因式法因式分解
【点评】
本题考查公因式的识别，掌握公因式的判定步骤是解题的关键，先确定系数的最大公约数，再确定相同的字母或多项式因式，属于基础巩固类习题。
【难度系数】
0.9
3. 把多项式$2(a-2)+6x(2-a)$分解因式,结果是().
A.$(a-2)(2+6x)$
B.$(a-2)(2-6x)$
C.$2(a-2)(1+3x)$
D.$2(a-2)(1-3x)$
A.$(a-2)(2+6x)$
B.$(a-2)(2-6x)$
C.$2(a-2)(1+3x)$
D.$2(a-2)(1-3x)$
答案
D
解析
【分析】
要对该多项式分解因式，首先观察式子特征：两项中分别含有因式$(a-2)$和$(2-a)$，二者互为相反数，第一步先将$(2-a)$变形为$-(a-2)$，统一因式形式；再确定两项的公因式，提取公因式后化简剩余部分，最后匹配选项即可得到正确结果。
【解析】
解：先对原式中的$(2-a)$进行变形，可得$2-a=-(a-2)$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=2(a-2) + 6x×[-(a-2)]\\&=2(a-2) - 6x(a-2)\end{aligned}$
观察可得两项的公因式为$2(a-2)$，提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=2(a-2)×1 - 2(a-2)×3x\\&=2(a-2)(1-3x)\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解，相反数变形
【点评】
本题是因式分解的常规题型，易错点在于处理互为相反数的因式时符号出错，或提取公因式不彻底，解题时要注意先统一同类型因式，提取公因式后检查剩余部分是否还能化简。
【难度系数】
0.7
要对该多项式分解因式，首先观察式子特征：两项中分别含有因式$(a-2)$和$(2-a)$，二者互为相反数，第一步先将$(2-a)$变形为$-(a-2)$，统一因式形式；再确定两项的公因式，提取公因式后化简剩余部分，最后匹配选项即可得到正确结果。
【解析】
解：先对原式中的$(2-a)$进行变形，可得$2-a=-(a-2)$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=2(a-2) + 6x×[-(a-2)]\\&=2(a-2) - 6x(a-2)\end{aligned}$
观察可得两项的公因式为$2(a-2)$，提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=2(a-2)×1 - 2(a-2)×3x\\&=2(a-2)(1-3x)\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解，相反数变形
【点评】
本题是因式分解的常规题型，易错点在于处理互为相反数的因式时符号出错，或提取公因式不彻底，解题时要注意先统一同类型因式，提取公因式后检查剩余部分是否还能化简。
【难度系数】
0.7
4. 如果$4x^2 -2mx +9$是一个完全平方式，那么m的值是().
A.36
B.$\pm6$
C.$\pm12$
D.6
A.36
B.$\pm6$
C.$\pm12$
D.6
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆完全平方公式的结构特征：完全平方式有两种形式，分别是$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，即首平方、尾平方，首尾两倍在中央，符号可正可负。我们先把给定多项式的首项和末项转化为平方的形式，再对应中间项的系数列等式求解，注意要考虑两种符号的情况，避免漏解。
【解析】
首先对多项式的首末两项变形：
$4x^2=(2x)^2$，$9=3^2$
根据完全平方公式的两种形式，这个完全平方式可以是$(2x+3)^2$或$(2x-3)^2$，分别展开：
$(2x+3)^2=4x^2+12x+9$
$(2x-3)^2=4x^2-12x+9$
将展开结果与原式$4x^2-2mx+9$对比，中间项的系数对应相等，可得：
$-2m=12$ 或 $-2m=-12$
分别解这两个方程：
当$-2m=12$时，$m=-6$；
当$-2m=-12$时，$m=6$。
因此$m$的值为$\pm6$。
【答案】
B
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 多项式对应项系数相等
【点评】
本题核心考查完全平方公式的应用，易错点是容易忽略完全平方式有“和”“差”两种形式，导致只算出其中一个m的值而漏解，解题时要注意考虑全面两种符号情况。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要回忆完全平方公式的结构特征：完全平方式有两种形式，分别是$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，即首平方、尾平方，首尾两倍在中央，符号可正可负。我们先把给定多项式的首项和末项转化为平方的形式，再对应中间项的系数列等式求解，注意要考虑两种符号的情况，避免漏解。
【解析】
首先对多项式的首末两项变形：
$4x^2=(2x)^2$，$9=3^2$
根据完全平方公式的两种形式，这个完全平方式可以是$(2x+3)^2$或$(2x-3)^2$，分别展开：
$(2x+3)^2=4x^2+12x+9$
$(2x-3)^2=4x^2-12x+9$
将展开结果与原式$4x^2-2mx+9$对比，中间项的系数对应相等，可得：
$-2m=12$ 或 $-2m=-12$
分别解这两个方程：
当$-2m=12$时，$m=-6$；
当$-2m=-12$时，$m=6$。
因此$m$的值为$\pm6$。
【答案】
B
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 多项式对应项系数相等
【点评】
本题核心考查完全平方公式的应用，易错点是容易忽略完全平方式有“和”“差”两种形式，导致只算出其中一个m的值而漏解，解题时要注意考虑全面两种符号情况。
【难度系数】
0.7
5. 分解因式 $4xy^2 -24xy +36x$，结果正确的是().
A.$x(2y+6)^2$
B.$2x(y-3)^2$
C.$4x(y-6)^2$
D.$4x(y-3)^2$
A.$x(2y+6)^2$
B.$2x(y-3)^2$
C.$4x(y-6)^2$
D.$4x(y-3)^2$
答案
D
解析
【分析】
解决因式分解类题目遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式，判断是否符合平方差公式或完全平方公式的特征，若符合则套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，不能再分解为止。本题先找三项的公因式：系数4、-24、36的最大公因数是4，各项都含因式x，因此公因式为4x，提取后剩余的多项式为二次三项式，可验证是否符合完全平方公式的特征，再进一步分解即可对应选项得到答案。
【解析】
解：对多项式$4xy^2 -24xy +36x$分解因式：
第一步，提取公因式$4x$：
$4xy^2 -24xy +36x = 4x(y^2 - 6y + 9)$
第二步，观察剩余多项式$y^2 -6y +9$，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的特征，其中$a=y$，$b=3$，因此：
$y^2 -6y +9=(y-3)^2$
综上，原式分解结果为$4x(y-3)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查因式分解的常规操作步骤，解题时需注意提取公因式要提净，套用公式时要准确识别公式的结构特征，避免出现符号、系数类的低级错误。
【难度系数】
0.8
解决因式分解类题目遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式，判断是否符合平方差公式或完全平方公式的特征，若符合则套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，不能再分解为止。本题先找三项的公因式：系数4、-24、36的最大公因数是4，各项都含因式x，因此公因式为4x，提取后剩余的多项式为二次三项式，可验证是否符合完全平方公式的特征，再进一步分解即可对应选项得到答案。
【解析】
解：对多项式$4xy^2 -24xy +36x$分解因式：
第一步，提取公因式$4x$：
$4xy^2 -24xy +36x = 4x(y^2 - 6y + 9)$
第二步，观察剩余多项式$y^2 -6y +9$，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的特征，其中$a=y$，$b=3$，因此：
$y^2 -6y +9=(y-3)^2$
综上，原式分解结果为$4x(y-3)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查因式分解的常规操作步骤，解题时需注意提取公因式要提净，套用公式时要准确识别公式的结构特征，避免出现符号、系数类的低级错误。
【难度系数】
0.8
6.已知$a+b=6$，$a-b=2$，则$3a^2 - 3b^2$等于().
A.36
B.24
C.18
D.12
A.36
B.24
C.18
D.12
答案
A
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，发现可以先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，将代数式转化为含有已知条件$a+b$和$a-b$的形式，最后整体代入已知数值计算即可，不需要单独求解a、b的值，计算更简便。
【解析】
解：先对代数式$3a^2 - 3b^2$因式分解：
$3a^2 - 3b^2 = 3(a^2 - b^2) = 3(a+b)(a-b)$
已知$a+b=6$，$a-b=2$，将其整体代入上式：
原式$=3 × 6 × 2 = 36$
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，因式分解，代数式求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，运用因式分解将待求式转化为含已知条件的形式，采用整体代入的思想可以简化计算，避免求解单个未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求代数式的结构，发现可以先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，将代数式转化为含有已知条件$a+b$和$a-b$的形式，最后整体代入已知数值计算即可，不需要单独求解a、b的值，计算更简便。
【解析】
解：先对代数式$3a^2 - 3b^2$因式分解：
$3a^2 - 3b^2 = 3(a^2 - b^2) = 3(a+b)(a-b)$
已知$a+b=6$，$a-b=2$，将其整体代入上式：
原式$=3 × 6 × 2 = 36$
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，因式分解，代数式求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，运用因式分解将待求式转化为含已知条件的形式，采用整体代入的思想可以简化计算，避免求解单个未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
7. 已知 $ a, b, c $ 是 $ △ ABC $ 的三边长,则代数式 $ (a - c)^2 - b^2 $ 的值().
A.一定是正数
B.一定是负数
C.正、负数都有可能
D.有可能为零
A.一定是正数
B.一定是负数
C.正、负数都有可能
D.有可能为零
答案
B
解析
【分析】
首先观察代数式$(a - c)^2 - b^2$，其结构符合平方差公式的特征，因此第一步可利用平方差公式对代数式进行因式分解，转化为两个整式乘积的形式。再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），分别判断两个因式的正负性，最后根据有理数乘法的符号法则即可确定代数式整体的正负。
【解析】
首先利用平方差公式对代数式因式分解：
$\begin{aligned}(a - c)^2 - b^2&=(a - c + b)(a - c - b)\\&=(a + b - c)[a - (b + c)]\end{aligned}$
∵$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，
∴$a + b ＞ c$，即$a + b - c ＞ 0$；
同时$b + c ＞ a$，即$a - (b + c) ＜ 0$。
根据有理数乘法“异号得负”的规则，可得：
$(a + b - c)[a - (b + c)] ＜ 0$，即$(a - c)^2 - b^2 ＜ 0$，
因此代数式的值一定是负数。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，三角形三边关系
【点评】
本题是代数因式分解与几何三角形性质的综合基础题，解题的核心是先对代数式正确因式分解，再结合三角形三边关系判断因式的正负，是代数几何结合类的常考题型。
【难度系数】
0.7
首先观察代数式$(a - c)^2 - b^2$，其结构符合平方差公式的特征，因此第一步可利用平方差公式对代数式进行因式分解，转化为两个整式乘积的形式。再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），分别判断两个因式的正负性，最后根据有理数乘法的符号法则即可确定代数式整体的正负。
【解析】
首先利用平方差公式对代数式因式分解：
$\begin{aligned}(a - c)^2 - b^2&=(a - c + b)(a - c - b)\\&=(a + b - c)[a - (b + c)]\end{aligned}$
∵$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，
∴$a + b ＞ c$，即$a + b - c ＞ 0$；
同时$b + c ＞ a$，即$a - (b + c) ＜ 0$。
根据有理数乘法“异号得负”的规则，可得：
$(a + b - c)[a - (b + c)] ＜ 0$，即$(a - c)^2 - b^2 ＜ 0$，
因此代数式的值一定是负数。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，三角形三边关系
【点评】
本题是代数因式分解与几何三角形性质的综合基础题，解题的核心是先对代数式正确因式分解，再结合三角形三边关系判断因式的正负，是代数几何结合类的常考题型。
【难度系数】
0.7
8. 小明把多项式$2x^2 -13x +n$分解因式，有一个因式是$x-5$，则$n$的值为（）.
A.15
B.40
C.-40
D.-15
A.15
B.40
C.-40
D.-15
答案
A
解析
【分析】
解题思路可以从因式分解和整式乘法的互逆关系出发：如果x-5是多项式$2x^2 -13x +n$的因式，说明该多项式可以写成(x-5)与另一个整式的乘积形式，因此当x-5=0即x=5时，整个乘积（也就是原多项式）的值为0，将x=5代入原多项式令其等于0，就能直接计算出n的值；也可以通过待定系数法设另一个一次因式，展开后对比系数求解，第一种方法更简便。
【解析】
因为x-5是多项式$2x^2 -13x +n$的一个因式，所以当$x-5=0$即$x=5$时，$2x^2 -13x +n = 0$。
将$x=5$代入多项式得：
$2 × 5^2 - 13 × 5 + n = 0$
计算得：$2×25 - 65 +n =0$
即：$50 -65 +n =0$
化简得：$-15 +n =0$
解得：$n=15$
【答案】
A
【知识点】
因式分解的意义；代数式求值；整式乘法逆运算
【点评】
本题是因式分解板块的基础常考题，核心考察对因式分解本质的理解，解题方法灵活，既可以利用“因式为0时多项式值为0”的规律快速求解，也可以通过待定系数法展开对比系数计算，能很好地检验学生对相关概念的掌握程度。
【难度系数】
0.8
解题思路可以从因式分解和整式乘法的互逆关系出发：如果x-5是多项式$2x^2 -13x +n$的因式，说明该多项式可以写成(x-5)与另一个整式的乘积形式，因此当x-5=0即x=5时，整个乘积（也就是原多项式）的值为0，将x=5代入原多项式令其等于0，就能直接计算出n的值；也可以通过待定系数法设另一个一次因式，展开后对比系数求解，第一种方法更简便。
【解析】
因为x-5是多项式$2x^2 -13x +n$的一个因式，所以当$x-5=0$即$x=5$时，$2x^2 -13x +n = 0$。
将$x=5$代入多项式得：
$2 × 5^2 - 13 × 5 + n = 0$
计算得：$2×25 - 65 +n =0$
即：$50 -65 +n =0$
化简得：$-15 +n =0$
解得：$n=15$
【答案】
A
【知识点】
因式分解的意义；代数式求值；整式乘法逆运算
【点评】
本题是因式分解板块的基础常考题，核心考察对因式分解本质的理解，解题方法灵活，既可以利用“因式为0时多项式值为0”的规律快速求解，也可以通过待定系数法展开对比系数计算，能很好地检验学生对相关概念的掌握程度。
【难度系数】
0.8
9. 分解因式: $2m^4 -4m^2 +2 =$ .
.
.
答案
$\boldsymbol{2(m+1)^2(m-1)^2}$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的通用步骤：首先观察多项式各项是否有公因式，本题各项均含公因式2，第一步先提取公因式；再观察提取公因式后余下的多项式，符合完全平方公式的结构特征，可套用完全平方公式分解；分解后发现得到的因式仍符合平方差公式的结构，需要继续套用平方差公式分解，最后检查是否分解到每一个因式都不能再分解即可。
【解析】
解：
1. 提取公因式2：
$2m^4 -4m^2 +2 = 2(m^4 - 2m^2 + 1)$
2. 对括号内的多项式套用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=m^2$，$b=1$）：
$2(m^4 - 2m^2 +1) = 2(m^2 - 1)^2$
3. 对$m^2-1$套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$（其中$a=m$，$b=1$），并整理结果：
$2(m^2 -1)^2 = 2[(m+1)(m-1)]^2 = 2(m+1)^2(m-1)^2$
【答案】
$2(m+1)^2(m-1)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题属于因式分解的常规基础题，重点考查因式分解的操作规范，解题时要注意分解必须彻底，避免出现分解到$2(m^2-1)^2$就停止的常见错误。
【难度系数】
0.7
因式分解遵循“一提二套三查”的通用步骤：首先观察多项式各项是否有公因式，本题各项均含公因式2，第一步先提取公因式；再观察提取公因式后余下的多项式，符合完全平方公式的结构特征，可套用完全平方公式分解；分解后发现得到的因式仍符合平方差公式的结构，需要继续套用平方差公式分解，最后检查是否分解到每一个因式都不能再分解即可。
【解析】
解：
1. 提取公因式2：
$2m^4 -4m^2 +2 = 2(m^4 - 2m^2 + 1)$
2. 对括号内的多项式套用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=m^2$，$b=1$）：
$2(m^4 - 2m^2 +1) = 2(m^2 - 1)^2$
3. 对$m^2-1$套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$（其中$a=m$，$b=1$），并整理结果：
$2(m^2 -1)^2 = 2[(m+1)(m-1)]^2 = 2(m+1)^2(m-1)^2$
【答案】
$2(m+1)^2(m-1)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题属于因式分解的常规基础题，重点考查因式分解的操作规范，解题时要注意分解必须彻底，避免出现分解到$2(m^2-1)^2$就停止的常见错误。
【难度系数】
0.7
10. 分解因式：$a^2(x-y)+(y-x)=$
.
.
答案
$\boldsymbol{(x-y)(a+1)(a-1)}$
解析
【分析】
首先观察式子结构，发现两项分别含因式$(x-y)$和$(y-x)$，二者互为相反数，可先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，让两项含有相同公因式$(x-y)$；接着提取公因式后，判断剩余因式还可利用平方差公式继续分解，注意分解因式要进行到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
解：
1. 统一公因式：将$(y-x)$改写为$-(x-y)$，原式变形为：
$a^2(x-y) - (x-y)$
2. 提取公因式$(x-y)$，可得：
$(x-y)(a^2 - 1)$
3. 利用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$分解$a^2-1$（其中$m=a$，$n=1$），得：
$(x-y)(a+1)(a-1)$
【答案】
$(x-y)(a+1)(a-1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题关键是先处理互为相反数的因式来统一公因式，需牢记因式分解要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
首先观察式子结构，发现两项分别含因式$(x-y)$和$(y-x)$，二者互为相反数，可先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，让两项含有相同公因式$(x-y)$；接着提取公因式后，判断剩余因式还可利用平方差公式继续分解，注意分解因式要进行到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
解：
1. 统一公因式：将$(y-x)$改写为$-(x-y)$，原式变形为：
$a^2(x-y) - (x-y)$
2. 提取公因式$(x-y)$，可得：
$(x-y)(a^2 - 1)$
3. 利用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$分解$a^2-1$（其中$m=a$，$n=1$），得：
$(x-y)(a+1)(a-1)$
【答案】
$(x-y)(a+1)(a-1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题关键是先处理互为相反数的因式来统一公因式，需牢记因式分解要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
11.若$a^2+ab=16+m$，$b^2+ab=9-m$，则$a+b$的值为。
答案
$\boldsymbol{\pm5}$
解析
【分析】
观察给出的两个等式，发现两个式子中都含有ab项，且参数m的系数互为相反数，因此可以考虑将两个等式左右两边分别相加，消去参数m，此时左边相加后恰好可以整理为完全平方公式的形式，对应$(a+b)^2$的展开式，求出$(a+b)^2$的值后，再开平方即可得到$a+b$的值。
【解析】
解：将两个等式左右两边分别相加，可得：
$a^2 + ab + b^2 + ab = (16+m) + (9-m)$
左边合并同类项得：$a^2 + 2ab + b^2$，根据完全平方公式可知$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
右边合并计算得：$16+m+9-m=25$
因此有$(a+b)^2=25$
对等式两边开平方，得$a+b=\pm\sqrt{25}=\pm5$
【答案】
$\boldsymbol{\pm5}$
【知识点】
完全平方公式，等式的性质，平方根的定义
【点评】
本题解题的核心是观察等式的结构特征，通过两式相加消去未知参数m，将已知条件转化为完全平方的形式求解，解题时要注意正数的平方根有两个，不要漏写负的结果。
【难度系数】
0.7
观察给出的两个等式，发现两个式子中都含有ab项，且参数m的系数互为相反数，因此可以考虑将两个等式左右两边分别相加，消去参数m，此时左边相加后恰好可以整理为完全平方公式的形式，对应$(a+b)^2$的展开式，求出$(a+b)^2$的值后，再开平方即可得到$a+b$的值。
【解析】
解：将两个等式左右两边分别相加，可得：
$a^2 + ab + b^2 + ab = (16+m) + (9-m)$
左边合并同类项得：$a^2 + 2ab + b^2$，根据完全平方公式可知$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
右边合并计算得：$16+m+9-m=25$
因此有$(a+b)^2=25$
对等式两边开平方，得$a+b=\pm\sqrt{25}=\pm5$
【答案】
$\boldsymbol{\pm5}$
【知识点】
完全平方公式，等式的性质，平方根的定义
【点评】
本题解题的核心是观察等式的结构特征，通过两式相加消去未知参数m，将已知条件转化为完全平方的形式求解，解题时要注意正数的平方根有两个，不要漏写负的结果。
【难度系数】
0.7
12.已知$m^2 + n^2 = 25$，$mn = 12$，则$mn^3 + m^3n$的值为。
答案
$\boldsymbol{300}$
解析
【分析】
首先观察要求值的代数式$mn^3 + m^3n$，可以先通过提公因式法对其进行因式分解，将其转化为含有已知条件$m^2+n^2$和$mn$的形式，再整体代入已知数值计算即可，不需要单独求解$m$、$n$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}mn^3 + m^3n &= mn· n^2 + mn· m^2 \\&= mn(m^2 + n^2)\end{aligned}$
已知$m^2 + n^2 = 25$，$mn = 12$，将其代入上式得：
$mn(m^2 + n^2) = 12 × 25 = 300$
【答案】
$\boldsymbol{300}$
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值；整式运算
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是通过因式分解将所求式子转化为已知条件的组合形式，利用整体代入思想简化运算，避免了求解未知数的具体值，是整式运算中非常常用的解题思路。
【难度系数】
0.8
首先观察要求值的代数式$mn^3 + m^3n$，可以先通过提公因式法对其进行因式分解，将其转化为含有已知条件$m^2+n^2$和$mn$的形式，再整体代入已知数值计算即可，不需要单独求解$m$、$n$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}mn^3 + m^3n &= mn· n^2 + mn· m^2 \\&= mn(m^2 + n^2)\end{aligned}$
已知$m^2 + n^2 = 25$，$mn = 12$，将其代入上式得：
$mn(m^2 + n^2) = 12 × 25 = 300$
【答案】
$\boldsymbol{300}$
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值；整式运算
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是通过因式分解将所求式子转化为已知条件的组合形式，利用整体代入思想简化运算，避免了求解未知数的具体值，是整式运算中非常常用的解题思路。
【难度系数】
0.8
