边，创造证明三角形全等的条件.
4. 如图4，$AC=CD$，$∠ DCA=∠ BCE$，$CB=CE$.
（1）求证：$△ ABC≌△ DEC$.
（2）若$∠ D=∠ DCA$，求证：$DC// AB$.

4. （1）证明：$\because ∠ DCA=∠ BCE$，$\therefore ∠ DCA+∠ ACE=∠ ACE+∠ BCE$，$\therefore ∠ DCE=∠ BCA$. 在$△ ABC$和$△ DEC$ 中，$\begin{cases}AC=DC,\\∠ ACB=∠ DCE,\\CB=CE,\end{cases}$ $\therefore △ ABC ≌△ DEC$（SAS）
（2）证明：$\because △ ABC ≌△ DEC$，$\therefore ∠ D=∠ A$. $\because ∠ D=∠ DCA$，$\therefore ∠ A=∠ DCA$，$\therefore DC// AB$

【分析】
（1）要证明△ABC≌△DEC，已知两组对应边相等：AC=CD、CB=CE，还需证明两边的夹角相等。已知∠DCA=∠BCE，将两个角同时加上公共角∠ACE，即可得到夹角∠DCE=∠ACB，满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
（2）要证明DC//AB，根据平行线判定定理，只需证明内错角∠DCA=∠A即可。首先由（1）的全等结论可得对应角∠D=∠A，结合已知∠D=∠DCA，通过等量代换得到∠A=∠DCA，即可推出两直线平行。
【解析】
（1）证明：
$\because ∠DCA=∠BCE$，
$\therefore ∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE$，即$∠DCE=∠ACB$。
在$△ ABC$和$△ DEC$中：
$\begin{cases}AC=DC \\∠ACB=∠DCE \\CB=CE\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEC$（SAS）。
（2）证明：
$\because △ ABC ≌ △ DEC$，
$\therefore ∠D=∠A$。
又$\because ∠D=∠DCA$，
$\therefore ∠A=∠DCA$，
$\therefore DC// AB$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
（1）$△ ABC≌△ DEC$，证明见解析；
（2）$DC// AB$，证明见解析。
【知识点】
全等三角形的SAS判定，全等三角形的性质，平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，侧重考查基础定理的应用能力，解题核心是通过角的和差关系推导全等所需的对应角，再结合全等性质得到角的等量关系完成平行的证明，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.7

5. 如图5，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E。探究DE，BD，CE三条线段的数量关系，并说明理由。

$BD+CE=DE$. 理由如下：$\because BD⊥ AD$，$\therefore ∠ ABD+∠ BAD=90°$.
$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ CAE+∠ BAD=90°$，$\therefore ∠ ABD=∠ CAE$. 在$△ ABD$和$△ CAE$中，$\begin{cases}∠ ADB=∠ CEA,\\∠ ABD=∠ CAE,\\AB=CA,\end{cases}$ $\therefore △ ABD ≌ △ CAE$（AAS）.
$\therefore BD=AE$，$AD=CE$，$\therefore BD+CE=AE+AD=DE$

【分析】
要探究DE、BD、CE的数量关系，首先观察图形可知DE由AD和AE两段组成，即$DE=AD+AE$，因此只需证明BD、CE分别与AE、AD相等即可推导结论。已知$BD⊥$直线m、$CE⊥$直线m，可得两个直角相等；结合$∠ BAC=90°$，可通过“同角的余角相等”推出一组锐角相等，再结合已知$AB=AC$的条件，即可用AAS证明$△ ABD$和$△ CAE$全等，利用全等三角形对应边相等得到线段等量关系，代入DE的组成式即可得到最终结论。
【解析】
解：$BD+CE=DE$，理由如下：
$\because BD⊥$直线$m$，$\therefore ∠ ADB=90°$，$∠ ABD+∠ BAD=90°$.
$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ CAE+∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ ABD=∠ CAE$.
在$△ ABD$和$△ CAE$中，
$\begin{cases}∠ ADB=∠ CEA,\\∠ ABD=∠ CAE,\\AB=CA,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CAE$（AAS）.
$\therefore BD=AE$，$AD=CE$，
$\therefore BD+CE=AE+AD=DE$.
【答案】
$\boldsymbol{BD+CE=DE}$
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题是“一线三垂直”全等模型的典型习题，解题核心是通过角度互余关系推导等角，进而证明三角形全等，将待研究的线段转化为可求和的对应线段，这类题型是全等三角形应用的常考类型，掌握该类模型的解题思路能大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7

6. 如图6，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC. 探究DE，BD，CE三条线段的数量关系，并说明理由.

$BD+CE=DE$. 理由如下：在$△ ABD$中，$∠ ABD=180°-∠ ADB-∠ BAD$，$\because ∠ CAE=180°-∠ BAC-∠ BAD$，$∠ BDA = ∠ BAC$，$\therefore ∠ ABD=∠ CAE$. 在$△ ABD$和$△ CAE$中，$\begin{cases}∠ BDA=∠ AEC,\\∠ ABD=∠ CAE,\\AB=CA,\end{cases}$ $\therefore △ ABD ≌ △ CAE$（AAS）.
$\therefore BD=AE$，$AD=CE$，$\therefore BD+CE=AE+AD=DE$

【分析】
要探究DE、BD、CE的数量关系，观察已知条件有AB=AC，还有多组相等的角，优先考虑通过证明三角形全等得到对应边相等，再进行线段的转化。首先利用三角形内角和为180°、平角为180°，推导∠ABD和∠CAE相等，得到全等的角条件，再结合已知的∠BDA=∠AEC和AB=AC，用AAS证明△ABD和△CAE全等，之后将全等得到的相等边代入DE的线段和中，即可得到三条线段的数量关系。
【解析】
解：$BD+CE=DE$，理由如下：
在$△ ABD$中，根据三角形内角和定理，$∠ ABD=180°-∠ ADB-∠ BAD$，
$\because ∠ CAE=180°-∠ BAC-∠ BAD$（平角的定义），且$∠ BDA = ∠ BAC$，
$\therefore ∠ ABD=∠ CAE$（等量代换）。
在$△ ABD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}∠ BDA=∠ AEC,\\∠ ABD=∠ CAE,\\AB=CA,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CAE$（AAS）。
根据全等三角形的对应边相等，得$BD=AE$，$AD=CE$，
$\therefore BD+CE=AE+AD=DE$。
【答案】
$BD+CE=DE$
【知识点】
1. 全等三角形的判定（AAS）；2. 全等三角形的性质；3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形探究类的基础典型题，核心是通过角度的等量代换推导得到三角形全等的条件，再利用全等三角形对应边相等的性质实现线段的转化，解题时要注意结合图形分析线段和角的位置关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7